Геодезическая проблема

Для того, чтобы сделать рассуждение насколько возможно конкретным, мы остановим свое внимание на случае обратимой геодезической проблемы, хотя будет очевидно, что то же рассуждение можно применить к любой лагранжевой проблеме рассматриваемого типа, имеющей характеристическую поверхность, гомеоморфную гиперсфере. [c.143]

Геодезическая проблема. Построение преобразования ТТ. Мы переходим теперь к рассмотрению задач, связанных с геодезическими линиями на аналитической поверхности. Для того, чтобы получить насколько возможно более конкретные результаты, мы ограничимся случаем замкнутой выпуклой поверхности 8, хотя окажется, что эти ограничения не являются необходимыми для приводимого ниже рассуждения. [c.185]

В следующей главе ( 11) дан пример несингулярной геодезической проблемы транзитивного типа. Представляется вероятным, что вообще после того, как выполнены все очевидные приведения при помощи известных интегралов, задачи классической динамики будут транзитивного типа. [c.211]

Я собираюсь в этом параграфе построить такой алгоритм для транзитивной геодезической проблемы на специальной аналитической поверхности отрицательной кривизны. Представляется весьма вероятным, что полученные здесь результаты окажутся типичными во многих отношениях для общего случая транзитивной проблемы эти результаты легко обобщить на случай любой замкнутой аналитической поверхности отрицательной кривизны. Мы можем дать здесь только интуитивное обоснование полученных результатов. Что же касается техники, то мы можем отослать читателя к замечательным работам Адамара и Морса , методы и идеи которых играют главную роль в рассматриваемом здесь построении. [c.240]

Представляется маловероятным, чтобы какой-нибудь подобный алгоритм существовал для геодезической проблемы на замкнутой аналитической поверхности положительной кривизны. [c.240]

Таким образом, в геодезической проблеме на замкнутой аналитической поверхности отрицательной кривизны существует чрезвычайно большое разнообразие типов движения, но тем не менее для нее существует специальный алгоритм, при помощи которого мы можем удовлетворительно описать все это разнообразие с помощью надлежащих символов. [c.249]

Вышеприведенная задача, разумеется, отличается от динамических задач наиболее интересного класса, представленного геодезической проблемой на выпуклой поверхности, в том отношении, что в ней все периодические движения принадлежат к неустойчивому типу. Тем не менее она, по-видимому, является во многих отношениях типической для общего случая. [c.249]

Для любых р, ), где + тт и р могут быть рассматриваемы как полярные координаты точки на кольцеобразной секущей поверхпости (рис. 10), существует одно и только одно исходное состояние движения шара и существует непосредственно следующее состояние (ч 1, рх). Таким образом, определяется преобразование Т, переводящее , р) в ( 1, Рх). Мы ПС будем заниматься здесь выводом формул, выражающих Х, Рх через р, хотя эти формулы могут быть получены прямо или как предельный случай формул, появляющихся в геодезической проблеме на эллипсоиде. Такие явные формулы не нужны для наших целей. [c.250]

Пользуясь конечным числом таких вспомогательных поверхностей можно следующим образом определить преобразование Т в геодезической проблеме. Существует к функций [c.325]

Практически все исследования отечественных и зарубежных ученых, связанные с нормированием точности геодезических работ, направлены на обоснование корректного перехода от допусков СНиП к СКО геодезических измерений [36,44]. До сих пор эта проблема продолжает оставаться темой дискуссии в геодезической литературе. [c.15]

Этот результат показывает, насколько общий характер имеет проблема геодезических линий то-мерного многообразия. [c.50]

Применение теоремы Пуанкаре к проблеме геодезических линий. Проблема геодезических линий является, разумеется, гамильтоновой, причем главную функцию Н представляет квадрат скорости. В четырехмерном многообразии состояний движения четырехкратный интеграл [c.190]

В заключение я сделаю еще два замечания относительно проблемы геодезических линий. Во-первых, заключение о том, что существуют по крайней мере две геодезические линии, пересекающие данную геодезическую линию типа минимакса ровно в двух точках каждая, справедливо, несомненно, для поверхностей значительно более общего вида, чем рассмотренные. [c.193]

Интегрируемый случай. Проблема геодезических линий на выпуклом эллипсоиде, исследованная Якоби, является общеизвестным примером интегрируемой задачи . Если мы сплющим этот эллипсоид, превратив его в плоский эллипс, то получим в пределе специальный интегрируемый случай проблемы бильярдного шара (см. главу VI, 6). Этот пример является еще болсс конкретным, так как геодезические линии превращаются в обыкновенные ломаные с вершинами, лежащими на эллипсе, и сторонами, образующими равные углы с нормалью к эллипсу в любой вершине. [c.249]

Геодезические линии на эллипсоиде с полуосями а, Ь, с а > Ь > > с > 0) известны со времен Якоби. Они появляются также в качестве общего решения интегрируемой гамильтоновой проблемы, так как частица, движущаяся по гладкому эллипсоиду без воздействия внешних сил, должна следовать по геодезической линии. Если теперь меньшая полуось с будет стремиться к нулю, в то время как остальные полуоси будут оставаться постоянными, то эллипсоид перейдет в эллипс. Геодезические линии будут состоять из прямолинейных отрезков, и два таких отрезка, принадлежащие одной и той же геодезической линии и следующие друг за другом, должны встречать эллипс под одинаковыми углами. Но такие ломаные линии суть идеализированные пути бильярдного шара на эллипсе. Разумеется, и эта проблема должна быть интегрируемой . [c.319]

Проблема IV. При заданном консервативном преобразовании Т доказать существование соответствующей гамильтоновой системы и, в частности, системы геодезического типа. [c.325]

Сам Биркгоф рассматривал биллиарды как предел задачи о геодезических линиях выпуклой поверхности, которая непрерывно деформируется в область на плоскости. В общем случае строгий анализ такого предельного перехода является довольно деликатной проблемой насколько нам известно, она не изучена до сих пор. Однако в ряде конкретных случаев (например, деформация эллипсоида, когда две его полуоси неизменны, а меньшая стремится к нулю) можно действительно показать, что почти все геодезические линии переходят в траектории биллиарда Биркгофа. [c.20]

Наконец, из изложенного в 179 следует, что при фиксированном значении постоянной энергии к проблема интегрирования уравнений Лагранжа (16а) эквивалентна проблеме геодезических линий на поверхности 8л, на которой квадрат элемента дуги йз- выражается формулой [c.205]

Проблема. Якоби в [90] упомянул о том, что любая каустика семейства геодезических, стартующих в общей точке эллипсоида, имеет не менее четырёх точек возврата. Верно ли это для других римановых метрик на сфере (например, для типичных метрик, близких стандартной) Это свойство четырёх точек возврата, если оно имеет место, должно быть обобщением на симплектическую топологию теоремы о четырёх вершинах, согласно которой замкнутая плоская кривая имеет не менее четырёх точек точек экстремума кривизны (см. [91], [92]). [c.58]

О собственных функциях, сосредоточенных вблизи замкнутой геодезической, сб. Проблемы матем. физики , вып. 2, Изд-во ЛГУ, 1967. [c.447]

Мы бы очень хотели проанализировать сходимость (или ее отсутствие) этих комбинаций плоско-пластинчатых элементов. Предполагается, что в разумных условиях деформация оболочки многогранника-(такого, как геодезический купол) приближает деформацию истинной криволинейной оболочки, но мы не в состоянии подтвердить эту догадку. Математические проблемы не изведаны и чрезвычайно интересны. [c.153]

Гамильтоновы мно кители 85 Гармоиический треугольник 176 Геодезическая проблема 185 Геометрическая теорема Пуанкаре 172, 179 Геометрические связи 33 Гироскопическая частица 35 [c.405]

В заключение отметим, что изложенные способы определения перекосов ходовых колес и мостов кранов не исчерпывают всего спектра научных поисков решения этой проблемы. В этом отношении определенный интерес представляют другие работы как отечественных, так и зарубежных исследователей. В работе В.Януша [54] описаны приемы геодезического контроля не только подкрановых путей, но и несущей системы крана и колес, а также взаимного их расположения. А в другой его работе [55] представлен способ измерения перекосов моста автоколлимациониым методом с использованием лазера, установленного в начале пути, луч которого ориентирован вдоль рельсов экрана с отверстием, установленного перед лазером кинокамеры, фотографирующей след лазерного пучка на экране. Коллективом авторов [39] предложен способ юмереиий диагоналей моста во время движения крана методом линейных измерений с автоматической записью результатов. Математические зависимости боковых сил, наибольшим образом влияющих на износ ходовых колес мостовых кранов, приведены в работе [22]. Здесь также предлагается устройство, позволяющее определять развороты мостового крана в горизонтальной плоскости в процессе движения крана по подкрановому пути. [c.117]

Проблема IV. При заданном консервативном преобразовании Г доказать срш,ествование сиитветствцющей тмильтиновий системы и. в частности, сист.вми геодезического тина. [c.325]

Глубокое развитие идеи Гаусса дал в 1892—-1893 гг. Герц ), разработавший принцип прямейшего пути ценность принципа Герца состоит в том, что он сводит задачи механики к проблеме геодезических линий и тем самым геометризует классическую динамику. Принцип Герца был бы просто частным случаем принципа Гаусса, если бы он не заменил сил, действующих на систему, связями ее с другими системами, находящимися с ней во взаимодействии. Этим самым Герц как бы изучал только свободные системы, вводя кроме наблюдаемых еще и скрытые массы и скрытые движения . Исторические корни механики Герца содержатся в работах Гельмгольца о скрытых движениях (введение которых у Герца оказывается логически необходимым следствием его концепции основ механики) и в работе Кирхгофа по выяснению основ механики. В своей формулировке каждое естественное движение самостоятельной материальной системы состоит в том, что система движется с постоянной скоростью по одному из своих прямейших путей . Герц объединяет, по существу говоря, закон инерции и принцип наименьшего принуждения. Герц отмечает глубокую связь своего принципа с теорией поверхностей и многочисленные аналогии, которые возникают при его рассмотрении. Принцип Герца находится в тесной связи с геометрической оптикой и теоремой Бельтрами—Липшица, так как между прямейшими путями и нормальными к ним поверхностями в процессе движения имеет место то [c.849]

Глубокое развитие идей Гаусса в связи с идеей Гельмгольца о кинетическом объяснении всех видов энергии при помощи скрытых движений дал в 90-х годах XIX в. Генрих Герц, разработавший принцип прямейшего пути. Познавательная ценность этого принципа состоит в том, что он сводит задачи механики к проблеме геодезических линий, коренным образом геометризует классическую динамику. [c.229]

Глубокое развитие идеи Гаусса дал в 1892—1893 гг. Г. Герц разработавший принцип прямейшего пути ценность принципа Герца состоит в том, что он сводит задачи механики к проблеме геодезических линий и тем самым геометризует классическую динамику. Принцип Герца был бы просто частным случаем принципа Гаусса, если бы Герц не заменил сил, действующих на систему, связями ее с другими системами, находящимися с ней во взаимодействии. Этим самым Герц как бы изучал только свободные системы, вводя, кроме наблюдаемых, еще и скрытые массы и скрытые движения . Исторические корни механики Герца содержатся в работах Гельмгольца о скрытых движениях (введение которых у Герца оказывается логиче- [c.222]

Основными недостатками оптических нивелиров и теодолитов являются высокая трудоемкость выполнения работ и низкая точность измерений. Эти проблемы устраняются с появлением нового поколения геодезических приборов — цифровых. Принцип их действия и возможности рассмотрим на примере цифрового нивелира DiNi 22 (рис. 3.3, а), производимого фирмой arl eiss . Такой ни- [c.64]

После работ А. Пуанкаре в XX в. постепенно сложилось отчетливое понимание того, что невозможность продолжить локально существующие интегралы до интегралов в целом связана со сложным поведением фазовых траекторий на уровнях тех интегралов (вроде интеграла энергии), которые известны, но имеются в недостаточном числе. Попросту говоря, на интегральном уровне должны существовать траектории, всюду плотные в некоторой области на нем. Системы, обладающие т, но не т+ интегралами в целом , Леви-Чивита предложил называть т-импримитивными. Здесь проблемы интегрируемости смыкаются с задачами эргоди-ческой теории. Примером служит доказанная в 1939 г. теорема Э. Хопфа об эргодичности геодезического потока на любой компактной поверхности отрицательной кривизны. Для исследования геодезических на поверхностях отрицательной кривизны Биркгоф, Морс и Хедлунд создали символическую динамику, позволяющую описывать сложное поведение траекторий в вероятностных терминах. Однако, как отмечает Пуанкаре [147], ...траектории задачи трех тел ) сопоставимы не с геодезическими линиями на поверхностях отрицательной кривизны, а наоборот, с геодезическими линиями на выпуклых поверхностях... К сожалению, эта задача значительно сложнее... . Здесь уже зоны квазислучайного поведения фазовых траекторий чередуются и сосуществуют с областями, составленными из траекторий регулярного вида. Обсуждение этих вопросов можно найти в докладе А. Н. Колмогорова [Ш] и книге Мозера [221]. Непосредственное приложение к проблеме интегрируемости задачи трех тел идея сложного поведения фазовых траекторий нашла в работе В. М. Алексеева [2]. [c.17]

Проблема состоит в редукции этой функциональной квазигруппы к квазигруппе Пуанкаре. Она решается следующим образом [42, 45]. Предполагается, что генератсфы группы НУ распространяются внутрь вдоль изотропной гиперповерхности Г, пересекающей 7 по , в соответствии с уравнением девиации изотропных геодезических [c.153]

Во-вторых, если выпуклая поверхность симметрична в пространстве относительно плоскости, содержащей геодезическую линию g, то будут существовать различные замкнутые геодезические линии, пересекающие g дважды под прямыми углами. Эти симметричные геодезические линии могут быть исследованы методами, аналогичными тем, которые я применил при изучении известных симметричных периодических орбит в ограниченной проблеме трех тел (цитировано выше). Действительно, если g минимаксного типа, то преобразования Т и Т оказываются тождественными( °), и ТТ оказывался квадратом про-изведеиия двух инволюторных преобразований так же, как основное преобразование в ограниченной проблеме трех тел. [c.193]

Упомянем еще про попытку решения проблемы дальнодействия с помощью теории скрытых движений . Основную идею можно пояснить на примере вращающегося симметричного волчка поскольку вращение волчка вокруг его оси симметрии заметить невозможно, то можно считать волчок невращающимся и странности в его поведении объяснить действием дополнительных гироскопических и потенциальных сил. В общем случае эту идею можно пытаться реализовать в рамках теории Рауса понижения порядка систем с симметриями. Предположим, что механическая система с и + 1 степенями свободы движется по инерции и ее лагранжиан, представляющий только кинетическую энергию, допускает однопараметрическую группу симметрий. Понижая порядок системы факторизацией по орбитам действия этой группы, мы видим, что функция Рауса, представляющая лагранжиан приведенной системы с п степенями свободы, содержит слагаемое, не зависящее от скоростей. Это слагаемое можно интерпретировать как потенциал сил, действующих на приведенную систему. Гельмгольц, В. Томсон (лорд Кельвин), Дж. Дж. Томсон, Герц настаивали на том, что все механические величины, проявляющиеся как потенциальные энергии , на самом деле обусловлены скрытыми циклическими движениями. Эта концепция кинетической теории наиболее полно выражена в книге Генриха Герца Принципы механики, изложенные в новой связи [20]. Оказывается, системы с компактным конфигурационным пространством действительно можно получить из геодезических потоков с помощью метода Рауса [13]. Однако, в некомпактном случае (наиболее интересном с точки зрения теории гравитации) это уже не так (см. [23, 13]). [c.13]

Интегрально-оптический анализатор спектра представляет собой гибридную интегральную систему (рис. 8.5, а), содержащую подложку с волноводным слоем 4 и линзовыми фокусирующими элементами для преобразования оптического пучка 6, 8, устройства для возбуждения и поглощения поверхностных акустических волн 3, 7, полупроводниковый на СаА1Ав лазер 9 и матрицу фо-тодриемников 5. При изготовлении анализатора спектра использована хорошо отработанная технология формирования одномодовых диффузионных волноводов, геодезических асферических планарных линз, решена проблема стыковки полупроводникового лазера и матрицы фотоприемников с оптическим волноводом. В анализаторе спектра СВЧ сигнал поступает на приемное устройство 1 и смешивается с сигналом гетеродина 2 таким образом, чтобы промежуточная частота находилась в полосе преобразователя ПАВ. После усиления сигнал поступает к преобразователям ПАВ 3. При взаимодействии ПАВ с оптической поверхностной волной в результате брэгговской дифракции происходит сканирование оптического луча на угол, пропорциональный частоте анализируемого сигнала. Пучок фокусируется с помощью интегрирующей линзы 6 и попадает на линейку фотоприемников 5. Например, в интегральном анализаторе спектра на ниобате лития (центральная частота прибора 600 МГц при ширине полосы 400 МГц для обеспечения хорошей фокусировки асферические геодези- [c.153]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...