Задача Якоби о геодезических на эллипсоиде

Задача Якоби о геодезических на эллипсоиде [183]. Пусть эллипсоид в трехмерном пространстве задается уравнением [c.167]

Обобщение задачи Якоби на Оказывается, что близкие по форме слагаемые могут быть добавлены в задачу Якоби о геодезических на эллипсоиде. Приведем вид гамильтониана и дополнительного интеграла для двумерного случая, т.е. для гамильтоновой системы (10.4) на е(3) и на уровне (М,7) = О [c.332]

По Якоби метод разделения переменных состоит в том, что для задачи ищется такая система (вообще говоря, криволинейных) координат, в которых имеет место (7.6). Якоби также нашел одну замечательную замену, которая привела его к эллиптическим координатам и позволила проинтегрировать задачу о геодезических на эллипсоиде — даже в многомерном случае. Он также предложил обратить ситуацию и найдя какую-нибудь замечательную подстановку, разыскивать задачи, в которых она может быть с успехом применена [183]. [c.78]

В качестве еще одного примера рассмотрим задачу о геодезических на трехосном эллипсоиде ). Здесь помогают эллиптические координаты Якоби Я. , Яг, Яд, которые суть три корня уравнения [c.232]

Этот результат на первый взгляд может показаться тривиальным полная интегрируемость задачи о движении по инерции точки в / " очевидна с самого начала. Однако из полученных выше формул разделения переменных вытекает совсем не очевидный результат Якоби об интегрируемости задачи о движении точки по поверхности многомерного эллипсоида в отсутствии внешних сил (согласно принципу Мопертюи, траектории движущейся точки совпадают с геодезическими линиями). В самом деле, зафиксируем значение переменной Хь скажем, Л =0. Тогда Кг,..., будут криволинейными ортогональными координатами на поверхности (п—1)-мерного эллипсоида 2дс, /а.= 1. Гамильтониан задачи о геодезических задается формулой (20), в которой надо положить Л1=0, 11=0. Разделение переменных Лг, Ц2. , Лп, Ц осуществляется по указанной выше схеме. Отметим, что в случае двумерного эллипсоида гамильтониан имеет вид Г из предложения 5. Если мы зафиксируем [c.142]

Замечание 4. В работе [250] Г. Минковский указал аналогию случая Клебша с задачей Якоби о геодезических на эллипсоиде, тем самым предложив свой способ его интегрирования. Развитие этой аналогии приведено выше в п. 1 этого параграфа (см. также [195]). [c.172]

В качестве примеров рассмотрим классические задачу Якоби о геодезических на трехосном эллипсоиде и задачу Неймана о движении точки на сфере в квадратичном потенциале. Они связаны с двумя различными, но взаимными друг другу, интегрируемыми случаями Клебша в уравнениях Кирхгофа (см. 1 гл. 3) и их интегрирование, а также возникающие в процессе эллиптические и сфероконические координаты имеют универсальный характер в теории интегрируемых систем. Все известные задачи, допускающие разделение переменных (на конфигурационном пространстве), решаются с использованием этих координат или их вырождений. [c.78]

Замечание 2. В работе [49] замечена связь п-мерной задачи Якоби о геодезических и устойчивого нулевого положения равновесия линейного уравнения типа Хилла с периодическими коэффициентами. Оказывается, что число резонансных зон конечно и не превосходит размерности эллипсоида тогда и только тогда, когда периодическая функция B. t) в уравнении х = —B. t)x есть множитель Лагранжа для некоторой геодезической на эллипсоиде (точнее, B. t) = [c.168]

Гамильтониан задачи Якоби дается формулой (7.9), в которой надо положить Л1 = О, /Х1 = 0. Разделение переменных Л2,..., А , /Х2, - , Мп осуществляется по указанной выше схеме. Отметим, что для двумерного эллипсоида гамильтониан принимает вид (7.5) при п = 3 получаем лиувиллеву гамильтонову систему. Если зафиксировать значение одной из переменных Л2,..., Л , то тем же методом получим полную интегрируемость задачи о геодезических на многомерных гиперболоидах всех возможных типов. Результаты качественного анализа (основанного на формулах Якоби) поведения геодезических на поверхности двумерного эллипсоида можно найти в [И]. Якоби показал, что задача о движении по [c.102]

Предполагается, что удары о границу являются абсолютно упругими. Эта динамическая система называется эллиптическим биллиардом. Согласно Биркгофу [42, гл. VIII] эллиптический биллиард получается из известной задачи Якоби о движении по геодезическим линиям на поверхности трехосного эллипсоида [c.99]

С геометрической точки зрения интегрируемость задачи о геодезических на п-мерном эллипсоиде означает следующее касательные прямые к геодезической линии квадрики (2.1) в R"+, проведенные во всех точках геодезической, касаются кроме этой квадрики еще п—1 конфокальных с ней квадрик, одних и тех же для всех точек геодезической. Это знаменитая теорема Якоби — Шаля. По словам Якоби, она принадлежит ...к замечательнейшим теоремам аналитической геометрии [56, с. 185 русского перевода]. Устремляя к нулю одну из полуосей эллипсоида в трехмерном пространстве, приходим к малой теореме Понселе (см. 1). [c.105]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...