Движение маятника возмущенное

Уравнения возмущенного движения маятника [c.234]

Возмущенное движение маятника представляет собой наложение этих колебаний на его движение, определяемое уравнениями [c.236]

Эти угловые скорости весьма мало отличаются от соответствующих скоростей основного невозмущенного движения маятника, так как постоянные А и В при малых начальных возмущениях уо и уо (/=1, 2) являются величинами того же порядка малости. [c.236]

Устойчивость движения маятника в колебательной области означает, что при любых малых возмущениях фазовая точка всегда остаётся внутри этой области. В этом случае величина полной энергии системы Е, на любом интервале времени, не превышает значения потенциальной энергии Ус, вычисленного в седловой точке (рис. 4.6). Однако это, вообще говоря, не означает устойчивости движения маятника по Ляпунову в окрестности стационарной точки типа центр, и наоборот. [c.127]

Вопросы теории устойчивости движения не входят в рамки этой книги. Мы довольствуемся возможностью рассмотрения возмущенного движения на конечном интервале времени, подтверждаемой теоремой о непрерывной зависимости решений от начальных данных и параметров. С этой точки зрения было бы законно рассмотреть, например, задачу о движении маятника около положения его неустойчивого равновесия (верхнего положения). Решение (16) здесь будет [c.608]

Движение маятника при постоянном возмущении и квадратичном демпфировании. Маятник может совершать незатухающие колебания, если его движение поддерживается постоянным моментом. Пример устройства для осуществления таких колебаний приведен на рис. 90. Маятник жестко насажен на вращающуюся ось электромотора, создающего момент постоянной величины. Знак момента соответствует направлению вращения ротора. Изменение знака момента, а следовательно, и направления движения маятника осуществляется контактным рычагом, закрепленным с умеренным трением на оси маятника и замыкающим контакты в зависимости от направления движения. [c.122]

Движение маятника при импульсном периодическом возмущении и линейном демпфировании. Схема, изображенная на рис. 90, для часов непригодна. Колебания часового маятника будут изохронными, если подвод энергии осуществляется в тот момент, когда маятник проходит через положение равновесия ). Функция /(х, V) для этого случая схематически показана на рис. 92. Эта функция везде равна нулю, за исключением малого интервала —еО<+е, в котором знак функции определяется знаком скорости. Идеальная возмущающая функция соответствует предельному случаю, когда е->0, а интеграл [c.124]

Движение маятника при импульсном возмущении и сухом трении. Если сила сопротивления не зависит от скорости, а имеет постоянную величину (сухое трение), то и тогда с учетом сказанного в разд. 2.2.3.2 можно при помощи фазового портрета [c.128]

При определении условий равновесия механической системы возникает весьма важный вопрос о том, будет ли это равновесие практически реализуемым, т. е. устойчивым, или нет. Равновесие системы в данном положении называется устойчивым, если ее можно вывести из этого положения настолько малым возмущением (смещением, толчком), что во все последующее время отклонения системы от равновесного положения будут меньше любого сколь угодно малого заданного отклонения. В противном случае равновесие называют неустойчивым. Такое определение соответствует понятию об устойчивости равновесия и движения по А. М. Ляпунову. Исходя из него, можно, например, сразу установить, что равновесие маятника, изображенного на рис. 324, при ф=0 будет устойчивым, а при (р=180° — неустойчивым. [c.387]

Пример 1. Дифференциальные уравнения возмущенного движения конического маятника. Рассмотрим материальную точку М массой т, подвешенную на невесомой нити ОМ к точке О (сферический маятник). Будем считать, что длина нити равна I. Положение точки М будем определять углами гр и 0, значения которых видны на рис. 1.4 (ось Oz вертикальна, ось х параллельна неподвижной горизонтальной оси х, прямая MN перпендикулярна оси Oz). [c.23]

Пример 72. Исследовать возмущенное движение конического маятника 07И длиной I, вращающегося с постоянной угловой скоростью D вокруг вертикальной оси, пренебрегая массой стержня масса точки М равна т (рис. 103). [c.233]

Дифференциальные уравнения возмущенного движения конического маятника получаем, применив уравнения Лагранжа [c.234]

Эти уравнения, аналогичные уравнениям основного движения конического маятника, характеризуют другой частный вид возмущения—обычное движение рассматриваемого маятника с измененными постоянными со, г )о и 0. [c.236]

Найдем максимальные угловые скорости прецессии и нутации возмущенного движения конического маятника [c.236]

Равновесие называют устойчивым, если движение, получающееся в результате небольшого возмущения, не выходит из небольшой окрестности первоначальной конфигурации системы. Если же при бесконечно малом возмущении система начинает неограниченно удаляться от первоначальной конфигурации, то равновесие называют неустойчивым. Покоящийся маятник может служить примером системы, находящейся в устойчивом равновесии, а яйцо, поставленное на один из своих концов, — примером системы, находящейся в неустойчивом равновесии. Легко видеть, что если экстремум функции V будет минимумом, то равновесие будет устойчивым. Для доказательства предположим, что система отклоняется от положения равновесия и энергия ее увеличивается при этом на dE. Но так как в положении равновесия V имеет минимум, то любое отклонение от этого положения вызывает увеличение V. Поэтому на основании закона о сохранении энергии можно сделать вывод, что если бы эта система продолжала отклоняться от равновесия, то скорости ее уменьшались бы и в конце концов обратились бы в нуль. Это указывает на ограниченность движения такой системы. [c.348]

Пример 9.6С. Прецессия вращающегося волчка. Как мы видели в 8.6, имеются два возможных установившихся двин<ения волчка, ось которого наклонена под любым заданным углом а к направленной вверх вертикали, при условии, что р > q. Рассуждения, подобные только что проведенным для сферического маятника, показывают, без ссылок на общую теорию, что эти установившиеся движения устойчивы. Для установившегося движения кривая / (z) на рис. 19 касается оси Oz малое возмущение изменяет этот график таким образом, что он пересекает ось Oz в двух почти совпадающих точках. [c.164]

К модели одномассового физического маятника приводит большое число технических задач. Отметим только две задачи из разных областей, которые моделируются одномассовым физическим маятником колебание подвешенного груза в жестком сооружении при сейсмическом движении основания в вертикальном и горизонтальном направлениях и колебание парашюта с грузом на траектории относительно центра масс. В первом случае при конечных отклонениях груза от вертикали случайные горизонтальная и вертикальная составляющие движения основания являются параметрическими возмущениями для маятника во втором случае горизонтальные и вертикальные потоки воздуха являются параметрическими возмущениями для системы парашют—груз. Широкое распространение модели физического маятника делает необходимым подробно остановиться на этой задаче. [c.256]

Исследования свойств нелинейных динамич. систем показали, что для мн. таких систем характерно не только упорядоченное, регулярное движение, но и случайное изменение состояния. Парадоксальность вывода следует из того, что это движение возникает в отсутствие случайных факторов и полностью определяется нач. условиями. Иллюстрацией может служить матем. маятник с периодически колеблющейся точкой подвеса. Возмущение маятника не случайно, однако его движение может быть как условно-периодическим, так и случайным в зависимости от выбираемых нач, условий. [c.397]

Стохастич. слой является зародышем хаоса в гамильтоновых системах. Примеры образования таких слоев видны на рис. 7(й). Они образуются при любых сколь угодно малых возмущениях и поэтому являются примером неустранимого хаоса. Пусть, напр., задан нелинейный маятник, описываемый ур-нием движения [c.400]

Образование волн. Мы видели, что при возмущении системы, состоящей из связанных маятников, благодаря упругости пружинок-связей и инерции шаров возникает волновое движение. Возмущение водной поверхности приводит вследствие действия силы тяжести и инерции к образованию волн на воде. Сила тяжести играет здесь такую же роль, как сила упругости в колебаниях груза на пружине. Действие этой силы приводит к тому, что вода сопротивляется всякой попытке изменить горизонтальность её поверхности поэтому эти волны называют также гравитационными волнами на поверхности воды. Если бросить в воду камень, то, погружаясь, он создаёт в ней углубление, которое сразу же начинает заполняться водой, врывающейся в него со всех сторон. Подобно тому как груз на пружине при колебаниях не останавливается, а в силу инерции проскакивает через положение равновесия, так и вода, заполнив углубление, благодаря инерции продолжает двигаться дальше. В результате в том месте, где было углубление, вода приподнимается и образует водяной столб этот столб падает, и снова образуется углубление, которое вновь заполняется водой от места падения камня начинают распространяться круговые волны. [c.32]

Образование волн. Мы видели, что при возмущении системы, состоящей из связанных маятников, благодаря упругости пружинок-связей и инерции шаров возникает волновое движение. Возмущение водной поверхности приводит вследствие действия силы тяжести и инерции к образованию волн на воде. Сила тяжести играет здесь такую же роль, как сила упругости в колебаниях груза на пружине. Действие этой силы приводит к тому, что вода сопротивляется всякой попытке изменить горизонтальность ее [c.31]

Если мы более подробно рассмотрим отображение в окрестности периодических точек на рис. 3.3, то заметим, что существуют два различных типа поведения. Вблизи эллиптической точки (см. рис. 3.3) соседние точки как бы вращаются вокруг нее. В противоположность этому вблизи гиперболической точки соседние точки уходят из ее окрестности. Мы уже встречались с поведением такого типа при рассмотрении движения в фазовом пространстве простого маятника в 1.3. Там мы нашли цепочки чередующихся эллиптических и гиперболических точек, причем первые окружены регулярными траекториями, а вторые соединены между собой сепаратрисами. Такая картина является типичной для нелинейных колебаний при малом возмущении. [c.197]

Маятник является одним из древнейших физических приборов. С помощью крутильных маятников были открыты законы гравитационного и электрического взаимодействий, измерено давление света, выполнено множество других физических экспериментов. В последнее время предложен и реализуется ряд новых экспериментов для изучения фундаментальных свойств материи, в которых очень малые силы измеряются с помощью крутильных маятников. Чувствительность таких экспериментов зависит от того, насколько ослаблены сейсмические возмущения, действующие на маятник, а также от стабильности его параметров, например, упругих свойств нити подвеса. Но даже если устранены все внешние возмущающие воздействия, остается один принципиальный источник флуктуаций его амплитуды и фазы колебаний. Это хаотическое тепловое движение молекул в нити подвеса и подвешенном теле. Действующая на него флуктуационная сила зависит от температуры и от добротности маятника. Чем выше добротность маятника, тем медленнее затухают его колебания и диссипирует его энергия, превращаясь в тепло, т.е. хаотическое движение молекул. Это означает, что ослабевает и обратный процесс раскачки маятника хаотическим движением молекул, т.е. уменьшается флуктуационная сила, действующая на маятник. Для того, чтобы уменьшить затухание, тело и нить подвеса изготовляют из высококачественного плавленого кварца — материала с низкими потерями упругой энергии, а также принимают специальные меры для исключения других источников диссипации энергии. В результате добротность крутильных маятников достигает величины -10 . [c.37]

Собственные, или свободные, колебания — это движения такой колебательной системы, которая после кратковременного возмущения не подвергается какому-либо внешнему воздействию, т. е. к которой во время движения не подводится энергия извне. Примером может служить движение гравитационного маятника после кратковременного толчка. Собственные колебания всегда описываются однородными дифференциальными уравнениями. [c.29]

Рассмотрим на примере математического маятника с периодически меняющейся длиной влияние нелинейности характеристики возмущения на поведение параметрически возбуждаемого осциллятора. Уравнение движения такого осциллятора было уже составлено в разд. 4.1.6 (уравнение (4.9)) и имело вид [c.171]

В 3,3 мы рассмотрим линеаризованное движение и его устойчивость в окрестности неподвижных точек. Для иллюстрации применения этих методов к системам с дву.мя степенями свободы в 3,4 рассматривается модель ускорения Ферлш, описываемая с помощью отображения. Неподвижные точки (периодические решения) и их устойчивость исследуются аналитически и сравниваются с численными результатами. Получена также гамильтонова форма отображения. Наконец, в 3,5 рассматривается задача о движении маятника под действием периодического возмущения в окрестности сепаратрисы, Производится переход от уравнений Гамильтона к отображению и рассмотрен характер линеаризованного движения. Такой подход был использован Чириковым [70] при анализе перехода от регулярного к стохастическому движению. Этот метод будет изложен в гл. 4. Он применяется также при оценке скорости диффузии Арнольда в гл, 6. [c.176]

Возмущенное движение маятника. Материальная точк массой т, подвешенная на тонкой проволоке длиной I, коне которой закреплен в неподвижной относительно Земли точке С (П1ЮДИТСЯ в сторону так, чтобы проволока составляла с верт -калыо в точке О малый угол а, и отпускается. Требуется пайт движение. [c.45]

Таким образом, общее решение дифференниальных уравнений возмущенного движения конического маятника имеет вид [c.235]

Проявления неустойчивости в колебат. системах с конечным числом степеней свободы в осн. аналогичны рассмотренным на примере маятника. Проявление неустойчивости в волновых системах имеет особенности, обусловленные пространств, протяжённостью этих систем. Как и в колебат. системах, неустойчивость волновых движений в консервативных волновых системах является резонансной и связана с нелинейным взаимодействием волн, напр. трёх-, четырёх- и т. д. волновые взаимодействия, возникающие в нелинейных средах при выполнении условий синхронизма, самовоздействие волн (самомодуляция, самофокусировка) и др, В активных волновых системах неустойчивость может иметь как автоколебательный, так и резонансный характер. Примерами активных волновых систем являются лазеры, гиротроны, волновые пучки в плазме, химически активные среды. При автоколебат. неустойчивости волновые возмущения нарастают за счёт энергии веколебат. источников, напр. пучков частиц или течений. В отличие от колебат. систем нарастание возмущений в таких системах может происходить не только во времени, но и в пространстве. В частности, возмущение может носить [c.348]

В этом параграфе мы рассмотрим вторичные резонансы вынужденных колебаний маятника с гамильтонианом (4.1.26). Вследствие нелннейности свободных колебаний маятника в движении присутствуют гармоники основной медленной частоты Oq- Эти гармоники могут оказаться в резонансе с быстрым внешним возмущением частоты 2я, который называется поэтому вторичным резонансом. Поскольку исследование в общем виде является довольно громоздким, мы рассмотрим отдельно вторичные резонансы вблизи центра первичного резонанса и вблизи его сепаратрисы. [c.263]

Чтобы исследовать структуру вторичных резонансов вблизи сепаратрисы, нужно сначала найти выражение для переменной действия. Это можно сделать либо по теории возмущений, отправляясь от движения по невозмущенной сепаратрисе, либо вычислить действие прямо из точного решения для маятника вблизи сепаратрисы (см. п. 1.3а). Хотя оба метода требуют довольно сложных вычислений, выражение для переменной действия было найдено многими авторами, и мы приведем полученные результаты, не вдаваясь в детали самих вычислений. Ниже мы будем следовать работе Смита [383 ] и Смита и Перейры [387 ], где действие было получено непосредственно из точного решения. [c.267]

Для несоизмеримых орбит возмущения средних движений астероидов пропорциональны отношению массы Юпитера к массе Солнца. В случае соизмеримой орбиты критические члены вызывают большие долгопериодические либрации среднего движения и других элементов орбиты. Эти либрации приводят к тому, что средние движения астероидов с соизмеримостью, выраженной отношением малых целых чисел, будут наблюдаться очень редко. С аналогичной ситуацией мы столкнемся, если в темноте в случайные моменты вре.мени будем фотографировать со вспышкой качающийся маятник. На подавляющем большинстве снимков маятник будет отклонен от своего вертикального положения. Таким образом, если взять распределение средних движений на поперечном разрезе около орбиты, соответствующей указанной соизмеримости, то мы обнаружим мало астероидов с оскулирующими в непосредственной близости от соизмеримости средними движениями, даже при условии, что соизмеримость является устойчивой. Приводя различные доводы, Брауэр [З] и ]Месседж [221 опирались на факты, доказывающие точку зрения, согласно которой провалы в поясе астероидов вовсе не являются областями неустойчивости. В одной из работ Шубарта 1301 указывалось, что соизмеримость 3/2 (группа Гильды) представляет собой область, в которой могут иметь место устойчивые колебания около периодических орбит. Группа Гильды насчитывает около 40 членов. [c.266]

Но одйя Т>1ы на ем выяснять, почему происходят колебания, то часто нам будут встречаться интересные, а иногда и неожиданные, явления. Нет ничего проще качающегося маятника, и разобраться в его движении можно без труда. Автомобиль колеблется из-за неровностей дороги, а также потому, что работает его двигатель в этом случае явления более сложны, но вряд ли намного более трудны для понимания. Когда мы наншмаем на кнопку электрического звонка, прерыватель начинает совершать колебательное движение (даже если звонок работает от батареи постоянного тока). Очевидно, что пульсирующая сила, приводящая прерыватель в движение, возникает только благодаря этому движению. В этом случае отсутствует приложенное извне периодическое возмущение, но тем не менее происходит колебательное движение, так что задача становится несколько интереснее. Хотя устройство электрического звонка кажется несложным для понимания, принцип его действия не так прост, как это представляется на первый взгляд. [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...