Аттрактор странный (хаотический)

Для = 24,06 возникает странный аттрактор с хаотическим движением. Заметим, что в узкой области [c.78]

Определенным завершением зтого этапа исследований можно считать работу [89], в которой теоретически и экспериментально изучена кинетика генерации ФРК-лазера на двух областях взаимодействия с учетом всех четырех актуальных решеток, в том числе отражательных. С помощью численного расчета на ЭВМ показано, что хаотические пульсации и частотные сдвиги излучения носят детерминистический характер и описываются странным аттрактором. Найдена зависимость его параметров от ориентации кристалла. [c.253]

Уравнение Дуффинга (29) при (5 = 0 всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. При > О уравнение (29) является аналогом уравнения Дуффинга во времени с учетом диссипации и, следовательно, возможно суш ествование стохастических аттракторов. Действительно, при (5 > О происходит разрушение инвариантных линий, ограничиваюш их стохастичность вблизи сепаратрисы, и фазовые траектории могут уходить от нее достаточно далеко и попасть в область притяжения устойчивого фокуса или цикла. Таким образом, как показано с помогцью аналогового моделирования [17], при выполнении условия (35) и (5 > О траектория блуждает в окрестности сепаратрисы, пока не попадет на какой-либо аттрактор, простой или странный (стохастический). [c.380]

Это означает, что при i -> оо объем аттрактора в трехмерном пространстве стремится к нулю. С другой стороны, хаотические траектории не могут существовать на двумерной поверхности. Представление о разбегании траекторий и стремлении к нулю фазового объема кажется, на первый взгляд, парадоксальным — с увеличением относительного расстояния между траекториями поток остается в ограниченной области пространства, хотя его объем равен нулю. Оказалось, что странный аттрактор представляет собой множество точек, не являющееся подмногообразием фазового пространства. Аттрактор является фракталом — объектом дробной размерности. Размерность аттрактора Лоренца равна 2,06. [c.181]

Вернемся опять к полной модели Лоренца (359). У нее имеется три стационарных рещения при г > 1, и только два из них (360) устойчивы при небольшой надкритичности. Но что произойдет, если увеличивать параметр г, не ограничиваясь небольшими его значениями Первый вопрос — устойчиво ли равновесие (360) — можно опять рассмотреть с помощью линейного приближения вблизи равновесия. Соответствующий анализ показывает, что существует второе критическое значение га, выше которого происходит вторая бифуркация. Но это еще не все. Оказывается, система уравнений (359) имеет много различных мод движения. Самая удивительная из них была обнаружена самим Лоренцем при значениях параметров г = 28, <т = 10, ==8/3. Это решение получило название "странный аттрактор". Лоренц обнаружил, что система X, К, Z) совершает сложное хаотическое движение, похожее на "танец" вокруг двух неустойчивых фокусов. Стартуя с любой точки с небольшими X, , Z, система переходит на неустойчивый фокус, вокруг которого она начинает описывать витки с амплитудой, возрастающей со временем, т.е. пробегает траекторию по раскручивающейся спирали. После некоторого количества таких витков система внезапно устремляется ко второму фокусу, вокруг которого она снова описывает витки по раскручивающейся спирали. После нескольких витков, система снова перепрыгивает на первую спираль, чтобы приблизительно повторить то же самое движение. Однако никакой периодичности в таком движении нет и времена, в течение которых система находится вблизи одного из фокусов, и число витков на каждой из спиралей кажутся совершенно случайными. Хаотическое движение появляется в совершенно детерминированной динамической системе с тремя координатами X, V, Z. [c.322]

Не все из перечисленных свойств легко увидеть из одного при.мера. Сейчас мы рассмотрим первый пример странного аттрактора— модель Лоренца [283]. В 7.4 мы снова вернемся к этому примеру для того, чтобы изучить физическую систему, из которой он возникает. В 7.1 рассмотрены другие примеры, позволяющие шире взглянуть на различные явления, связанные с хаотическим движением в диссипативных системах. [c.76]

Это одномерное отображение позволяет непосредственно понять хаотический характер движения на аттракторе Лоренца. Действительно, производная зависимости (2 ) везде больше единицы, а это, как легко показать (см. п. 7.2в), сразу приводит к экспоненциальной расходимости близких траекторий. Соответствие между странными аттракторами и одномерными отображениями будет использовано в гл. 7. [c.80]

Переход от простого к странному аттрактору иногда совершается путем последовательных бифуркаций с удвоением периода, которые сходятся по некоторому параметру к предельному значению. За этим значением движение становится суперпозицией хаотического [c.417]

Модель Лоренца и ее странный аттрактор уже рассматривались в 1.5 и выше в этой главе. Здесь же нас интересует вопрос в какой мере эта модель представляет поведение жидкости в задаче Рэлея—Бенара На первый взгляд обе системы очень далеки друг от друга, поскольку модель Лоренца является чрезвычайно упрощенной с ее всего лишь тремя людами для двух функций состояния жидкости 1 ) и 0. Увеличение числа мод до пяти, семи и даже четырнадцати сохраняет некоторые черты поведения модели, включая и образование странного аттрактора. Однако переход к хаотическому движению может происходить при этом через разные последовательности бифуркаций [98 [ (дополнительную библиографию см. в работе [180]). Более того, численное моделирование двумерной конвекции, согласно (7.4.7), показывает отсутствие турбулентного движения ). В этом состоит существенное отличие от трехмерной конвекции Рэлея—Бенара, в которой турбулентность наблюдается экспериментально. [c.477]

Эти состояния называются аттракторами, поскольку в присутствии какого-либо затухания переходные отклонения подавляются и система притягивается к одному из трех перечисленных состояний. Цель нашей книги — описать другой класс движений, характерных для нелинейных колебаний, который не сводится ни к одному из этих классических аттракторов. Этот новый класс движений — движения хаотические в том смысле, что они непредсказуемы, если присутствует малая неопределенность начальных условий этот класс движений часто связан с состоянием, называемым странным аттрактором. [c.32]

Непредсказуемое регулярное движение множественные регулярные аттракторы (допустим более чем один тип периодического движения) длительное движение чувствительно к начальным условиям Переходный хаос движения, которые кажутся хаотическими и имеют характерные для странного аттрактора свойства (обнаруживаемые по отображению Пуанкаре), но в конце концов вырождаются в регулярное движение Перемежаемый хаос периоды регулярного движения, прерываемого переходными вспышками хаотического движения длительность периодов регулярного движения непредсказуема [c.46]

Рис. 2.11. а — Отображение Пуанкаре для хаотического движения продольно изогнутого стержня при слабом затухании б, в — отображения Пуанкаре для хаотического движения продольно изогнутого стержня при более сильном затухании обнаруживают фрактальную структуру странного аттрактора [136] [c.59]

Понятие фрактальной размерности связано с обсуждением отображения подкова , приведенным в гл. 1. Мы видели, что в системах с хаотической динамикой области фазового пространства вытягиваются, сжимаются, складываются и отображаются обратно на исходную область. При этом отображении в фазовом пространстве остаются лакуны. Это значит, что орбиты стремятся заполнить менее чем целое подпространство фазового пространства. Фрактальная размерность — мера степени заполнения орбитой определенного подпространства, и нецелая размерность — визитная карточка странного аттрактора. Имеется много определений фрактальной размерности, но основное следует из процедуры подсчета числа сфер N размера е, необходимых для покрытия орбиты в фазовом пространстве. Функция N (в) существенным образом зависит от подпространства данной орбиты. Если эта орбита перио- [c.72]

В гл. 3 был приведен обзор физических систем, обнаруживающих хаотические колебания. В настоящей главе мы обсудим некоторые методы эксперимента, успешно применявшиеся для наблюдения и описания хаотических колебаний и странных аттракторов. Эти методы в большой степени определяются конкретным физическим объектом, на котором ставится эксперимент, — является ли он, например, твердым телом, упругой средой, жидкостью или реагирующей смесью. Впрочем, многие типы измерений, характерные хшя исследования хаотических явлений, такие, как определение отображений Пуанкаре или показателей Ляпунова, применимы к широкому классу задач. [c.126]

Если нелинейная динамическая система находится в хаотическом состоянии, становится невозможным точное предсказание ее временной эволюции, поскольку малые неопределенности в начальных условиях оборачиваются сильным расхождением орбит в фазовом пространстве. Если присутствует затухание, то мы знаем, что хаотическая орбита лежит где-то на странном аттракторе. Когда отсутствует точное знание положения орбиты, повышается интерес к нахождению вероятности пребывания орбиты в определенной части аттрактора. Напрашивается мысль определить в фазовом пространстве плотность вероятности как статистическую меру хаотической динамики. Имеются некоторые математические и экспериментальные указания на то, что такое распределение вероятности существует и что оно не меняется со временем. [c.157]

Странный аттрактор. В хаотических системах возникновение случайности связано с новой геометрической структурой — странным аттрактором. В качестве критерия, позволяющего определить существование в динамической системе странного аттрактора, можно использовать свойство гиперболично сти. Наглядно гиперболичность представляет собой комбинацию растяжения фазового объема в одном направлении и сжатия в другом. Растяжение приводит к стохастичности, сжатие необходимо, чтобы траектории оставались в ограниченной области фазового пространства. Растяжение и сжатие систематически устраняют начальную информацию при экпоненциальном разбегании траекторий возрастает неопределенность, обусловленная неопределенностью AVq, при сжатии сближаются далеко отстоящие траектории и стирается различие в начальных данных. [c.180]

Новая область явлений возникает в диссипативных системах, фазовый объем которых не остается постоянным, а сокращается со временем. Конечное состояние в этом случае представляет собой движение на некотором подпространстве, называемом аттрактором, размерность которого меньше размерности исходного фазового пространства. Изучение регулярного движения в таких системах восходит к Ньютону и в дальнейшем было связано с развитием теории обыкновенных дифференциальных уравнений. На этой ранней стадии было выяснено, что траектория может притягиваться к таким простым аттракторам, как неподвижные точки, замкнутые траектории и торы, на которых устанавливается, соответственно состояние равновесия, периодическое и квазипериоди-ческое движение. И только сравнительно недавно, в пионерской работе Лоренца [283], было показано, что и в диссипативных системах встречается хаотическое движение. Лоренц обнаружил такой аттрактор в модели, описываемой системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Рюэль и Тэкенс [355 ] использовали для аттрактора с хаотическим движением термин странный аттрактор ). Топология странных аттракторов весьма примечательна. Она характеризуется масштабной инвариантностью ), при которой структура аттрактора повторяется на все более мелких пространственных масштабах. Такие структуры, называемые фракталами, обладают любопытным свойством дробной размерности, промежуточной между размерностью точки и линии, линии и плоскости и т. д. [c.19]

Для трехмерных потоков, помилю фокусов и предельных циклов, возможны и квазипериодические траектории с двумя основными частотами. По аналогии люжно было бы ожидать, что это и есть единственно возможные аттракторы. Однако это не так. Было показано, что в трехмерных (и большей размерности) диссипативных системах существуют аттракторы с очень сложной геометрической структурой. В частности, они имеют дробную размерность (см. п. 7.1в) и называются обычно странными аттракторами. Движение на странных аттракторах является хаотическим ). [c.74]

Для описания непериодических движений, напоминающих по сложности случайные (а именно таким движениям посвящена наша книга), мы использовали термины хаотический и странный аттрактор. Называя аттрактор хаотическим, мы подчерюшаем потерю информации или предсказуемости. Называя аттрактор стран ным, мы прежде всего стремимся подчеркнуть необычность геометрической структуры, по которой движется траектория в фазе вом пространстве. В гл. 5, используя показатели Ляпунова, мы описали количественную меру хаотичности, или потери информации. В этой главе мы опишем количественную меру странности аттрактора. Эта мера называется фрактальной размерностью. Но прежде чем мы займемся фрактальной размерностью, нам необходимо ввести понятие фрактала в таком виде, чтобы его было удобно использовать для наших целей. [c.212]

При изучении сложных нелинейных процессов, поддающихся исследованию ана дитическими методами с большим трудом, ЭВМ позволяют провести большие чис ленные эксперименты с целью проверки или выдвижения гипотез о качественной или количественной стороне нелинейного явления. Обнаруженная эвристическим путем на ЭВМ закономерность может служить источником новых аналитических разработок и исследований. Такое применение ЭВМ привлекало внимание многих ученых уже с самого начала появления ЭВМ. Так, одна из первых ЭВМ была использована Ферми и Уламом [32] с целью исследования распределения энергии по частотам в нелинейных волновых процессах. Ими было обнаружено аномальное, сохраняющееся длительное время, распределение энергии по первым основным частотам. Полное аналитическое исследование этого факта отсутствует и в настоящее время. С помощью ЭВМ был об-наружен и целый ряд других очень интересных и необычных эффектов в нелинейных процессах. Упомянем в этой связи образование странных аттракторов — сложных предельных многообразий нелинейных динамических систем, к которым приближа ются со временем траектории динамической системы [33], открытие так называемого Т-слоя в плазме, неожиданно образуюпдегося при разлете плазменного шнура. Такой Т-слой характеризуется аномально высокой температурой [34]. С помощью ЭВМ в последнее десятилетие было сделано удивительное открытие о количественной уни версальности поведения широкого класса нелинейных систем уравнений, зависящих от параметра, в процессе ветвления решений при изменении параметра, когда число решений может неограниченно расти с удвоением периода. Оказалось, что две посто янные а = 4.6692. .. и Л = 2.5029. .. характеризуют переход к хаотическому поведе нию решений очень широкого класса нелинейных систем уравнений [35]. Аккуратное аналитическое обоснование этого факта еще ждет своих исследователей. [c.24]

Читая сейчас эти работы, необходимо иметь в виду, что термины хаотические движепия и странный аттрактор появились значительно позднее, а тогда такие движения назывались непериодическими устойчивыми по Пуассону центральными движениями, или короче — движениями, устойчивыми по Пуассону. [c.23]

В предыдущей главе были рассмотрены простейшие тпповыв ситуации, приводящие к существованию сложных нетривиальных сеДловых инвариантных множеств /. Если такое сложное инвариаптное множество / еще и притягивающее, то оно — странный аттрактор, обладающий свойством локальной неустойчивости, по устойчивый в целом. Наряду с таким статическим изучением сложных седловых множеств / представляют интерес и исследования, выясняющие, как они возникают в динамике — при изменении параметров. Сочетание статического и динамического подходов позволяет не только полнее исследовать стохастические и хаотические движешя, но во многих случаях облегчает их обнаружение и изучение. [c.162]

Принципиально новая ситуация, касающаяся непрерывной зависимости решений от параметров, возникла в связи с развитием теории странных аттракторов [29]. Хотя теория аттракторов сравнительно далеко продвинута только для достаточно простых динамических систем [176], первоначальные сомнения в том, что она применима в гидродинамике, были рассеяны как прямыми экспери-мептальпыми подтверждениями [93, 198, 201], так и теоретически, когда было обнаружено развитие хаотической динамики сразу после потери равновесия состояния покоя при возникновении смешанной тепловой и концентрационной конвекции [154]. В построенных примерах непрерывная зависимость решений от параметров нарушается уже не при отдельных их значениях, а на множестве значений параметров положительпой меры. [c.13]

В диссипативных системах дело обстоит иначе. В фазовой пространстве имеется некоторое предельное и инвариантное множество состояний, к которым притягиваются все траектории фазовой капли. Поэтому асимптотически при (->-оо движение системы происходит на этой предельном множестве. Хаотическое движение в диссипативных системах также реализуется на этом множестве, которое имеет хаусдорфову размерность, меньшую чем размерность всего фазового пространства (подробнее об этом си. ниже). Это предельное притягивающее множество, возникающее при стохастическом движении диссипативных систем, было названо странный аттрактором [202]. В гамильтоновом случае имеет место некоторая предельная ситуация, в которой странным аттрактором является все фазовое пространство (это будет доказано позже). [c.251]

Появление странных аттракторов в трехмерных потоках, таких, как модель Лоренца, указывает на один из возможных механизмов возникновения гидродинамической турбулентности. Это стимулировало исключительно точные экспериментальные измерения вблизи перехода от ламинарного к турбулентному течению в реальных жидкостях. Модель Лоренца была получена фактически из задачи о конвекции Рэлея—Бенара в подогреваелюм снизу слое жидкости с учетом только трех мод движения. Хаотическое движение в трехмерной модели Лоренца представляет возможную картину турбулентности и в некоторых реальных гидродинамических системах, которая оказывается проще, чем первоначальные представления Ландау [251 I. Динамика диссипативных систем рассматривается в гл. 7, включая одномерные и двумерные отображения, а также гидродинамические приложения. [c.20]

Уравнения (1.5.1), приводящие к возникновению странного аттрактора, зависят обычно от некоторого параметра (аналогичного величине возмущения в гамильтоновых системах), изменение которого меняет характер движения. На примерах модели Хенона— Хейлеса и ускорения Ферми мы видели, что в гамильтоновых системах при увеличении возмущения траектории из регулярных становятся стохастическими. Подобно этому, и в диссипативных системах при изменении параметра возможен переход от периодического движения к хаотическому на странном аттракторе. Во гао-гих случаях такой переход происходит путем последовательного удвоения периода движения вплоть до некоторого критического значения параметра, за которым структура аттрактора изменяется и движение становится хаотическим. Дальнейшее увеличение параметра может привести к обратному процессу или к появлению простого аттрактора другой симметрии. Еще одна интересная особенность таких систем заключается в том, что обычно можно найти поверхность сечения, на которой движение сводится приближенно к необратимому одномерному отображению. Необратимость означает здесь многозначность обратного отображения. Такие отображения возникают во многих физических задачах и будут подробно рассмотрены в 7.2. [c.76]

В первом параграфе этой главы обсуждаются основные свойства диссипативных систем, такие, как сжатие фазового объема и регулярное движение на простых аттракторах. Затем вводится понятие странного аттрактора со стохастическим движением. В 1.5 уже приводился пример странного аттрактора. Здесь же обсуждаются два других примера диссипативных систем со странными аттракторами система Рёслера и отображение Хенона. Особое внимание обращается на те свойства хаотического движения, которые связаны с возможностью перехода к одномерному отображению, а также с геометрической структурой странного аттрактора. Эта геометрия описывается в терминах канторовых множеств дробной фрактальной размерности. Обсуждаются способы вычисления такой размерности и ее связь с показателями Ляпунова. [c.410]

Результат моделирования этой системы на аналоговой вычислительной машине для х = 5,7 представлен на рис. 7.3, а [368], где показана проекция странного аттрактора на плоскость X, Y (ср. рис. 1.18, б). Рассмотрим сечение аттрактора по линии (0,1), как показано на рис. 7.3, а. Тогда последовательные значения в этом сечении определяются приближенно одномерным необратимым ) отображением, представленным на рис. 7.3, б. Таким образом, хаотическое движение на аттракторе Рёслера приближенно описывается отображением для X. [c.417]

Мы уже видели, что хаотическое движение может возникать в диссипативных потоках с размерностью фазового пространства не меньше трех, или в соответствующих этим потокам обратимых отображениях Пуанкаре, размерность которых не менее двух. В общем случае хаотическое движение имеет место лишь для узких интервалов параметров. В этом существенное отличие от гамильтоновых систем, где хаотическое движение сохраняется, как правило, в широком диапазоне параметров. Ниже описаны два критерия локальной стохастичности для диссипативных систем. В п. 7.3а метод квадратичной ренормализации применяется к двумерным обратимым отображениям и показывается сходимость последовательности бифуркаций удвоения периода и возникновение локального хаотического движения. В п. 7.36 получен критерий перехода к хаотическому движению вблизи сепаратрисы на примере вынужденных колебаний осциллятора с затуханием. Наконец, в п. 7.3в pa ютpeнa модель ускорения Ферми с диссипацией и используется описание хаотического движения с помощью уравнения ФПК. Это уравнение позволяет получить первое приближение для инвариантного распределения на странном аттракторе. [c.453]

Стационарное хаотическое движение. Нужно подчеркнуть, что условие пересечения сепаратрис (7.3.38) является локальным критерием стохастичности и применимо только вблизи невозмущенной сепаратрисы. Поэтому такой критерий ничего не говорит о появлении странного аттрактора, который представляет стационарное хаотическое движение в большой области фазового пространства. Уравнение Дюффинга без диссипации (б = 0) является гамильтоновым и всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Мы знаем, что хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. Однако при б>0 все инвариантные кривые разрушаются и траектория, хаотическая вблизи сепаратрисы, может уйти далеко от нее и захватиться устойчивым фокусом или предельным циклом. Такое поведение наблюдал Холмс [195] при аналоговом моделировании уравнения Дюффинга ). Поэтому единственное, что можно ожидать при выполнении условия пересечения сепаратрис (7.3.38), — это нерегулярное блуждание траектории в течение некоторого времени, пока она не попадет на какой-либо аттрактор, простой или странный. [c.463]

В гл. 7 обсуждалось возникновение странных аттракторов в трехмерных потоках. Рюэль [353 ] предположил, что реакция Белоусова—Жаботинского, как и другие химические реакции, может протекать хаотически (иногда это называется химической турбулентностью). В настоящее время существование химической турбулентности надежно установлено как теоретически, так и численно [351, 410, 413]. Проведено также много экспериментов [101, 206, 365, 418, 426], которые со всей очевидностью выявляют этот режим. Например, Вайдал и др. [418], измеряя фурье-спектр концентраций при возрастании скорости протекания реакции, наблюдали бифуркацию удвоения периода, а затем и переход к химической турбулентности. [c.495]

Цель этой книги как раз и состоит в том, чтобы помочь перевести эти математические идеи н методы на язык, который инженеры и экспериментаторы могли бы использовать в своих исследованиях хаотических колебаний. Хотя я и экспериментатор в области динамики, мне пришлось разобраться до определенной степени в этих новых математических идеях, таких, как странный аттрактор, отображение Пуанкаре, фрактальная размерность, для того, чтобы экспериментально изучать хаотические явления. Недавно появился ряд прекрасных математических исследований хаотической динамики. Я попытался прочитать эти труды и вьщелить с помощью моих коллег-теоретиков по Корнеллскому университету суть новых представлений. Книга, лежащая перед Вами, — попытка объяснить важность этого нового языка динамики инженерам, особенно тем, кто намерен изучать колебания в эксперименте. Я полагаю, что но- [c.6]

ИЛИ внезапного исчезновения установившегося хаотического режи ма. Поэтому эксперимент или численное моделирование необходи МО продолжить еще некоторое время после того, как вы пришли к выводу, что в системе появился хаос, даже если отображение Пуанкаре явно отпечатывает фрактальную структуру, характерную для странного аттрактора. Как долго нужно ждать, прежде чем на звать состояние хаотическим В настоящее время ответ на этот во прос может подсказать только здравый смысл. В нашей лаборато рии мы требуем, чтобы в отображении Пуанкаре аттрактора, в котором мы подозреваем фрактальную структуру, накопилось 400 точек, прежде чем назвать наблюдаемое состояние хаотическим Дальнейшее обсуждение переходного хаоса можно найти в гл. 5. [c.70]

Отображения Пуанкаре-, эффекты затухания. Если затухание в системе недостаточно сильно, точки хаотического аттрактора будут стремиться однородно заполнить некоторую область фазового пространства и структура канторовского множества, характерная для странного аттрактора, не проявится. На рис. 2.11 показан пример такой ситуации при колебаниях изогнутого стержня. Сравнение отображений Пуанкаре, полученных при слабом и сильном затухании, показывает, что иногда усиление затухания может вызвать по явление фрактальной структуры. [c.138]

Если можно получить отображения Пуанкаре и фазовые портреты, они часто дают наглядные свидетельства хаотического поведения и фрактальной структуры странных аттракторов. Однако также важны количественные меры хаотической динамики, и во многих случаях только они дают твердые указания на хаос. Это особенно справедливо для систем с сверхвысокими частотами 10 —10 Гц (например, лазерных систем), где получить отображе ния Пуанкаре бывает трудно или невозможно. Кроме того, существуют системы с множеством степеней свободы, для которых отображение Пуанкаре не обнаружит фрактальную структуру аттрактора на двойном или множественном сечении, или системы со столь слабым затуханием, что отображение Пуанкаре не имеет вы раженной структуры, а представляется аморфным облаком точек. [c.152]

Среднее было найдено путем выбора 10 начальных условий при каждом выборе а. Начальные условия выбирались в первоначальной области притяжения прекратившего существование странного аттрактора. Продолжительность таких переходных хаотических режимов может быть очень велика. Например, в случае отображения Энона Гребоги и его сотрудники обнаружили, что <т> 10 при — = 5-10 и <т> 10 при а — = 10 . [c.188]

Читатель с более практическим складом ума может задать себе вопрос а что произойдет, если ввести слабое затухание В этом случае некоторые из мультипериодических субгармоник станут аттракторами, а овалы, окружающие эти аттракторы, перейдут в спирали, ограничивающие периодические движения. Что произойдет при этом с консервативным хаосом Из начальных условий в тех областях, где был консервативный хаос, развиваются долгопериодические переходные траектории, которые сначала блуждают по фазовому пространству и лищь затем выходят на периодическое движение. А как обстоит дело с реальными хаотическими движениями При наличии затухания для возникновения их необходимо гораздо большая сила (К > 6), при которой появляется фракталоподобный странный аттрактор (рис. 3.5). Таким образом, рассмотренный в этом разделе критерий перекрытия полезен только для строго консервативных гамильтоновых систем. [c.192]

Регулярная и стохастическая динамика (0) -- [ c.19 , c.20 , c.74 , c.76 , c.78 , c.80 , c.416 , c.425 , c.463 , c.464 , c.469 ]

Синергетика иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах (0) -- [ c.55 , c.57 , c.69 , c.70 , c.72 , c.307 , c.308 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...