Интеграл параметрический

Таким образом, при прямом воздействии энергия вынужденных колебаний образуется за счет непосредственной работы внешней силы при движении системы. При параметрическом воздействии увеличение запаса колебательной энергии происходит с преобразованием энергии из одного типа в другой. Так, например, механическая работа, производимая при соответствующем изменении емкости конденсатора (при модуляции его емкости посредством периодического раздвигания или сближения пластин), приведет к изменению запаса электростатической и общей энергии электрических колебаний в электрическом колебательном контуре. Интеграл этой работы при периодическом воздействии не равен нулю (больше нуля) при частотах воздействия вблизи точного выполнения условий [c.142]

Таким образом, введены уже две разновидности общего интегрального представления (2.2.34) для правила действия оператора линейного объекта. Одно из них [(2.2.43) или (2.2.46)] основывается на представлении (2.2.42) входной функции с помощью параметрического семейства 6 t — т), а второе [(2.2.51) или (2.2.56)] —на представлении (2.2.49), (2.2.50) с помощью параметрического семейства экспонент (разложение в интеграл Фурье). Существенным отличием представления (2.2.51) от разложения с использованием весовой функции состоит в том, что для определения с помощью (2.2.51) результата действия оператора А на входную функцию u t) необходимо предварительно получить разложение u t) в интеграл Фурье. Поэтому представление оператора с помощью частотной характеристики удобно лишь в тех случаях, когда входная функция достаточно просто разлагается в интеграл Фурье. [c.64]

Интеграл в правой части этого соотношения не зависит от t, а значит, н функция F t,p) вообще не зависит от времени, т. е. F t, р) = W p). Функция W(р) называется передаточной функцией стационарного объекта (однородного оператора). В случае неоднородного оператора функцию F t, р), зависящую от параметра t, называют параметрической передаточной функцией. Из (2.2.73) следует [c.69]

Резюме. При параметрическом задании движения время является дополнительной координатой, которая может принять участие в процессе варьирования. Импульс, соответствующий временной координате, является полной энергией, взятой с обратным знаком. Для склерономных систем время становится циклической координатой, а соответствующий импульс — константой. Это приводит к теореме сохранения энергии для консервативных систем. Исключение времени как циклической координаты позволяет сформулировать новый принцип, определяющий лишь путь механической системы, а не ее движение во времени. Это — принцип Якоби, аналогичный принципу Ферма в оптике. Этот же принцип может быть сформулирован как принцип наименьшего действия . В последнем случае интеграл по времени от удвоенной кинетической энергии минимизируется с дополнительным условием, что при движении и вдоль истинного, и вдоль проварьированного пути должна выполняться теорема о сохранении энергии. Если этот принцип рассматривать с помощью метода неопределенных множителей, то в качестве результирующих уравнений получаются уравнения движения Лагранжа. [c.165]

Задача Гамильтона, отвечающая параметрической форме задачи Лагранжа, принимает, наконец, следующий вид. Отыскивается условие стационарности интеграла (6.10.9) при дополнительном условии (6.10.12). Условие (6.10.12) можно учесть методом неопределенных множителей [c.219]

В свете всего сказанного о параметрических системах формулировка принципа наименьшего действия для консервативных систем, данная Эйлером и Лагранжем, получает новый смысл. Напомним, что этот принцип требует минимизации интеграла по времени от величины 2Т при условии, что для движущейся точки выполняется энергетическое уравнение Т + V = . При переходе от пространства конфигураций к фазовому пространству принцип Эйлера — Лагранжа принимает следующую форму. Требуется найти условия стационарности интеграла [c.221]

Согласно принципу, выраженному каноническими уравнениями в параметрической форме, требуется стационарность интеграла [c.222]

Параметрическая форма канонических уравнений позволяет также глубже понять внутренние соотношения, связывающие различные принципы минимума в механике. Если канонический интеграл приведен к нормальной форме [c.222]

Интеграл энергии (2) в случае, когда поле сил F консервативно, снова имеет место. Пользуясь параметрическим заданием кривой, мы можем записать этот интеграл короче [c.43]

Если поверхность S задана параметрическими уравнениями x = x(u,v). у=у и, v), z = = z(u,v),ToF(M) Ф [х(и, v),y(u,v),z u,v)] — = f(a,v) и поверхностный интеграл сводится к двойному [c.182]

Совместно с равенством х --= f р) это соотношение даёт параметрическое представление общего интеграла. Исключая параметр р, получаем выражение для общего интеграла в обычной форме. [c.223]

Последнее соотношение совместно x = u t) даёт параметрическое представление общего интеграла уравнения F х, у ) = 0. [c.224]

Последнее соотношение совместно с исходным y=u(t) представляет параметрическое выражение общего интеграла уравнения F(y, у ) = 0. [c.224]

Если может быть найден общий интеграл р = f х. С) последнего уравнения, то полученное соотношение совместно с исходным y=f x,p) будет являться параметрическим выражением общего интеграла уравнения у =f x. У). [c.224]

Общий интеграл дается параметрическим представлением [c.208]

Проводится параметрическое вычисление этого интеграла, причем функция р — fl ф) определяется на основании соотношения (А.31), а Уе = 2 ф)—на основании формулы (А.1). Получаем [c.421]

Общий интеграл дифференциальных уравнений параметрических колебаний для поперечного прогиба может быть представлен в критериальной форме [c.187]

Упражнение П3.5. Показать, что при вычислении комплексного потенциала (ПЗ. 14) в параметрическом виде (П3.34) с помощью интеграла К.Шварца-Э.Кристоффеля (П3.35) комплексную скорость (П3.15) можно представить в виде [c.297]

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНТЕГРАЛОВ.. СПЛАЙНЫ. При вычислении матрицы жесткости и вектора F приходится вычислять интегралы по объему и поверхности области течения. Эти процедуры существенно упрощаются с переходом в параметрическое пространство. Пусть, например, необходимо вычислить объемный интеграл от некоторой функции (f X, Х2, Xs). С переходом к переменным Pi будем иметь [c.330]

Рассматриваемые совместно уравнения (8-83) и (8-84) представляют собой решение в параметрическом виде трансцендентного уравнения (8-78) с параметром Qt, который следует считать не зависящим от i и Йт- Отметим, что приведенный способ определения оптимального по времени передаточного числа редуктора применим при любом виде механической характеристики ИД, если только ее аналитическое выражение позволяет вычислить интеграл вида (8-68). [c.453]

Отличительной чертой параметрической неустойчивости 2-го рода является существование инварианта (3.42), играющего роль интеграла движения системы и означающего сохранение полного числа квантов волновой энергии системы [c.142]

При синтезе параметрически оптимизируемых систем для опенки качества управления удобно использовать какой-либо единственный показатель. В частности, для непрерывных систем таким показателем с большим успехом может служить интегральный критерий качества (для дискретных систем вместо интеграла берется сумма). Следует отметить, что критерий суммы квадратов ошибок управления предпочтительнее с математической точки зрения, кроме того, он может быть интерпретирован как средняя мощность и в связи с этим использоваться в других методах проектирования регуляторов. Таким образом, в дальнейшем для параметрической оптимизации будут использоваться квадратичные критерии качества, представленные в следующем виде (см. гл. 4) [c.85]

Эти равенства определяют параметрические уравнения границы раздела разноцветных жидкостей, изменяюш ейся с течением времени. Итак, первый интеграл (12.3.6) дифференциальных уравнений описывающих перемещение границы раздела разноцветных жидкостей, позволяет разделить переменные в этих уравнениях и свести интегрирование системы уравнений (12.3.4) к квадратурам. Однако если известен первый интеграл системы дифференциальных уравнений первого порядка, то число уравнений, которые подлежат интегрированию, уменьшается. В соответствии со сказанным покажем, что для решения рассматриваемой задачи нет необходимости вычислять оба интеграла (12.3.9). Пусть из формулы (12.3.6) определено только у (или только х) [c.329]

Смысл интегрального принципа суперпозиции заключается в том, что он позволяет узнать результат воздействия на объект некоторого произвольного входного возмущения u t), если известна реакция объекта на параметрическую систему элементарных возмущений выбранного типа Px(t)- При соответствующем выборе набора функций РхЩ можно любое входное возмущение u t) представить в интегральной форме (2.2.33). После этого достаточно один раз выяснить, как действует линейный оператор А на параметрическую систему функций P(t,x), т. е. 1 айти параметрическую систему функций Qr t)= Q(t,x) —AtP t,x). Затем для определения действия оператора на произвольную функцию u t) достаточно вычислять интеграл (2.2.34) с соответствующей функ- [c.57]

Заметим, что циркуляцию Г можно вычислять двумя способами. Можно двигаться вдоль самого контура, как мы это делали раньше. Однако можно также двигаться и вдоль всех многочисленных маленьких параллелограммов, образованных двумя семействами параметрических линий и --= = onst и и = onst. Конечный результат будет тем же самым, поскольку вклады от внутренних участков выпадают, потому что каждый из таких участков проходится дважды в противоположных направлениях. Вклад от внешних участков остается прежним. Это приводит к переходу от линейного интеграла к поверхностному интегралу. [c.243]

Параметрические уравнения субстанциальной линии L будут получены в функциях от и параметра о, если мы в равенства (66 ) вместо рО, подставим только что указанные их выражения, а интеграл J, который надо распространить на эту линию, по выполнении выкладок представится как вполне определенная функция времени. Таким образом, для вычисления dJjdt достаточно взять производную под знаком интеграла, принимая цо внимание, что так как дифференциалы от q относятся к параметру о, не зависящему от t, то производная по t от любого dq будет тождественна с соответствующим dq. Таким образом, получим [c.296]

Простейший пример к теореме II — без обращения — представляет вейер-штрассовское параметрическое представление здесь интеграл при однородности первого порядка является, понятно, инвариантным, если заменить независимую переменную х произвольной функцией х, которая оставляет функцию и неизменной [у = р(х), ,(у) = н, (х)]. Таким образом, появляется одна произвольная функция, но без производных этому соответствует известная линейная зависимость между самими выражениями Лагранжа [c.614]

Аналогично получается общий интеграл уравнения F у, р) = О, если переменные у, р допускают параметрическое представление —ь(/), p = v(i), причём f [it (г), v(t)] = 0. Диференцируя по. .v соотношение у — и (i), получим дкференциальное уравнение, связывающее переменные х, I, которое имеет общий интеграл [c.224]

Общий интеграл этого линейного уравнения совместно с исходным диференциальным уравнением даст параметрическое выражение общего интеграла уравнения /1агранжа. [c.224]

Введение. Определение параметрических колебаний, данное в гл. VH применительно к системам с конечным числом степеней свободы, справедливо для систем с распределенными параметрами. Параметрическиь колебания распределенных систем описываются дифференциальными и интегро-дифференциальными уравнениями в частных производных с переменными коэффициентами. Наиболее важный случай — системы с параметрами, периодически меняющимися во времени. Далее будут рассмотрены системы, описываемые уравнениями в частных производных с коэффициентами — периодическими функциями времени. [c.245]

Общее решение (15) и второе уравнение (13) образуют общий интеграл уравнения Лангража в параметрической форме [c.45]

Интеграл по So в (3.6) по форме совпадает с интегралом Френеля — Кирхгофа для преломляющей поверхности Sq. Поэтому формулы (3.6), (3.7) подтверждают, что параметрический преобразователь в схеме касательного синхронизма эквивалентен, сферической преломляющей поверхности с радиусом i Zp и показателем преломления n = ksjku (2.16), расположенной в центре кристалла, с апертурной диафрагмой (3.7), зависящей от положения ИК-источника. [c.63]

Как показано в работе [32, при определенных условиях из энтропийного критерия могут быть получены интеграл Бейли и параметрическая зависимость типа зависимости Ларсона— Миллера, формула С. Н. Журкова и т. д. [c.207]

Для современников основным произведением Гюйгенса была книга Маятниковые часы (1673 г.) Это классическое произведение по богатству и ценности содержания имеет мало себе равных. Прежде всего, оно, в соответствии со своим названием, содержит (в первой части) описание великого изобретения Гюйгенса — маятниковых часов. Разрабатывая теорию математического маятника, Гюйгенс показал неизохронность колебаний кругового маятнйка и для него разработал метод расчета периода колебаний, равносильный приближенному вычислению соответствующего эллиптического интеграла. Гюйгенс строго доказал точную изохронность колебаний (любой амплитуды) циклоидального маятника, дал формулу для вычисления периода этих колебаний, а также и для периода малых колебаний кругового маятника, разработал и осуществил конструкцию циклоидального маятника. В связи с этим Гюйгенс создал новый раздел дифференциальной геометрии — учение об эволютах и эвольвентах. Он изобрел часы с коническим маятником. Попутно Гюйгенс открыл явление параметрического резонанса (наблюдая установление консонанса двух маятников, прикрепленных на одной балке) и правильно объяснил его. Кроме того, в Маятниковых часах изложены многочисленные математические результаты, как, например, спрямление многих кривых, определение площадей некоторых кривых поверхностей, метод построения касательных к рулеттам и т. д. Не располагая алгоритмом анализа бесконечно малых, Гюйгенс, проявляя исключительную изобретательность, систематически применяет инфинитезимадьные методы в геометрическом оформлении — этим аппаратом он овладел в совершенстве, и в этом среди его современников никто, кроме Ньютона, не мог с ним соперничать. Но мы еще не сказали о том, что в четвертой части Маятниковых часов , под названием О центре качания , решена поставленная Мерсенном проблема определения периода колебаний физического маятника. Это — первая глава динамики твердого тела. В этой созданной Гюйгенсом главе одинаково значительны результат и метод. В ней налицо то сочетание эксперимента и теории, технической направленности и обобщающего физического мышления, которое характерно для рассматриваемого периода. Проявить это сочетание в своем творчестве дано было только деятелям экстра-класса — Галилею, Гюйгенсу, Ньютону. [c.110]

В случае многократных переотражений пучка накачки интеграл (7.5) разбивается на сумму интегралов по элементарным прямолинейным участкам длины дсо- Конечный результат параметрического взаимодействия определяется интерферешщей полей от всех таких участков, причем фазовые соотношения между вкладами в полное поле от каждого участка определяются граничными условиями на стенках волновода. [c.179]

Инвариантные множества стационарных движений. В этом параграфе мы будем рассматривать консервативные механические системы с п степенями свободы, допускающие /г-параметрическую группу симметрий [к < п). Пусть vGM nrGM — квазискорости (в частности, импульсы или обобщенные скорости) и существенные координаты системы соответственно, М — конфигурационное пространство существенных координат dim М гг. Данная механическая система допускает интеграл энергии [c.432]

Системы с псевдоциклическими координатами. Рассмотрим консервативную неголономпую систему Чаплыгина. Уравнения движения системы возьмем в виде (42), (43) и напомним, что уравнения (43) замкнуты относительно переменных х, отвечаюш,их независимым скоростям, и допускают интеграл энергии (44). Предположим, что координаты 8 системы — псевдоциклические, т. е. выполнены условия (45), (46). Тогда уравнения движения этой системы можно привести к виду (52), где г — позиционные координаты системы. Уравнения (52) допускают установившиеся движения (53), которые образуют т-параметрическое семейство, определяемое соотношениями (54) гп = с11т в). [c.454]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...