Функция стационарных объектов

Характеристические функции стационарных объектов. Рассмотрим теперь, какой вид имеют интегральные представления (2.2.46), (2.2.56) и (2.2.67) и функции G t,x), F t, т), H t, х) для стационарных объектов и описывающих их однородных операторов. [c.68]

Интеграл в правой части этого соотношения не зависит от t, а значит, н функция F t,p) вообще не зависит от времени, т. е. F t, р) = W p). Функция W(р) называется передаточной функцией стационарного объекта (однородного оператора). В случае неоднородного оператора функцию F t, р), зависящую от параметра t, называют параметрической передаточной функцией. Из (2.2.73) следует [c.69]

Передаточная функция стационарного объекта, описываемого уравнением (3 1.1), является дробно-рациональной функцией вида (3.1.35). Поскольку для дробно-рациональных функций переход к оригиналам осуществляется весьма просто, выражение (3.1.35) часто используют для определения весовой и переходной функций стационарного объекта. В соответствии с соотношениями (2.2.74) и (2.2.76) для определения весовой функции g t) требуется применить обратное преобразование Лапласа к функции W p), а для определения переходной функции h(t) — K функции W p)/p. Необходимо разложить дробно-рациональные функции W (р) и р)/р на простейшие дроби и осуществить переход к оригиналам в каждом слагаемом. [c.92]

Характеристические функции объектов с сосредоточенными параметрами, описываемых многомерными операторами. Выясним теперь, как можно получить характеристические функции стационарных объектов с сосредоточенными параметрами, которые имеют по несколько входных и выходных параметров, т. е. описываются многомерными функциональными операторами. Эти операторы задаются с помощью систем обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых имеет вид (3.1,1). Исследование таких систем в общем виде будет достаточно громоздким, поэтому для простоты [c.93]

Как И В одномерном случае, передаточные функции стационарного объекта имеют дробно-рациональный вид. Отметим одну характерную особенность передаточных функций объекта, описываемого многомерным функциональным оператором. Передаточная функция стационарного объекта, описываемого одним уравнением вида (3.1.1) с постоянными коэффициентами, представляет собой дробно-рациональное выражение (3.1.35), в числителе которого стоит многочлен порядка т, где т — наивысший порядок дифференцирования в правой части уравнения (3.1.1). В том случае, когда в правую часть (3.1.1) входит только функция u t), а не ее производные, этот многочлен вырождается в константу, и передаточная функция принимает вид (3.1.45). В многомерном случае, когда объект имеет по несколько входных и выходных параметров, все передаточные функции также являются дробно-рациональными. Однако порядок многочлена, стоящего в числителе этих дробно рациональных функций, отличен от нуля даже тогда, когда в уравнения входят только параметры Ui i) и не входят их производные. [c.96]

Для того чтобы отыскать весовую функцию стационарного объекта, необходимо, как и в нестационарном случае, решить краевую задачу для уравнений в частных производных, подобную задаче (3.2.5), (3.2.6), хотя и с постоянными во времени коэффициентами. Решить такую задачу, конечно, гораздо сложнее, чем обыкновенное дифференциальное уравнение (3.2.16) с граничным условием (3.2.17). Таким образом, при исследовании стационарных объектов, математическая модель которых включает дифференциальные уравнения в частных производных (объекты с распределенными параметрами), передаточная функция является наиболее простым и эффективным средством описания оператора. Ее отыскание — главная задача при исследовании динамики объекта. [c.101]

После построения передаточной функции стационарного объекта можно определить и другие его характеристики весовую и переходную функции. В соответствии с соотношениями (2.2.74) и (2.2.76) для их нахождения нужно применить обратное преобразование Лапласа к функциям W p) и W p)/p. [c.101]

Таким образом, соотношения (10.110)—(10.112) дают характеристики выходной переменной, если известны весовая функция стационарного объекта и действующая на него входная переменная. [c.349]

Аналогично получаем, что и переходная функция Н(1,т) будет для стационарного объекта зависеть только от разности t — x, т. е. [c.69]

Осталось выяснить, как будет выглядеть для стационарного объекта параметрическая передаточная функция F t,p), определяющая реакцию объекта на экспоненциальные возмущения [см. (2.2.57)]. Воспользуемся установленным ранее соотношением (2.2.60). Подставим в него G(t,x) = g(i —х). Тогда для стационарного объекта [c.69]

Соотношения (2.2.74) и (2.2.76), связывающие передаточную функцию с весовой и переходной функциями, очень часто используются при описании стационарных объектов. Они позволяют по одной из функций W p), h t) или g t) найти две другие. Как правило, исходной, наиболее просто определяемой, является передаточная функция W p). [c.70]

Из определения (2.2.57) функции F t, р) следует, что реакция стационарного объекта на входное экспоненциальное воздействие u t) = e определяется по формуле v t) = Ate = W p)eP , т. е. передаточная функция W p) представляет собой коэффициент, на который умножается экспоненциальное входное воздействие при его прохождении через объект. Этот факт можно считать следствием болей общего свойства передаточной функции, благодаря которому она является основным инструментом при исследовании стационарных линейных объектов и однородных линейных операторов. [c.70]

Для доказательства соотношения (2.2.77) воспользуемся представлением (2.2.43) для выходной функции v(t) с помощью весовой функции. Для стационарного объекта G(t, %) = g(t — т). Кроме того, u t)= О при t < О, поэтому получим [c.70]

Рис. 2.4. Переходная функция h t) линейного стационарного объекта. Величина заштрихованной площади равна значению инерционности процесса.

Весьма важной характеристикой стационарного объекта является переходная функция h t). По определению она представляет собой выходную функцию объекта, на вход которого подано воздействие в виде ступенчатой функции % t), т. е. когда на входе объекта в момент t = О произошел скачок входного воздействия от нуля до единицы. Таким образом, h t) описывает процесс перехода объекта из стационарного режима работы, соответствующего u t) S О, в стационарный режим работы, соответствующий u t) 1 (рис. 2.4). [c.72]

Приведенный пример ясно показывает, что наиболее важной характеристикой стационарных объектов является передаточная функция W p). Это связано, во-первых, с тем, что она легко может быть получена из уравнений математической модели после применения к ним преобразования Лапласа по времени, и, во-вторых, с тем, что с помощью W р) легко может быть получена весовая функция g t) и переходная функция h t). [c.75]

В конце раздела 2.2. уже был приведен простой пример отыскания весовой и передаточной функций объекта, описываемого обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами. Теперь будут изложены основные способы определения весовой, переходной и передаточной функции линейных объектов с сосредоточенными параметрами, математическая модель которых включает только обыкновенные дифференциальные уравнения. Рассмотрим общий случай, когда коэффициенты уравнений являются произвольными функциями времени, т. е. объект не является стационарным. [c.82]

Для стационарных объектов функция v t, р) не зависит от t и является преобразованием Лапласа от выходной функции v t). Поскольку передаточная функция W(р) стационарного объекта определяется формулой (3.1.35), то можно в соответствии со свойством (2.2.77) записать [c.91]

Для операторов, задаваемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, весовая и параметрическая передаточная функции являются равноценными характеристиками, причем способы их нахождения весьма похожи. Чтобы найти весовую или параметрическую передаточную функцию оператора, задаваемого общим уравнением (3.1.1), необходимо решать либо уравнение (3.1.15) с начальными условиями (3.1.16), либо уравнение (3.1.31). Эти уравнения имеют одинаковую структуру и в каждом конкретном случае можно определить, какую из функций G t, т) или F i, р) проще искать. Некоторое различие в процедурах нахождения характеристических функций появляется только для стационарных объектов. В этом случае для нахождения весовой функции по-прежнему необходимо решать дифференциальное уравнение (3.1.17), в то время как для отыскания передаточной функции используется тривиальное алгебраическое уравнение (3.1.34), решение которого (3.1.35) имеет очень простой вид. [c.97]

Однако больщинство химико-технологических объектов являются стационарными коэффициенты описывающих их уравнений не зависят от времени. Для стационарных объектов процедура определения весовой функции остается в целом той же, что и в случае нестационарных объектов необходимо решать краевую задачу типа (3.2.5), (3.2.6), в которой коэффициенты уравнения [c.99]

Как видим, для стационарных объектов, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, процедура определения передаточной функции U (p) имеет достаточно простой вид и в приведенном примере позволяет до конца решить задачу исследования функционального оператора объекта. Из свойства (2.2.77) следует, что для определения передаточной функции достаточно получить выражение преобразования Лапласа вых(р) выходной функции через й р) — преобразование Лапласа входной функции. Чтобы найти такое выражение Увых(р) через й(р) достаточно применить преобразование Лапласа к уравнению и граничным условиям математической модели, затем решить получившееся обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции х, р) — преобразования Лапласа от внутреннего параметра v x, t), и подставить в решение х = I. [c.101]

Параметрическая передаточная функция для объектов с сосредоточенными параметрами 89 сл. нестационарного объекта 98 сл. стационарного объекта (однородного оператора) 69, 97, 99 Перемешивание [c.300]

На рис. 24.1.1 изображен линейный стационарный объект с дискретной передаточной функцией [c.375]

Рассмотрим этот метод на примере построения алгоритма идентификации стационарного объекта, имеющего передаточную функцию вида [c.167]

Пусть на вход стационарного линейного объекта подается в момент времени t = х входное воздействие в виде S-функции (единичный импульс) Ut( =S( — т) Выходная функция объекта Vx(i) определяется весовой функцией Vx(t) =Aur t) =G t,x). Поскольку оператор А является однородным, временной сдвиг — т не изменяет правила действия оператора. Согласно (2.2.25), должно быть G t,x) =Vx i) =v t — т), где v t) соответствует несмещенной входной функции u t) =8(t), т.е. v t) = [c.68]

Перейдем к рассмотрению нелинейных операторов, задаваемых с помощью нелинейных дифференциальных уравнений. В этом случае уже невозможно свести нелинейный оператор к эквивалентному линейному, т. е. нельзя написать соотношение, аналогичное (2.3.6), с помощью которого можно было бы точно выразить любую выходную функцию нелинейного оператора с помощью соответствующей выходной функции некоторого линейного оператора. Процедура линеаризации дает лишь приближенное выражение выходных функций нелинейного оператора с помощью выходных функций линейного оператора, причем даже такое приближенное выражение справедливо далеко не для всех входных функций u(i). Для реальных технологических объектов, как правило, линеаризованный оператор эквивалентен исходному на входных функциях, значения которых не слишком сильно отклоняются от значения соответствующего параметра в некотором стационарном режиме работы объекта. Таким образом, линеаризованный оператор позволяет описывать поведение технологического объекта в условиях, когда вхо,п,ные параметры меняются лишь в незначительных пределах. [c.79]

Рассмотренный пример иллюстрирует общую идею линеаризации, которая заключается в выделении некоторого стационарного режима работы объекта. При этом считается, что все переходные процессы в объекте закончились и на выходе установилось стационарное значение выходного параметра. Если скачок значения выходной функции от нуля до стационарного значения произошел в некоторый конечный момент времени (о, то теоретически переходной процесс в объекте нельзя считать закончившимся поэтому необходимо предполагать, что стационарное входное воздействие подается бесконечно долго, т. е. момент времени to отодвинут в —00. Исходный нелинейный оператор заменяется эквивалентным нелинейным оператором, входными функциями которого являются малые отклонения входного воздействия от начального стационарного значения. Разлагая все нелинейные функции параметров, входящие в дифференциальные уравнения, по степеням отклонений этих параметров от их стационарного значения и отбрасывая все члены разложения, содержащие степени отклонений выше первой, получим линейные дифференциальные уравнения, задающие линейный оператор. Этот оператор и является результатом линеаризации. При входных параметрах, мало отклоняющихся от их значений в выбранном стационарном режиме, выходные функции исходного оператора приближенно выражаются через выходные функции построенного линейного оператора. [c.81]

Основным условием возможности замены выходной функции нелинейного оператора с помощью выходной функции линеаризованного оператора является малость отклонений параметров объекта от их значений в выбранном стационарном режиме, относительно которого производится линеаризация. В общем виде [c.81]

Получение передаточной функции является, как правило, первым шагом в исследовании динамики технологического объекта. Несмотря на то, что знание передаточной функции W(p) дает полную информацию о динамических свойствах объекта, часто в различных конкретных задачах бывает удобно использовать для характеристики объекта не W (р), а весовую функцию g t) или переходную функцию h(t). Выше уже отмечалось, что h t), например, является самой естественной характеристикой процесса перехода объекта из одного стационарного режима работы в другой, поскольку непосредственно описывает изменение выходного параметра при таком переходе. Поэтому, после того как получено аналитическое выражение для передаточной функции, возникает задача применения к ней обратного преобразования Лапласа с тем, чтобы получить весовую функцию g t) и переходную функцию h t). Такая задача часто оказывается трудноразрешимой, поскольку аналитическое выражение передаточных функций объектов с распределенными параметрами имеет очень сложный вид. В связи с этим применяются различные методы получения приближенного выражения для весовой и переходной функций с помощью точного аналитического выражения для передаточной функции W p). Указанные методы можно разделить на две группы. [c.107]

Отметим, что (3.3.9) и (3.3.12) представляют собой разложения функций g t) и h t) в ряд Тейлора около точки = 0 (ряд Маклорена). Поэтому приближенное представление g t) с помощью (3.3.11) и h t) с помощью (3.3.13) справедливы вблизи точки = 0, причем чем больше взято членов в (3.3.11) и (3.3.13) [соответственно, чем больше членов в (3.3.10)], тем больше интервал вблизи точки = О, на котором gN t) и Лл/(0 дают достаточно точную аппроксимацию для g t) и h t). В реальных технологических объектах весовая функция g t) экспоненциально стремится к нулю, а переходная функция h(t) при t oo стремится к конечному пределу /г(оо), соответствующему выходу объекта на стационарный режим работы. Фактически за конечное время to происходит изменение g t) от начального значения до нуля и h t) от начального нулевого значения до стационарного значения /2(00) (рис. 3.1), поэтому для получения полной информации о переходных процессах в объекте достаточно выбрать в (3.3.10) столько слагаемых, сколько нужно для того, чтобы соответствующие функции gN t) и hN(t) с необходимой для практических целей точностью аппроксимировали g(t) и h t) в интервале [О, о]. [c.112]

Практически все объекты химической технологии можно считать стационарными, поэтому, как показано в гл. 3, наиболее просто для них определяется передаточная функция W p). В связи с этим, как правило, именно определение передаточной функции будет являться первой задачей при исследовании каждого процесса. Две другие характеристические функции весовая и переходная, будут определяться чаще всего с помощью обратного преобразования Лапласа уже после того как получена передаточная функция W p). Будем рассматривать различные модели теплообменников, введенные в гл. 1, [c.114]

Очевидно, условие 7 с( ) = 0, используемое выше, не имеет физического смысла. В реальных теплообменниках всегда T t) >0. Однако заметим, что при решении математической задачи нахождения явного вида переходных функций непосредственно из дифференциальных уравнений модели необходимо отвлечься от физического смысла входящих в уравнение параметров, так как в соответствии с определением переходной функции для ее нахождения нужно использовать нулевые значения входных параметров объекта. В разделе 2.2 было показано, как, располагая явным видом переходных функций, можно описывать процесс перехода объекта из одного реального стационарного режима работы в другой. [c.122]

Переходные функции hn t) и h2 (t) можно использовать для описания перехода объекта из одного стационарного состояния в другое. Пусть до момента / = О теплообменник находился в стационарном режиме работы при постоянных значениях и [c.144]

Для восстанавливаемых объектов можно говорить отдельно о средней наработке до первого отказа, до второго и т.д., а также о. средней наработке между отказами для стационарного потока отказов. Вычисление этих показателей осуществляется по формуле (2.1), где I - соответствующая случайная наработка (до первого, второго и т.д. отказа или между отказами) F(t) функция распределения этой случайной величины. [c.86]

На рис. 41 приведены профили дорог двенадцати различных участков [75 ]. Для того чтобы перейти от случайной функции F (дс), зависящей от координаты х, к функции воздействия F (i), зависящей от времени t, в работе [75] предлагается координату х разделить на единичную скорость = 1 м/с. В этом случае численные значения функции профиля дороги F (х) будут совпадать с численными значениями функции воздействия F (t). Очевидно, что при постоянной скорости движения транспорта по данному участку дороги и прочих равных условиях величина и направление воздействия не зависят от того, когда машина проезжает через этот участок дороги. Поэтому процесс воздействия дороги на транспорт в расчетах можно рассматривать как стационарный случайный процесс. Однако в начальный момент движения, даже если предположить, что движение сразу началось с постоянной скоростью, динамическая система (транспорт и перевозимые объекты) будет в переходном режиме колебания, который, как мы видели выше, существенно может отличаться качественно и количественно от [c.123]

Функция G (X) называется передаточной функцией объекта. Для стационарных линейных объектов передаточная функция представляет собой преобразование Лапласа от весовой функции [c.327]

Сущность постановки задачи построения типовых динамических характеристик заключается в том, что динамические модели технологических процессов, имеющих одинаковые характеристики входных и выходных переменных, очевидно, формально могут быть представлены одной и той же математической моделью. Например, ясно, что если для двух одномерных линейных стационарных технологических процессов, независимо от их физической природы, корреляционные функции входной случайной функции равны и, кроме того, равны также взаимные корреляционные функции входной и выходной случайных функций, то такие два процесса должны иметь идентичное математическое описание, т. е. их весовые функции должны совпадать. Естественно, что это относится не только к объектам, выполняющим одни и те же технологические операции, но и к технологическим процессам, где, выполняются разные по своей природе операции. Известно, что для различных электрических, тепловых, механических и других явлений существует одно и то же математическое описание, дающее возможность решать с достаточной точностью практические задачи. [c.336]

Аналогично можно записать системы дифференциальных уравнений, определяющих передаточные функции Wu p), Wi2 p) и W2i(p), Wiiip). Однако в случае стационарных объектов гораздо более простым является способ определения передаточных функций, использующий соотношения (2.2.88). Применяя к уравнениям (3.1.48), (3.1.49) преобразование Лапласа и используя нулевые начальные условия, получаем систему алгебраических уравнений для изображений й р), й.2 р), Vi(p), 5г(р) входных и выходных функций [c.95]

При исследовании динамики стационарных объектов с распределенными параметрами, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, различие между методами нахождения весовой и передаточной функций сгановится более заметным. [c.97]

Во второй главе было установлено, что для линейных стационарных объектов отношение преобразования Лапласа от выходной функции к преобразованию Лапласа от одной из входных функций при нулевых остальных входных функциях не зависит от конкретного вида рассматриваемой входной функции [соотношение (2.2.77)]. Это свойство позволяло считать указанное отношение (передаточную функцию) универсальной характеристикой объекта. В рассматриваемом случае объект является нелинейным, поэтому отношения Тйых (р)/ Гвх р) при Тс р)— о и Твых р)/Тс р) при fex(p) = 0 зависят от конкретного вида входных функций 7вх(р) или f (p), и вводить передаточные функции по каналам 7 вх(0 вых(0, Гс(0 вых(0 не имеет смысла. Действительно, [c.117]

Координатное представление. Стационарное состояние квантового объекта (электрона и т. д.) во всем пред-П1ествующем изложении описывалось волновой функцией 4 = (x,y,z), которую удобно обозначать (х), понимая под х всю совокупность пространственных переменных. Эту функцию можно представить в виде разложения по некоторой ортонорми-рованной полной системе собственных функций в виде Ц>(х) = Та и (х), (20.7) [c.128]

Соотношение (4.1.91) дает возможность построить выходную функцию режима перехода объекта из стационарного состояния с постоянными значениями Гвх ь т1[, rLx 1 входных и выходных параметров в новое стационарное состояние, соответствующее измененным постоянным значениям Гвх2 и Гс2 входных параметров. При этом новое стационарное значение 7 x2 выходного параметра определяется из (4.1.91) при t- oo [c.145]

Составленпе математических моделей, отвечающих поставленным целям, в достаточной степени адекватных объекту и пригодных для эффективной реализации иа ЭВМ, представляет собой основную проблему при динамических расчетах парогенераторов. Трудность ее решения по сравнению с моделированием стационарных режимов вызвана не только большей сложностью процессов и отражающих их уравнений, но и значительно меньшей практикой таких расчетов. Методы динамических расчетов до недавнего времени были ориентированы в основном на использование аналоговых вычислительных машин (АВМ). Среди них широко известными являются метод сосредоточенных параметров и метод, основанный на аппроксимации трансцендентных передаточных функций. Однако, несмотря на значительные достоинства моделирования иа АВМ, заключающиеся в простоте исследования процессов, наглядности результатов, [c.68]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...