Растяжение при отображениях

Размерность дробная Я-систем 257 Разрушение магнитных поверхностей 92—94 Распределение Вигнера — Портера — Дайсона 214 Растяжение при отображениях 48- [c.271]

Следовательно, всякий малый вектор А при отображении можно получить из соответствующего малого вектора Az путем умножения длины последнего на некоторый коэффициент т (коэффициент растяжения) и поворота на угол Во- При этом коэффициентом растяжения служит модуль производной отображающей функции, а углом поворота — ее аргумент. Поскольку это справедливо для любого вектора Az, выходящего из точки Zo, то все такие векторы будут при отображении растянуты или сжаты в одно и то же число раз. Иными словами, рассматриваемое отображение является преобразованием подобия в бесконечно малом. Так, например, окружность малого радиуса с центром в точке Zq после отображения перейдет в окружность. Любая другая малая фигура перейдет в себе подобную. Однако это не значит, что останутся подобными и фигуры конечных размеров. Напротив, изменения их конфигураций могут быть весьма значительными. [c.237]

Количественные оценки для смещения линий тока и изменения растяжения при вариации границ можно получить и для квазиконформных отображений, осуществляемых решениями сильно эллиптических систем вида (5). В эти оценки, кроме геометрических свойств областей, входят также постоянные, оценивающие сильную эллиптичность системы. Они получаются значительно сложнее, чем в случае конформных отображений, и явные формулы типа (7) и (8) в общем случае написать нельзя. [c.108]

Аналитическое решение задачи можно получить, если воспользоваться выражением для растяжения конформного отображения на полосу области типа полосы, которое приводилось в гл. П1. Этот путь приводит к интегральному уравнению, из которого можно найти искомую функцию у = у(х). При дополнительных ограничениях [c.175]

Более точную теорию (которая, в частности, включает и эти явления) мы получим, если при той же гипотезе малости амплитуды воспользуемся приближенной формулой для растяжения при конформном отображении узких полос [c.178]

Отображение области z на область со, задаваемое функцией со = f z), называется конформным, если оно обладает свойствами постоянства растяжений и углов поворота. Это означает, что любой бесконечно малый элемент в области Z изменяется в одно и то же количество раз при отображении оо = f z), причем [c.449]

Взаимно однозначное отображение, обладающее свойствами сохранения углов по величине и направлению, постоянства растяжений малых окрестностей, называется конформным отображением. Из предыдущего следует, что отображение с помощью аналитической функции конформно во всех точках, в которых производная отлична от нуля. Конформное преобразование есть преобразование подобия в малом, в том смысле, что оно сохраняет форму отображаемой малой фигуры. Так, с указанной точностью малый круг переходит в малый круг, а малый треугольник AB перейдет в малый треугольник А В С- (рис. 5.4), у которого соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны. При практическом использовании конформных отображений наиболее употребительна задача отыскания функции, реализующей конформное отображение заданной области D на заданную область А. При этом возникают, естественно, вопросы, связанные с существованием отображения, его единственностью. Приведем некоторые результаты, дающие ответ на поставленные вопросы (предполагается, что читатель из курса математического анализа знаком с понятиями области, границы области, односвязной области). [c.185]

КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — взаимно однозначное отображение областей га-мерного евклидова пространства, сохраняющее углы между кривыми. К. о. в каждой точке обладает свойством постоянства растяжений по разл. направлениям. При любое (гладкое) К. о. является суперпозицией вращения, растяжения, сдвига и спец. К. о. инверсии х/ х —х% [c.453]

Представим себе, что из различных участков одного и того же материала вырезаны произвольно ориентированные образцы. Если такие образцы при испытании будут характеризоваться различными деформационно-прочностными свойствами, то материал обладает анизотропией механических свойств. И наоборот, если все образцы при испытании характеризуются одними и теми же свойствами, то такой материал называют изотропным. Другими словами, под изотропностью понимают неизменность механических свойств материала по отношению к параллельному переносу системы координат, ее вращению или зеркальному отображению. Если из блочного материала вырезать образцы только лишь в одном направлении и провести их испытания на растяжение и сжатие, то из различия полученных экспериментальных значений нельзя сделать вывод о том, обладает материал анизотропией механических свойств или он изотропен. Как следует из определения изотропности механических свойств, материал изотропен только при соблюдении указанных выше условий. Все материалы, которые не удовлетворяют условиям изотропности, анизотропны. [c.179]

На рис. 7.9 для сталей 1,11 ж III при температурах в диапазоне от 20 до 450° С показано изменение по числу полуциклов величин и вычисленных на ЭВМ на основе формул (7.4) и (7.7) с введением и отображением влияния температур через функцию изменения деформационных характеристик с ростом числа циклов нагружения. Для симметричного цикла номинальных напряжений растяжения-сжатия для полосы с поперечным круговым отверстием (a[c.261]

Свойства динамической системы, например наличие в ней диссипации энергии, также можно связывать со свойством сжимаемости. Такого рода связи тоже достаточно прочно ощущаются. Совершенно иная ситуация возникает, как только наряду со сжатием появляется растяжение. Именно с такими не только сжимающими, но и растягивающими отображениями неразрывно связана стохастичность в динамических системах. Как уже говорилось, стохастичность — следствие глобального сжатия при локальной неустойчивости. [c.125]

Легко видеть, что отображение (1.5) при О < ц. < 1 преобразует отрезок [—1, 1] в себя и является растягивающим с коэффициентом растяжения 1 + ц.. Из рис. 8.2 видно, что предельное множество / занимает отрезок [—[I, д,]. [c.220]

В качестве первого приближения примем за у —У] ось X. Тогда /<1>(г) = 2 , для него У, = 1, а = 0 и сглаживающий процесс не изменяет отображения. При конформном отображении /[, > области D (Г , у,) на Д растяжение на у, будет отличаться от I на величину [c.159]

Если границы Го и Г области В типа слоя дважды гладки и при х - -у оо достаточно быстро стремятся к горизонтальным асимптотам, скажем, к г = О и г=к, причем первые и вторые производные функций го и 2 достаточно быстро стремятся к нулю, то гармоническое отображение / = и, и, га) этой области на слой О < ау с Я существует. Отображение / определяется единственным образом, если дополнительно потребовать, чтобы точка (О, О, 2о(0, 0)) переходила в (0,0,0), а оси и соответствовала кривая с асимптотой, параллельной оси X, и задать растяжение в бесконечности вдоль этой кривой. [c.220]

При наличии точки сжатия или растяжения получим соответственно отображение типа показанного на рис. 8.4,6 или в. В присутствии же одновременно всех трех таких точек отображение может получить вид, аналогичный, например, показанному на рис. 8.4,г. [c.187]

Здесь Л, /X, Л < 1 < /X, — скорости сжатия и растяжения, как и выше. Число 6 может быть сделано произвольно малым путем уменьшения, в случае необходимости, окрестности О (и замены диска Т> его образом под действием некоторой итерации /", так чтобы Т> пересекал локальное устойчивое подмногообразие точки р в точке из О). Аналогично тому, как это делалось при доказательстве гладкости устойчивого и неустойчивого многообразий, удобно рассматривать плоскости в горизонтальных 7-конусах как графики линейных отображений, операторная норма которых (обозначаемая ) не превосходит 7. Уменьшая, если нужно, диск Т>, мы можем считать, что i n( 0 R" ) = z состоит из одной точки. Тогда наш первый шаг состоит в демонстрации того, что /"(2 ) содержится в горизонтальном (е/2)-ко-нусе для некоторого п G N, где = f (z). Для этого рассмотрим линейное отображение Е/. К —где Ц < К. Его график параметризован как образ линейного отображения [c.263]

В некоторых предельных случаях из обратимых отображений с ТУ > 2 можно получить одномерные необратимые отображения. Их поведение исследуется в 7.2. Для таких отображений связь растяжения фазового объема с расходимостью близких траекторий нарушена, и при а >0 возникает ограниченное хаотическое движение. Как будет показано, многие многомерные диссипативные системы приближенно можно свести к одномерным отображениям. [c.413]

Заметим, что при (3 = 0 мы возвращаемся к квадратичному отображению. При I (3 I < 1 отображение уменьшает площади в плоскости ху. Кроме того, оно вытягивает и изгибает области на фазовой плоскости, как это показано на рис. 1.20. В результате этого растяжения, сжатия и изгиба или складывания областей фазового пространства получаются области, напоминающие подкову. Последовательные итерации таких отображений типа подковы приводят к появлению в фазовом пространстве сложных орбит, потере информации о начальных условиях и хаотическому поведению. [c.37]

В работе [1.41] дан обзор результатов по концентрации напряжений в пластинках при растяжении. Автор освещает методы, развитые на базе сведения задачи к краевым задачам теории функций комплексного переменного. Обсуждаются методы бесконечных рядов, интегралов Коши, интегральных уравнений, разделения переменных, конформного отображения, линейного сопряжения. [c.288]

Для таких узких слоев можно дать формулу, обобщающую на пространственный случай формулу для растяжения при конформном отображении узких полос (см. цитированную выше работу М. А. Лаврентьева [6]). Эта формула дает приближенное выражение нор мальной производной гармонической в слое функции и которая на Го принимает значение О, а н а Г равна по стоянной И. [c.217]

Микропоры, образующиеся в местах локальных разрушений межфазных границ при растяжении, существенно влияют на процесс пластической деформации дисперсноупрочненного сплава. Известно [11], что если дислокация приближается к границе, на которой изменяется модуль сдвига материала, то она испытывает силу отображения, причем ее направление зависит от знака разности AG = G2 — Gi, где G — модуль сдвига материала области, в ко- [c.84]

При этом решалась система 40 алгебраических уравнений п 40). Как и в случае периодической системы параллельных трещин в бесконечной плоскости, здесь также при уменьшении расстояния между трещинами коэффициент интенсивности напряжений /г убывает к нулю, а возрастает до бесконечности. Заметим, что периодическая задача для полуплоскости с краевыми тренщпами, перпендикулярными к границе, изучалась при симметричной нагрузке также асимптотическими методами [2891, методом конформных отображений [2911 и с помощью интегральных уравнений [184, 311]. В работе [325] методом конформных отображений получены коэффициенты интенсивности напряжений при растяжении полуплоскости с периодической системой краевых трещин, образующих с ее границей угол Р = я/4. [c.131]

Следует отметить, что при отрицательных значениях рассматриваемые укладки слоев считаются предпочтительными для предотвращения трещинообразования композита при растяжении. Перемены знака в срединной плоскости можно достичь за счет изменения последовательности укладки слоев по толщине образца, соответствующего зеркальному отображению слоистой структуры от лицевой его плоскости. Это обусловлено изменением знака момента (2), когда плоскостью симметрии образца становится лицевая плоскость, а слои, фаничившие со срединной плоскостью, становятся лицевыми. Главный вектор напряжошй о >(/ = 1,. .., N) для половины толщины слоистой пластины с симметричной укладкой равен нулю. Следовательно, момент этих напряжений, не зависящий от точки приведения, не меняется по абсолютной величине, но знак его из-за указанной инверсии пакета слоев меняется на противоположный. Поэтому меняется знак и у напряжения в срединной плоскости z = О в соотношении (1). [c.306]

V90°] [90°/ 30°] [ 30°/к/-30°/90°1 [ 30°/к/90°], и [ 30°/90°/к] , где к — изотропная клеевая прослойка. В модельных плитах угол в = 30° выбран в области наибольших расчетных значений (рис. 5.14, кривая /). Из модельных плит изготавливались образцы для испытаний на одноосное квазистатическое растяжение. Результаты испытаний приведены в табл. 5.4. Они показывают, что введение изотропной клеевой прослойки в срединную плоскость позволило полностью исключить расслоение, начинающееся на свободной кромке, и повысить прочность образцов на 27% (табл. 5.4, образцы 1 и 5). Инверсия слоев (образец 2) также полностью исключает расслоение и повышает прочность в данном случае на 23%, однако недостатки инверсионного метода уже обсуждались ранее. Следует отметить, что если для исходной плиты (образец 1) и плиты, армирование которой проведено зеркальным отображением укладки слоев плиты 1 относительно лицевой поверхности, эффективные модули упругости практически совпадают = 42,5 ГПа и = 42,8 ГПа), то эффективный модуль плиты 5 меньше на 14% и равен +(5) = 36,85 ГПа. Уменьшение модуля упругости плиты 5 связано с увеличением ее толщины из-за введения изотропного слоя. Образцы исходной плиты начинали расслаиваться на свободной кромке в срединной плоскости при осевой деформации, составляющей 67—84% осевой деформаций разрушения. При дальнейшем увеличении нагрузки расслоение быстро продвигалось к центру образца. Разрушение плиты 1, как, впрочем, и плит 3 и 4, характеризовалось сильным расслоением в срединной плоскости. Введение изотропных клеевых прослоек в межслойные плоскости, не являющиеся срединной (плиты 3 и 4), желаемого результата не дало. Образцы разрушались с сильным расслоением, которое начиналось при более высоких осевых деформациях (табл. 5.4). Следует отметить и характерное для этих плит некоторое увеличение деформации разрушения (eij = 0,784...0,823). [c.327]

Будем рассматривать (1.4) и (1.5) как точечное отображение,, переводящее точку (и, V) в точку (и, у). Исходное отображение было сжимающим по и, т. е. при переходе от и к и происходило сжатие, и растягивающим по V, т. е. при переходе от V к V происходило растяжение. Из этого следует, что точечное отображение, определяемое формулами (1.4) и (1.5), является сжимающим по обеим переменным и и у, так как при этом и переходит в и, а V в V. Следовательно, отображение (1.4), (1.5), если только он преобразует некоторую область в область имеет един- [c.127]

Однако нередко наряду с растяжениями имеются и сжатия. Характерным примером может служить отображение прямой в нрямую, изображенное на рис. 7.50. Оно всюду растягивающее, кроме малых участков возле точек М1, Мг,. .. — экст- Рис. 7.50 ремумов графика точечного отображения рис. 7.50. Хаотизация движенин имеет при этом другую природу. Она обусловлена не неустойчивостью, а недостаточной устойчивостью имеющихся периодических движений. Эта недостаточность заведомо имеет место, если устойчивые периодические движения располагаются в ограниченной области фазового пространства и изображаются фазовыми кривыми достаточно [c.213]

Как и в случае конформных отображений, это позволяет оценить растяжение на границах криволинейной полосы О ее квазиконформного отображения на прямолинейную полосу А (такое растяжение — аналог модуля граничной производной). При этом предполагается, что ширина полосы О заключена между некоторыми положительными постоянными и что тангенс угла наклона ее границ и их кривизна также ограничены. В оценку рраничного растяжения входят геометрически [c.114]

Рассматривается развитие метода малого параметра применительно к упруго-пластическим задачам теории идеальной пластичности. В настоящее время имеется сравнительно небольшое число точных и приближенных решений упруго-пластических задач теории идеальной пластичности, поскольку возникаюш,ие здесь математические трудности весьма велики. Впервые задачу о распространении пластической области от выреза, вызываюш,его концентрацию напряжений в сечении скручиваемого стержня, решил Треффтц [1]. Он рассматривал уголковый контур и при решении задачи использовал метод конформного отображения. Несколько ранее Надаи [2] была предложена песчаная аналогия, позволившая в соединении с мембранной аналогией Прандтля осуш ествить моделирование задач упруго-пластического кручения стержней. В. В. Соколовский [3] рассмотрел задачу об упруго-пластическом кручении стержня овального сечения ряд решений задач о кручении стержней полигонального сечения был дан Л. А. Галиным [4, 5]. Большая литература посвящена одномерным упруго-пластическим задачам отметим работы [2, 3, 6-8]. Точное решение неодномерной задачи о двуосном растяжении толстой пластины с круговым отверстием было дано Л. А. Галиным [9], использовавшим то обстоятельство, что функция напряжений в пластической области является бигармониче-ской. Там же Л. А. Галин рассмотрел случай более общих условий на бесконечности. Впоследствии Г. Н. Савин и О. С. Парасюк [10-12 рассмотрели некоторые другие задачи об образовании пластических областей вокруг круглых отверстий. [c.189]

A. A. Каминского (1965 и сл.). При рассмотрении задачи о произвольном числе симметрично расположенных трещин, выходящих на свободную поверхность кругового-отверстия в бесконечном теле, О. Л. Бови применил для отображения такой области на внешность единичного круга приближенное представление аналитической функции полиномами, после чего стало возможным применение методов Н. И. Мусхелишвили. Проведенные им конкретное расчеты для простейших случаев одной и двух диаметрально противоположных трещин потребовали большого объема вычислительных работ, так как для достаточной точности оказалось необходимым удерживать около тридцати членов полиномиального разложения. А. А. Каминский существенно усовершенствовал метод Бови, добившись гораздо лучшей сходимости при замене отображающей функции такой рациональной функцией, которая, сохраняя особенность на концах трещин, скругляет углы в местах выхода трещины в полость. Им получены простые формулы) для определения величины предельной нагрузки в упомянутой задаче-о пластине, ослабленной круговым отверстием с двумя равными радиальными трещинами. Используя этот метод, Н. Ю. Бабич и А. А. Каминский (1965) построили решение задачи для одной прямолинейной трещины, а А. А. Каминский (1965) — для двух прямолинейных трещин, выходящих на контур эллиптического отверстия (здесь же приведены результаты, расчетов критической нагрузки в зависимости от длины трещины). В дальнейшем А. А. Каминский (1966) получил решение задач для случая, когда одна или две равные трещины выходят на контур произвольного-гладкого криволинейного отверстия при одноосном или всестороннем растяжении, и определил критические нагрузки, вызывающие развитие расширенных трещин. Г. Г. Гребенкин и А. А. Каминский (1967) в качестве примера произвели расчет критических нагрузок для двух равных трещин, выходящих на контур квадратного отверстия. В. В. Панасюк (1965) рассмотрел задачу Бови о круговом отверстии с двумя радиальными трещинами разной длины, выходящими на границу отверстия. При определении нормальных напряжений используется приближенный метод, аналогичный методу последовательных приближений, развитому в работах С. Г. Михлина (1935) и Д. И. Шермана (1935). Сравнение с решением О. Л. Бови для двух трещин одинаковой длины дает удовлетворительное совпадение. Некоторые результаты относительно влияния свободной границы полупространства на распространение терщины были получены ранее в работах Ю. А. Устинова (1959) и В. В. Панасюка (1960). [c.382]

Теперь следует внимательио обсудить ту информацию, которую можно извлечь из описанного критерия стохастичности и примера (2.2). Поскольку матрица А не зависит от координат, то при каждом действии отображения на вектор х = (ж,, хг) с этим вектором будет происходить растяжение в Я, раз по координате Xi и сжатие в Я, раз по Х2. Таким образом, вдоль одной из координат преобразование (2.2) действует точно таким же образом, как п отображение (1.15), а коэффициент рас-тяженпя возникает как следствие неустойчивости (это эквивалентно существова- . нию действительных и различных собст- [c.55]

В случае отображения типа подковы (см. также гл. 1) основное внимание сосредоточивается на множестве начальных условий для траекторий, заполняющем некоторый щар в фазовом пространстве. Если система ведет себя как отображение типа подковы, то этот начальный объем в фазовом пространстве под действием динамики системы принимает новую форму первоначальный шар вытягивается и складывается (рис. 3.13). После многих итераций эти складывания и растяжения порождают фракталоподобную структуру, и точная информация о начальных условиях траектории утрачивается. Для установления соответствия между начальным и последующим состояниями системы требуется все большая точность. При конечной точности постановки задачи (в большинстве случаев речь идет о численных или лабораторных экспериментах) предсказание становится невозможным. [c.178]

Тем не менее, оказывается, что при сформулированных условиях на отображение Т аттрактор Л не обязан быть стохастическим, т. е. ограничение Г на Л может не обладать свойством леремешивания. При этом элементы разбиения все содержат дырки (лакуны), которые переходят друг в друга В результате в спектре возникает дискретная компонента. Для того чтобы Т было перемешиванием, достаточно потребовать в условии 5) несколько более сильного растяжения, чем требуется обычно при формулировке условий гиперболичности. При этом имеет место (см. [17]) [c.202]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...