Гиперплоскость контактная

Итак, если йа — симплектическая структура, то исходное поле гиперплоскостей — контактная структура, и выделенное выше утверждение доказано. [c.325]

Определение. Контактной структурой на многообразии называется поле касательных гиперплоскостей [контактных гиперплоскостей), невырожденное в каждой точке (рис. 31). [c.59]

Определение. Контактная структура на многообразии — это гладкое поле касательных гиперплоскостей ), удовлетворяющее некоторому условию невырожденности, которое будет сформулировано позже. Чтобы сформулировать это условие, посмотрим, как вообще может быть устроено поле гиперплоскостей в окрестности точки Л -мерного многообразия. [c.315]

Условие невырожденности поля гиперплоскостей, которое входит в определение контактной структуры, состоит в том, что поле гиперплоскостей должно быть максимально удалено от поля касательных к семейству гиперповерхностей. Чтобы измерять эту удаленность, да и вообще чтобы убедиться в существовании полей без интегральных гиперповерхностей, нам придется проделать некоторые построения и вычисления ). [c.315]

Теперь мы, наконец, можем дать определение контактной структуры на многообразии контактной структурой на многообразии называется невырожденное поле касательных гиперплоскостей. [c.319]

Определение. Касательный вектор к многообразию контактных элементов в фиксированной точке принадлежит контактной гиперплоскости, если его проекция на п-мерное много- [c.320]

Иными словами, перемещение контактного элемента касается контактной гиперплоскости, если скорость точки касания принадлежит этому контактному элементу, поворачиваться же элемент может как угодно. [c.321]

Задача. Можно ли задать поле контактных гиперплоскостей дифференциальной 1-формой на многообразии всех контактных элементов [c.321]

П р и м е р. Рассмотрим многообразие (размерности 2п — 1) всех контактных элементов и-мерного гладкого многообразия. На многообразии элементов есть поле гиперплоскостей (которые мы [c.322]

Следствие. Поле контактных гиперплоскостей задает на многообразии всех контактных элементов любого гладкого многообразия контактную структуру. [c.325]

Определение. Диффеоморфизм контактного многообразия ва себя называется контактным, если он сохраняет контактную структуру, т. е. переводит каждую плоскость задающего структуру поля гиперплоскостей в плоскость того же поля. [c.325]

Пример 2. Множество всех касательных плоскостей к графику функции / = ф (ж) в и -Ь 1-мерном евклидовом пространстве с координатами (аг ,. . Хп, /) является лежандровым подмногообразием в 2п -Ь 1-мерном пространстве всех невертикальных гиперплоскостей в пространстве графика (контактная структура задается 1-формой [c.332]

Примеры. 1. Многообразие контактных элементов гладкого многообразия состоит из всех касательных гиперплоскостей. Скорость перемещения элемента принадлежит плоскости, задающей контактную структуру, если скорость перемещения точки контакта принадлежит элементу. [c.450]

Рис. 31. Контактная структура максимально неинтегрируемое поле касательных гиперплоскостей

Скорость движения контактного элемента принадлежит контактной гиперплоскости, если и только если скорость движения точки контакта принадлежит этому контактному элементу. [c.61]

Контактная структура пространства 1-струй функций определена следующим условием для всякой функции многообразие её 1-струй во всех точках многообразия М касается (контактной) гиперплоскости. [c.61]

Спроектируем гиперплоскость, определяющую контактную структуру, из точки пространства лежандрова расслоения вдоль слоя на базу. Её образ есть контактный элемент к базе в точке, являющейся образом исходной точки. [c.63]

Таким образом мы сконструировали отображение из пространства лежандрова расслоения в пространство контактных элементов к базе. Это отображение является (локальным) диффеоморфизмом, так как невырожденность контактной структуры влечёт тот факт, что проекция гиперплоскости, задающей контактную структуру, вращается с ненулевой скоростью, когда точка пространства расслоения движется с ненулевой скоростью вдоль слоя. [c.63]

Замечание. Если либо пересечение не трансверсально контактным гиперплоскостям, либо порядок касания превышает 1, то в С°° классификации появляются функциональные модули (см. [163], [165]). [c.210]

Подмногообразие в проективном пространстве определяет лежандрово подмногообразие в пространстве контактных злементов объемлющего проективного пространства оно образовано контактными элементами, содержащими касательное пространство исходного подмногообразия. Пространство контактных элементов проективного пространства расслоено над двойственным проективным пространством (контактному элементу сопоставляем содержащую его гиперплоскость). Это расслоение является лежандровым (см. 3.1, рис. 35). Лежандрово подмногообразие, образованное контактными элементами, касающимися исходного подмногообразия, определяет лежандрово отображение в двойственное проективное пространство. Образ этого отображения (то есть множество касающихся исходного подмногообразия гиперплоскостей) является фронтом зтого лежандрова отображения. Для краткости будем называть его фронтом исходного подмногообразия. Лежандрово отображение называется фронтальным отображением (ассоциированным с подмногообразием). [c.233]

Определение. Нейтральной гиперповерхностью однопараметрической группы контактных диффеоморфизмов называется гиперповерхность, в точках которой вектор скорости принадлежит контактной гиперплоскости ( ( ) = О, где V — вектор скорости, а = О — уравнение контактной гиперплоскости). [c.244]

Предположим, что нейтральная гиперповерхность трансверсальна контактным гиперплоскостям. Орбиты группы на нейтральной гиперповерхности являются её характеристиками. [c.244]

В касательном пространстве к многообразию контактных элементов ид1еется замечательная гиперплоскость. Она называется контактной гиперплоскостью и определяется следующим образом. [c.320]

Полученное п — 1-мерное подьшогообразие 2п — 1-мерного многообразия всех контактных элементов в каждой своей точке касается поля контактных гиперплоскостей (по определению контактной гиперплоскости). Таким образом, поле контактных 2п — 2-мерных гиперплоскостей имеет п — 1-мерные интегральные многообразия. [c.321]

Ниже мы докажем, что поле контактных гиперплоскостей на 2п — . -мерном многообразии всех контактных элементов п-мерного многообразия невырождено. [c.321]

Д. Симплектизацвя контактного многообразия. Рассмотрим произвольное контактное многообразие, т. е. многообразие нечетной размерности N с невырожденным полем касательных гиперплоскостей (четной размерности N — 1). Эти плоскости мы будем называть контактными плоскостями. Каждая контактная плоскость касается контактного многообразия в одной точке. Эту точку мы будем называть точкой контактл. [c.322]

Доказательство. Сиьшлектизация 2п — 1-мерного многообразия всех контактных элементов на и-мерном гладком многообразии, построенная по полю 2п — 2-мерных контактных плоскостей, есть по построению пространство кокасательного расслоения исходного и-мерного многообразия без нулевых кокасательных векторов. Каноническая 1-форма а на симплектизации есть, согласно ее определению, та самая 1-форма на кокасательном расслоении, которую мы назвали р д и которая лежит в основе гаьшльтоновой механики (см. 37). Ее производная йа. есть, следовательно, форма айр Д йд , задающая обычную симплектическую структуру фазового пространства. Стало быть, форма йа не вырождена. Значит, по предыдущему замечанию, поле контактных гиперплоскостей не вырождено. Следствие доказано. [c.325]

Мы предположим, что многообразие Е трансверсально контактным плоскостям во всех своих точках. В таком случае пересечение касательной плоскости к Е в каждой точке с контактной плоскостью имеет размерность 2п — 1, так что на возникает поле гиперплоскостей. Более того, контактная структура ЛГ2п+1 определяет на Е поле прямых, лежащих в указанных 2п — 1 -мерных плоскостях. [c.335]

Г. Контактная геометрия систем лучей и волновых фронтов. Напомню, что контактной структурой на нечетномерном гладком многообразии называется невырожденное поле гиперплоскостей в касательных пространствах. В чем именно состоит условие невырожденности, несущественно, так как вблизи точки общего положения все поля гиперплоскостей общего положения на многообразии фиксированной нечетной размерности диффеоморфны (контактная теорема Дарбу, Добавление 4). [c.450]

Локально такое поле определено как поле нулей некоторой 1-фор-мы а, называемой контактной формой. Условия невырожденности заключаются в следующем а невырождена на гиперплоскостях, на которых а равна нулю эквивалентно, в (2тг 1)-пространстве [c.59]

Пример 3. Контактный элемент на У — это гиперплоскость в касательном к V пространстве. Все контактные элементы на V образуют расслоение над У, со слоем — проективным пространством контактных элементов, приложенных в одной точке контакта. Расслоение контактных элементов над V есть проективизация кокасательного расслоения V. Таким образом, пространство проективизации кокасательного расслоения РТ У имеет естественную контактную структуру (рис. 33). [c.61]

Косортогональные дополнения к радиус-векторам образуют ОЬ -инвариантное поле гиперплоскостей в пространстве ненулевых бинарных форм. Это поле определяет поле гиперплоскостей в проективном пространстве 0-мерных подмногообразий фиксированной степени на проективной прямой. Это поле гиперплоскостей и есть контактная структура. Эта контактная структура естественна (инвариантна под действием группы проективных преобразований прямой на пространстве 0-мерных подмногообразий фиксированной степени). [c.244]

В общей точке ребра возврата касательные плоскости лежандрова многообразия не вертикальны (не пересекают касательные плоскости слоёв). Однако, в некоторых точках ребра возврата они могут стать вертикальными (для типичной лежандровой поверхности с ребром возврата такие точки изолированы и соответствующее отображение ребра в лагранжев грассманиан контактной гиперплоскости трансверсально шлейфуй) лагранжевой плоскости, касающейся слоя). Эта ситуация порождает особенность Щ. [c.257]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...