Зависимость нормальных координат от времени

В приближении гармонического осциллятора зависимость нормальных координат от времени имеет вид [см. уравнение (2,13)] [c.223]

Граничные и временные краевые условия позволяют выделить конкретный изучаемый процесс из общего класса явлений, описываемых совокупностью уравнения распространения тепла в движущейся среде, уравнениями движения вязкой жидкости и сплошности. Основным пространственным краевым условием для движущейся жидкости является характеристика скорости течения вблизи твердой поверхности. Из условия прилипания граничного слоя жидкости к поверхности стенки касательная составляющая вектора относительности скорости на стенке равна нулю. Для непроницаемой стенки в случае отсутствия какого-либо физико-химического процесса, сопровождающегося поглощением или выделением жидкости, нормальная составляющая скорости относительного течения также отсутствуют. Для входа и выхода жидкости из зазора обычно задают распределения скоростей и давления. Условия теплообмена различаются следующими краевыми условиями условием первого рода — задается распределение температуры на поверхностях в функции координат и времени второго рода — характеризуют распределение теплового потока на границе в функции координат и времени третьего рода — выражают зависимость температуры твердой стенки от температуры окружающей среды через коэффициенты теплоотдачи = ср+<7/ i = ср-(аст/а)(аг/аи)ет или (Эг/Эи)сх = -(Х/Аст) X X ( ст - ср). где Гст - температура стенки t p - температура среды q — плотность теплового потока а — коэффициент теплоотдачи. Временные краевые условия выражаются заданным распределением температур в характерный момент времени. [c.164]

Различные варианты зависимости нормальных напряжений в соотношениях (8) от времени и пространственной координаты рассмотрели М. В. Долотов [25] и 1VI. Ziv [141]. [c.355]

Нормальные координаты 76, 83, 88, 222 антисимметричные, входящие в потенциальную функцию только в четных степенях 223 для вырожденных колебаний 93, 98, 113 зависимость от времени 83, 87, 223 комплексные 111 полярные 93 [c.617]

Проверить результаты предыдущей задачи при помощи прямого динамического расчета, используя следующий метод. Считая, что осциллирующее электрическое поле Е = ехр (гсо ) приложено в направлении х, определить обобщенную силу, действующую на каждую нормальную координату. Вводя малый декремент затухания к (не зависящий от г) каждой моды, определить результирующую зависимость от времени каждого а отсюда и Рх после затухания переходных процессов. Заменить сумму по модам в результирующем выражении интегралом, используя функцию а (со). Наконец, определить действительную и мнимую части результирующей функции реакции в пределе X 0. [c.565]

Все движение можно, следовательно, разложить на составляющие движения, каждое из которых соответствует изменению во времени только одной какой-либо нормальной координаты. Колебания для каждого из этих видов вполне аналогичны поэтому колебаниям системы с одной только степенью свободы. Спустя некоторое время, большее или меньшее в зависимости от степени рассеяния энергии, свободные колебания становятся совершенно незаметными, и система практически возвращается в состояние покоя. [c.154]

Из трех дифференциальных уравнений (22.6) и уравнения связи (21.1) в зависимости от времени можно определить неизвестные величины у, г, А. Получив координаты точки X, у, г ках функции времеии, определим движение точки М. Определив множитель Лагранжа Л, можно найти алгебраическое значение нормальной реакции поверхности по формуле [c.324]

На рис. 28 показан рост во времени полного прогиба в среднем сечении балки, а на рис. 26 — эпюры нормальных напряжений в процессе ползучести. Таким образом, максимальное значение полного прогиба к 80-му часу после нагружения будет равно 0,184 см. Анализируя графики, изображенные на рис. 26, заключаем, что в процессе ползучести нормальные напряжения перераспределялись, их зависимость от координаты стала нелинейной, а максимальное значение оказалось меньше, чем Ощах в момент нагружения. [c.72]

Если отвлечься от уравнений (1.8), то можно заметить, что компоненты пе )емещеиия участвуют в указанной системе уравнений только тогда, когда составляющие внешних нагрузок F , F зависят от перемещений (или их производных по координатам). Эта зависимость отсутствует, например, в практически важном случае нормального к поверхности О давления, заданного как функция лагранжевых координат и времени. [c.129]

Если нагрузка на границе полупространства является подвижной (под таковыми понимаются граничные условия типа (8), где область II зависит от времени), то непосредственное применение преобразования Лапласа при произвольном законе изменения во времени границы дО, затруднено. Поэтому в имеющихся в настоящее время публикациях, в основном, исследованы случаи расширения границы (90. R В. Гольдштейн [19] и J. W. raggs [94] рассмотрели для плоской задачи вариант задания на границе напряжений в виде (J33 = Т H(Vt - х) при V = onst. Показано, что вид решения существенно зависит от величины скорости V движения нагрузки. В первой из этих двух работ решение построено с использованием метода Винера-Хопфа. Проведено сравнение со стационарным решением. Существенное различие заключается, например, в том, что в последнем случае при V = j решение не существует. Вариант зависимости амплитуды Т нормальных напряжений от пространственной координаты рассмотрен в монографии И. Снеддона [62. [c.357]

В практике работы машин и аппаратов довольно часто встречаются соединения, подвергающиеся нестационарному тепловому воздействию. Для исследования особенностей контакта при нестационарном тепловом режиме применялась установка по скоростному определению термического сопротивления в зоне контакта (см. рис. 4-11). Показания самопишущего потенциометра в различные промежутки времени (4 интервала) нагрева образцов из материалов Д1 — сталь 45 и сталь 45 — сталь 30 приводятся на рис. 5 18 и 5-19. Здесь же приводится обработка данных в относительных координатах йТ1(1г=1 ) — относительная координата) с целью определения величины Ь — изменения скорости роста температуры в контактной зоне и величины а — скорости подъема температуры на границах образцов. Для нестационарного режима расчет термического сопротивления к.нст ведется по выражению (4-5) и определяется изменение Яц- ст в зависимости от времени т агрева образцов (рис. 5-18,в и 5-19,б). Характер кривой Як.пст = т ) может быть объяснен, исходя из физической сущности теплообмена в зоне контакта. Действительно, как видно из рис. 5-19, в первом интервале нагрева (/) при Т1 = 80 мин средняя температура контактной зоны лежит в пределах 7 к = 311°К, теплопроводность воздуха Яс = 26,5-10 3 вт/(м град), эквивалентная теплопроводность контактирующих металлов Лм = 47,8 втЦм- град), модуль нормальной упругости = 20,05 1 О н/м , в то время как в четвертом интервале (IV) при Т4=138 мин, когда температура контакта 7 к = 333°К, соответственно Я,с = 28,6 10-3 втЦм-град), Ям = 48,3 втЦм-град) и Е = = 20,1 10 н1м . Таким образом, имеет место увеличе-132 [c.132]

Температурное уширение квазилиний обусловливается изменением упругих постоянных, ангармонизмом колебаний, неадиабатичностью и зависимостью силы осциллятора электронного перехода от колебаний. Последний фактор уменьшает время жизни электронного состояния и соответственно уширяет линии по сравнению с первоначальной радиационной шириной. Изменение упругих постоянных (точнее, та часть его, которая приводит к перепутыванию нормальных координат кристаллических колебаний, т. е. к изменению осей системы нормальных координат кристаллических колебаний ири электронном переходе) и ангармонизм колебаний (точнее, ангармонические члены связи между колебаниями, обусловливающие релаксацию) приводят к температурным уширениям, которые можно для наглядности сопоставить временам колебательной релаксации. Характерные времена колебательной релаксации меньше электронных времен кизни в 10 —10 раз уже для разрешенных излучательных электронных переходов. Поэтому увшрения, обусловленные изменением упругих постоянных и ангармонизмом, играют обычно преобладающую роль. [c.26]

Н. А. Koenig и N. Davids [2.115] (1968) исследовали не-установившиеся волновые процессы в балках и пластинах конечной протяженности с учетом инерции вращения и сдвига. Записаны уравнения метода конечных элементов для балки и круговой пластины. Затем приведены численные результаты для консольной балки и круг0В(0Г0 кольца, защемленного по внешнему контуру. На свободном конце или контуре прикладывается изгибающий момент или сдвигающая сила, изменяющаяся во времени как функция Хевисайда или имеющая наклонный начальный участок. В каждом случае построены графики изгибающего момента и сдвигающей силы для фиксированной координаты в зависимости от времени при различных длинах. Интервал времени достаточно велик, чтобы учесть многократные от)ражения. Показано, что учет отраженных волн приводит к значительному увеличению нормальных и сдвигающих напряжений по сравнению с полу-бесконечным телом (например, в два раза). Причем, максимальные напряжения имеют место после нескольких отражений, что объясняется наличием дисперсии волн. Уменьшение длины балки и переход от постепенного нагружения к ступенчатому приводит к обострению экстремумов. моментов и сил. На основании сравнения метода конечных элементов и метода характеристик утверждается, что первый более эф-, фективен. Отмечается также эффективность метода конечных элементов по сравнению с любым численным методом в случае конечных областей. [c.158]

Сила, перпендикулярная к поверхности. Возьмем маленький диск, в пределах которого на свободную поверхность действуют нормальные напряжения, зависящие от времени по синусоидальному закону. Миллер показал, как следует скомбинировать фундаментальные решения волнового уравнения в цилиндрических координатах, чтобы нормальные напряжения на площади диска были (в данный момент времени) постоянны, а вне диска обращались в нуль. Смещения были затем выражены в виде интегралов, которые оценивались для диска с малым радиусом и для радиальных расстояний от источника, много больших длины волны объемных волн, В пределе этот источник может рассматриваться как сосредоточенная сила Оо Вследствие симметрии относительно вертикальной, оси компонента ио равна нулю, а другие компоненты независимы от 6. Зависимость смещений от полярного угла и радиального расстояния при 51пф<а выражается формулами [c.218]

Качественно разные режимы течения и формы спутных следов обусловливают различные значения аэродинамических характеристик. № рис. 4.15 приведены зависимости коэффициента нормальной силы с и безразмерной координаты центра давления от безразмерного времени для симметричного и несимметричного (новорог пластины) обтекания. При симметричном обтекании коэффициент с при больших X принимает среднее значение, близкое к 1, колебательный характер течения выражен сравнительно слабо, центр давления распоиожен строго на середине хорды. Если реализуется несимметричное обтекание, то периодический характер следа приводит на больших X к более сильным колебаниям коэффициента с и положения центра давления, чем при симметричном обтекании, причем среднее значение с несколько [c.96]

В отличие от одиночного маятника такая система имеет две собственные частоты. Та или иная из этих частот устанавливается в зависимости от способа возбуждения системы. Более низкая частота oi получается при качании обоих маятников Б одной фазе (рис. 11.25,6). Более высокая частота соз при качании маятников в противофазе (рис. 11.25, в). То, что сог > wi, объясняется тем, что возвращающая сила при колебаниях в противофазе больше, чем при колебаниях в одной фазе, за счет деформации связывающей пружины. Если упругость пружины невелика, то различие в частотах будет небольшим. Отметим, что разбираемая система обладает двумя степенями свободы (двумя координатами), так как ее положение в каждый момент времени определяется положением обоих маятников. Система с двумя степенями свободы обладает двумя собственными частотами, которые называются нормальными. Это означает, что при специальных способах возбуждения можно вызвать колебания маятников либо в одной фазе (с частотой oj), либо в противофазе (с частотой сог)- Но при произвольном возбуждении возникают колебания того и другого типа и, следовательно, обе частоты появляются одновременно. Каждый маятник, таким образом, участвует в двух колебанйях, близких по частоте. А в этом случае, как мы знаем, результирующее колебание маятника представляет собой биения. Итак, при произвольном возбуждении системы из двух связанных маятников возникают биения. При этом частота колебаний маятников [c.351]

Теоретически зависимость напряжение — деформация резины для ее высокоэластического состояния основана на положении, что равновесное деформированное состояние определяется высокоэластической составляющей и что упругой энергетической составляющей деформации можно пренебречь. Выражая деформацию через составляющие ее компоненты, соответствующие главным нормальным напряжением, можно подобрать координаты, в которых изменение напряжения от деформации носит линейный характер. В таких координатах константа материала не зависит от деформации. В первом приближении в качестве такой константы можно принять-равнОвесный высокоэластический модуль Ео продольной упругости резины. Показано [21], что пропорциональность между напряжением и деформацией в соответствующих координатах и в ограниченных, но практически достаточных пределах деформации с достаточным приближением может быть принята для статической и-динамической деформаций, но с разными в каждом конкретном случае модулями упругости материала, которые зависят от режима деформации и температуры. В частности, для статической деформации каждому моменту времени и величине напряжения в режиме е = onst будет соответствовать свое значение модуля упругости, изменяющееся от величины о — мгновенного модуля, определяющего упругие свойства резины в начальный период деформации, до Еоо. Промежуточные значения соответствуют или условно-равновесному состоянию (условно-равновесный модуль упругости), или состоянию при любом времени наблюдения (статический модуль упругости Е ) [c.15]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...