Автоморфизм Бернулли

Тх есть автоморфизм Бернулли, действующий в пространстве Мх бесконечных последовательностей из нулей и единиц, /7(0)=/7(1)= 1/2, M2 = S с мерой Хаа-ра. Выберем иррациональное 06 2 и зададим семейство Т 2(Л1) в виде [c.30]

Допустим, что Т эргодичен и Ey= x xq=y , убК. Тогда производный автоморфизм Те будет автоморфизмом Бернулли. [c.33]

Пусть г — автоморфизм Бернулли, действующий в пространстве (Ai, Ж, х) последовательностей л=(..., x i, лго, Xj,. ..), гб(К, у, v), Г = й1,. .., аЛ, v( aft ) = / ft, 1<А<г. Разбиение E = ( i,. .., С ), где С = хбЖ Хо = а является образующим для [c.49]

Проблема изоморфизма автоморфизмов Бернулли [c.52]

Проблема классификации динамических систем с точностью до метрического изоморфизма (проблема изоморфизма), как показывают имеющиеся в настоящее время примеры, в общей постановке является совершенно необозримой. Введение энтропии и доказательство с ее помощью существования континуума попарно неизоморфных автоморфизмов Бернулли привлекло внимание к суженной проблеме изоморфизма, относящейся к классам автоморфизмов Бернулли и /С-автоморфизмов. Для них проблема изоморфизма ставится как своеобразная проблема кодирования. В случае, например, автоморфизмов Бернулли с разными пространствами состояний (разными алфавитами) требуется закодировать последовательности, записанные в одном алфавите, в последовательности, записанные в другом [c.52]

Два автоморфизма Бернулли Tj, Гг с конечными пространст вами состояний, меры в которых задаются соответственно векторами (/ , ( 1, заведомо неизоморфны, если h Ti) h T2), т. е. — Следующей пример, построенный Л. Д. Мешалкиным [28], показывает, что при h(Ti) = h(r2) автоморфизмы Бернулли к. с различными (неизоморфными) пространствами состояний могут оказаться метрически изоморфными. [c.53]

Приведенная конструкция, хотя и допускает некоторые обобщения, применима лишь к автоморфизмам Бернулли специального вида. Первый результат общего характера, относящийся к проблеме изоморфизма автоморфизмов Бернулли, был связан с понятием слабого изоморфизма. [c.53]

Теорема 4.1 (Я. Г. Синай [43]). Любые два автоморфизма Бернулли с одинаковой энтропией слабо изоморфны. [c.53]

Пример. Пусть Г — автоморфизм Бернулли, действующий в пространстве М1 двусторонних последовательностей х= = (..., х-и Хо, Хь. ..) из нулей и единиц с мерой р., задающейся вектором (1/2, 1/2). Рассмотрим специальный поток, построенный по Т1 и функции / Лil->-R такой, что f x)=a, если Хо = 0 /(х)=р, если Хо=1, и а/р иррационально, а, р>0. [c.60]

Пусть Г[— автоморфизм Бернулли на с двумя [c.64]

Автоморфизм Q выбран в этом следствии как самый простой. Таким образом, перестраивая траектории автоморфизма Q, можно получить, например, автоморфизм Бернулли в качестве 5 и т. п. Разумеется, функция т(х) будет в этом случае весьма сложной, а функция распределения ее будет убывать очень медленно. Открывается возможность изучать вместо автоморфизмов инварианты функции т(-), позволяющей получить данный автоморфизм из Q или другого базового эргодического автоморфизма заменой времени с функцией т -). [c.93]

S" I Аг<1 изоморфно автоморфизму Бернулли. [c.154]

Вариационный принцип (теорема 4.5.3) говорит нам, что топологическая энтропия равна верхней грани метрических энтропий. Мы знаем также, что для разделяющих отображений эта верхняя грань достигается (теорема 4.5.4). Таким образом, естественно попытаться исследовать эти специальные меры, энтропия которых максимальна. Для линейного растягивающего отображения окр ности и топологического сдвига Бернулли меры максимальной энтропии определялись очевидным образом, а для гиперболических автоморфизмов тора мы установили, что мера Лебега обладает максимальной энтропией (4.4.7). В предложении 4.4.2 мы показали, что специальная марковская мера /X[j, так называемая мера Перри, обладает максимальной энтропией для любой топологической цепи Маркова. Кроме того, упражнение 4.4.2 позволяет утверждать, что эту меру можно рассматривать как предельное распределение периодических орбит. То же, очевидно, верно для меры Лебега в случае линейного растягивающего отображения. Теперь мы покажем, что при наличии свойства спецификации [c.616]

Используйте представление a-jf как группового автоморфизма (см. п. 4.2 ж) и тот факт, что однородная мера Бернулли является мерой Хаара, и рассмотрите действие соответствующего унитарного оператора 7, на характерах. [c.742]

Пример 8.6. Сравнение рис. 1.17, 2.4 и 8.1 наводит на предположение о том, что автоморфизм тора из примера 1.16 и схемы Бернулли являются перемешиванием. Позднее мы докажем это предположение (см. 10.5 и 10.6). [c.28]

Пример 12.22. Схемы Бернулли. Пусть Б(р1,. .., р ) — схема Бернулли (см. гл. 1, пример 2.2), (р — ее автоморфизм. Рассмотрим конечное разбиение а с к элементами [c.46]

Метрический автоморфизм -(эндоморфизм) Бернулли 161 Минимальная динамическая система 223 [c.241]

X, ж, я) называется пространством состояний автоморфизма (эндоморфизма) Бернулли. [c.13]

Теорема 4.2 (Я. Г. Синай [43]). Если Тх — эргодический автоморфизм пространства Лебега, Гг—автоморфизм Бернулли с Л(Гг)<оо, h Tz) h Ti), то Гг метрически изоморфен некоторому факторавтоморфизму автоморфизма Тх. [c.53]

Теорема 4.3 (Орнстейн (О. Огпз1е1п) [100]). Любые два автоморфизма Бернулли Т, Гг. Для которых Ь(Т )=к Т2), метрически изоморфны. [c.54]

В теореме Орнстейна пространства состояний для Гь Гг не предполагаются конечными или счетными, случай Л(Г1) = = Л(Гг)=оо также не исключается. Таким образом, энтропия является полным метрическим инвариантом автоморфизмов Бернулли. [c.54]

Класс 5-автоморфизмов, очевидно, совпадает с классом автоморфизмов, метрически изоморфных автоморфизмам Бернулли. Приведенное определение — просто бесксюрдинатная версия определения автоморфизма Бернулли, удобная в вопросах, связанных с проблемой изоморфизма. [c.54]

Если бернуллиевская образующая для Г конечна, то соответствующий автоморфизм Бернулли имеет конечное число состояний. [c.54]

Основны е этапы доказательства теоремы Орнстейна об изоморфизме автоморфизмов Бернулли. Мы ограничимся случаем автоморфизмов Бернулли с конечным числом состояний. В этом случае теорема является следствием следующего более общего утверждения. [c.57]

Утверждение А в случае, когда Tj —автоморфизм Бернулли, I2 —его бернуллиевская образующая, уточняет теорему 4.2. Требуемое разбиение i получается как предел индуктивно строящейся последовательности = такой, что [c.57]

Проблема изоморфизма для К-систем. В то время как для автоморфизмов. Бернулли полная их метрическая классификация дается теоремой Орнстейна, в случае /(-систем ситуация значительно более сложная. Имеющиеся здесь результаты носят отрицательный характер. Орнстейн построил пример /(-автоморфизма, метрически не изоморфного автоморфизму Бернулли. Некоторая модификация этого примера привела к построению континуума попарно не изоморфных /С-автоморфнзмов с одинаковой энтропией. [c.60]

Финитарный изоморфизм. Имеется интересное уточнение теоремы Орнстейна об изоморфизме автоморфизмов Бернулли. [c.60]

Общая конструкция Орнстейна для доказательства изоморфизма автоморфизмов Бернулли с одинаковой энтропией приводит к нефинитарному изоморфизму. Имеются примеры метрически изоморфных сдвигов в пространстве последовательно- стей, не являющихся финитарно изоморфными. Тем не менее, справедлива следующая [c.61]

Исходя из потока Аносова класса С , можно построить НПГ-поток класса без неподвижных точек (см. [32]). На любом двумерном многообразии существует НПГ-диффеомор-физм класса С , а на любом п-мерном многообразии с п>2 можно построить диффеоморфизм класса С , у которого все показатели Ляпунова, кроме одного, отличны от нуля (см. [55], [71]). В этих примерах мера Лебега инвариантна, и по отношению к ней диффеоморфизм метрически изоморфен автоморфизму Бернулли. [c.142]

Теорема 3.19 (см. [4], [6]). Диффеоморфизм Аносова с мерой Лиувилля класса изоморфен автоморфизму Бернулли (в частности, он эргодичен, перемешивает, обладает /С-свойст-вом, имеет положительную энтропию) кроме того, он обладает свойством экспоненциального убывания корреляций и удовлетворяет центральной предельной теореме теории вероятностей для функций, удовлетворяюших усло1вию Гёльдера. [c.155]

Подобно тому как вращения окружности и сдвиги на торе являются частными примерами сдвигов на компактных абелевых группах, автоморфизмы и эндоморфизмы тора являются простейшими примерами автоморфизмов и эндоморфизмов компактных абелевых групп. Топологический сдвнг Бернулли, обсуждаемый в следующем параграфе, и аттрактор Смейла, который обсуждается в 17.1, также могут рассматриваться как автоморфизмы компактных абелевых групп. Изучение динамики к эргодической теорнн автоморфизмов компактных абелевых групп связано с вопросами, относящимися к коммутативной алгебре, алгебраической геометрии и в особенности алгебраической теории чисел. Эта взаимосвязь хорошо представлена в книге Шмидта [287], [288]. [c.723]

Инвариантная мера для топологических цепей Маркова, заданная уравнениями (4.4.5) и (4.4.6), была введена Перри в [244]. Она использовалась Адлером и Венссом при доказательстве того факта, что автоморфизмы двумерного тора с равной энтропией ме-гоически изоморфны. Доказательство опирается на марковское разбиение, описанное в 2.5. Хотя этот факт теперь может быть доказан с помощью теории изоморфизмов Орнстейна, он предшествовал работе Орнстейна об изоморфизмах сдвигов Бернулли и был одним из ранних нетривиальных примеров метрического изоморфизма в динамике. [c.726]

Топологический автоморфизм или топологический двусторонний сдвиг (соответственно, эндоморфизм или односторонний сдвиг) Бернулли а и получающийся при его итерировании топологический каскад (полукаскад) Бернулли а действует в пространстве 2 бесконечных двусторонних (односторонних) последовательностей символов из некоторого конечного алфавита Л = а1,..., а , снабженном топологией прямого произведения бесконечного числа экземпляров А, рассматриваемых с [c.159]

Тополюгичеосий автоморфизм (двусторонний сдвиг, каскад) Бернулли Ш1 [c.242]

Пусть (X, ВБ, А,) — вероятностное пространство, М. — пространство последовательностей вида х= х ), где х Х,. neZ или п 2+ , а Т—сдвиг на М, т. е. Тх=х, Хп=Хп+и Введем меру ц на М, являющуюся прямым произведением сомножителей, равных Я (produ t — мера меры Я). Иными словами, на пространстве (уИ, ц) случайные величины х взаимно независимы и каждая из них имеет распределение А,. Сдвиг Т называется в этом случае автоморфизмом (эндоморфизмом) Бернулли (J. Bernoulli) и является одним из основных примеров автоморфизмов (эндоморфизмов) в эргодической теории. Пространство [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...