Задача Принцип минимума потенциальной

Для рассматриваемой задачи виртуальная работа нагрузки имеет заданное значение С. Поэтому принцип минимума потенциальной энергии становится принципом минимума энергии деформаций. Применительно к проекту с, этот принцип приводит к неравенству [c.21]

Принцип минимума потенциальной энергии. Один из наиболее распространенных приближенных методов решения задач статики упругих систем основан на принципе, утверждающем, что из всех возможных равновесных состояний, которые может принять упругая система под действием внешних статически приложенных сил, она принимает такое состояние равновесия, в котором ее потенциальная энергия имеет минимальное значение, т. е. [c.177]

Полученное из принципа минимума потенциальной энергии условие Ji = U—2А = т п является очень эффективным для приближенных решений задач статики стержней. Дифференциальные уравнения, получающиеся при исследовании вариационных задач (например, уравнение равновесия стержня), интегрируются в конечном виде лишь в частных случаях. Поэтому возникает необходимость в разработке методов приближенного решения вариационных задач с использованием исходных функционалов [например, (4.217)], не переходя к дифференциальным уравнениям. Такие методы решения вариационных задач принято называть прямыми методами. [c.180]

Решение задачи теории упругости часто связано со значительными математическими трудностями. В этих случаях прибегают к принципам минимумов потенциальной или дополнительной энергии. Применение этих принципов заключается в отыскании функций, удовлетворяющих граничным условиям задачи, и минимизации потенциальной энергии П или дополнительной энергии R. [c.215]

Заметим, что удовлетворять заранее статическим граничным уело-виям, вообще говоря, нет надобности, так как функции Uj, реализующие минимум функционала П, будут удовлетворять, как уже известно, уравнениям равновесия Ламе (5.47) и статическим граничным условиям (5.48), т. е. будут решением граничной задачи, эквивалентной принципу минимума потенциальной энергии. [c.108]

Вариационная постановка плоской задачи, основанная на принципе минимума потенциальной энергии, обстоятельно рассмотрена в книге [35]. Отметим, что при определении температурных напряже ний во многих случаях также эф ктивно применение вариационных методов (И, 30]. [c.328]

Необходимо здесь отметить, что формулировка законов механики в форме принципа Гамильтона имеет и то значение, что он позволяет установить, как нужно описывать немеханические системы с той же математической строгостью, которая характерна для классической механики. Принцип Гамильтона нельзя рассматривать как чисто механический принцип. Здесь интересно отметить, что есть закон, который во многом аналогичен принципу Гамильтона и который имеет очень общий характер. Этот закон часто служит физику трамплином для перепрыгивания провалов в экспериментальных данных. Он гласит, что всякая система стремится к состоянию с минимумом потенциальной энергии. Такое состояние, вообще говоря, будет равновесным, хотя и не обязательно. Это — важный эвристический метод физики. Например, в теории Бора мы говорим, что электрон спонтанно переходит из возбужденного в нормальное состояние, так как он стремится к состоянию с минимумом энергии. Впрочем, аналогичную формулировку можно дать и второму началу термодинамики, особенно в его вероятностной трактовке. Важен следующий факт если задано исходное состояние физической системы и ее энергетический баланс, то можно указать, в общем, направление, в котором будет происходить изменение состояния системы. Таким образом, этот, по сути дела, вариационный принцип минимума потенциальной энергии лежит в основе исследования задач устойчивого равно- [c.865]

Второй способ вариационной постановки задачи кручения основан на применении принципа минимума потенциальной энер- [c.414]

В литературе функционал (8) часто называют функционалом Лагранжа вариационной задачи (1), (2). Мы не будем пользоваться этим термином, оставив его для функционала, участвующего в формулировке принципа Лагранжа (принцип минимума потенциальной энергии) в теории упругости и теории оболочек. Функционал (8), как и все функционалы без дополнительных условий, полный. [c.36]

Само по себе равенство (4) ничего не добавляет к условиям непрерывности, которые участвуют в формулировке вариационной задачи для Эт (табл. 3.1) и не помогает при решении задачи, если решение выполняется с помощью принципа минимума потенциальной энергии. Однако это равенство позволяет переходить к другим функционалам, использование которых может упростить решение. [c.92]

Рассмотрим сначала принцип минимума потенциальной энергии применительно к задаче упругости 1.5. Пусть функции возможных перемещений и, v, w задаются соотношениями (1.34) — [c.61]

Мы вывели принцип минимума потенциальной энергии и родственные ему принципы из предположения, что граничные условия на Si и 5з при варьировании не изменяются. Теперь рассмотрим варьирование граничных условий. Пусть задача 1.5 решена и компоненты напряжения и деформации, а также функции Л и 5 действительного решения выражены через заданные объемные и поверхностные силы на и поверхностные перемещения на Sj. Обозначим здесь компоненты напряжений, деформаций и перемещений действительного решения через о, <3у,. .. е ., е , е ,. .. и, V, W соответственно. [c.63]

Отсюда и из принципа минимума потенциальной энергии ( 2.1), кстати, следует, что не существует неустойчивых положений равновесия, если изучается задача линейной теории упругости. [c.97]

В заключительное параграфе этой глава покажем, что формулы для верхней и нижней границ крутильной жесткости можно получить путем одновременного использования принципов минимума потенциальной и дополнительной энергии [10—15]. Для простоты предположим, что сечение стержня односвязно и задача кручения определяется теми же соотношениями, что и в 6.1. [c.170]

Рассмотрим задачу о кручении стержня, жестко заделанного на одном конце (г = 0) и нагруженного крутящим моментом М на другом конце (г = I), как показано на рнс. 6.12. Предполагается, что сечение стержня имеет две оси симметрии. Следуя статье Рейсснера [4] и используя принцип виртуальной работы или принцип минимума потенциальной энергии, получите следующие результаты. [c.180]

Докажите, что условия стационарности функционала принципа минимума потенциальной энергии, выведенного в задаче 1, имеют вид [c.209]

Принцип минимума потенциальной энергии и его преобразование для задачи о растяжении пластины [c.226]

Принцип (10.21) означает, что для этой задачи функционал принципа минимума потенциальной энергии имеет вид [c.293]

Заканчивая эту главу, сделаем два замечания. Первое замечание касается метода Галеркина. Как указано во введении к части А, приближенный метод решения, основанный на принципе виртуальной работы и называемый методом Галеркина, может рассматриваться как вариант метода взвешенных невязок. В задачах линейной статической теории упругости этот метод приводит к конечно-элементной формулировке, эквивалентной формулировке, получаемой при помощи принципа минимума потенциальной энергии. Однако в задачах, более сложных, чем задачи линейной теории упругости, предпочтительнее использовать принцип виртуальной работы или его эквивалент. Можно провести аналогичные рассуждения, связанные с методами конечных элементов, основанными на принципе дополнительной виртуальной работы, модифицированном принципе виртуальной работы и модифицированном принципе дополнительной виртуальной работы. [c.358]

Функционал принципа минимума потенциальной энергии в задаче изгиба пластин дается выражением [c.396]

Уравнения (17.97) содержат минимальное число членов, необходимое для описания влияния поперечной деформации сдвига, поперечной нормальной деформации и искажения поперечного сечения. Для вывода уравнений равновесия используется принцип минимума потенциальной энергии. Для примера с помощью этих уравнений была решена задача и решение было сопоставлено с точным решением по трехмерной теории. Ло и др. [38] обобщили эту теорию и на случай толстых слоистых пластин. [c.422]

Докажите, что функционал принципа минимума потенциальной энергии той задаче дается выражением [c.446]

Этот принцип является в известной степени аналогом принципа минимума потенциальной энергии деформаций, широко используемого в теории упругости. Принцип Гельмгольца в гидродинамике вязкой жидкости, так же как принцип минимума потенциальной энергии в теории упругости, может быть положен в основу применения прямых методов вариационного исчисления для решения задач о медленном движении, в частности для задач гидродинамической теории смазки. [c.430]

Поясним на примере первой краевой задачи [в условиях (1.1), (1.2) З" =5,5 = 0], как с помощью принципов минимума потенциальной энергии системы и дополнительной работы выводятся неравенства для энергии деформации I/ [192]. [c.96]

Оценку сверху для и получим исходя из принципа минимума потенциальной энергии системы. Пусть и, -решение краевой задачи. Рассмотрим кинематически допустимое поле и. Тогда в силу (1.7), (1.8) [c.96]

По принципу минимума потенциальной энергии системы функция кручения (/ — решение задачи — минимизирует функционал [c.199]

Обобщение принципа минимума потенциальной энергии деформации на случай задачи термоупругости. [c.44]

Заметим еще, что для статической задачи <5 — О и принцип Гамильтона сводится к принципу минимума потенциальной энергии упругой системы [c.595]

Так как по закону Гука напряжения можно выразить через деформации (а следовательно, через перемещения и, V, а/) и, обратно, деформации можно выразить через напряжения, то в теории упругости одну и ту же задачу можно решать либо в перемещениях, либо в напряжениях, рассматривая соответствующую систему дифференциальных уравнений. Этим двум подходам отвечают и различные вариационные принципы (принцип минимума потенциальной энергии и принцип Кастильяно). Заметим, что можно исходить из смешанной системы уравнений, но это не всегда удобно. [c.26]

Широкое применение в расчетах резинотехнических изделий находит принцип минимума потенциальной энергии. Ввиду специфичности граничных условий варьирование по перемещениям является наиболее приемлемым. Главной задачей обычно является определение жесткости изделия, т.е. получение зависимости [c.106]

Выражение в левой части (1.27) называется потенциальной энергией упругой конструкции, находящейся под действием заданных нагрузок Р , для кинематически допустимых смещений р и соответствующих деформаций q. Она получается путем вычитания из энергии деформаций для деформаций q виртуальной работы нагрузок на смещениях р. Неравенство (1.27) показывает, что смещения и деформации, дающие реще-ние нашей задачи для конструкции, минимизируют потенциальную энергию принцип минимума потенциальной энергии). [c.16]

Другая вариационная постановка задачи кручения бруса базируется на принципе минимума потенциальной энергия системы (см. гл. V, 5). В этом случае приходим к функционалу /7, уравнением Эйлера—Остроградского которого является уравнение Лапласа (7.54) для функции кручения ф (оно получено из уравнений равновесия Ламе), естественными граничными условиями — граничные условия (7.55) для функции ф. Читателю, желаю1Цему ознакомиться с такой постановкой вариационной задачи кручения, можно рекомендовать книгу [35]. [c.179]

Для краевой задачи связанной теории термоупругости в [115] предложены вариационные формулировки, соответствующие принципам минимума потенциальной энергии системы, Кастильяно, Хеллингера-Рейсснера и Ху-Вашицу, причем в функционалы с помощью свертки явно включены начальные условия. Наиболее удобно для решения краевых задач использовать принцип минимума потенциальной энергии системы или принцип Лагранжа для полей перемещений и температуры, который состоит в следующем [21]. [c.193]

Метод Ритца. Вариационная формулировка задачи о равновесии, заключающаяся в принципе минимума потенциальной энергии системы, подсказывает возможность применения для решения задач теории упругости прямых методов вариационного исчисления. [c.153]

Принцип минимума дополнительной энергии был выведен в 2.2 из принципа Дополнительной виртуальной работы. Легко проверить, что принцип минимума потенциальной энергии можно вывести из принципа минимума дополнительной энергии, проводя в обратном порядке рассуждения этого и предыдущего параграфов. Эквивалентноегь этих двух подходов очевидна, так как речь идет о теории упругости при малых перемещениях. Однако особо отметим тот путь, который ведет от принципа виртуальной работы к принципу минимума потенциальной энергии и другим связанным с ним вариационным принципам, потому что этот метод имеет больше преимуществ при систематическом решении задач в механике твердого тела. [c.59]

Если краевую задачу теории упругости можно решить только приближенно, желательно найти верхнюю и нижнюю границы точного решения. Но это требование редко удовлетворяется, так как обычно найти границы гораздо сложнее, чем приближенные решения. Треффтц предложил способ нахождения формул для верхней и нижней границ для крутильной жесткости стержня путем одновременного использования принципов минимума потенциальной энергии и дополнительной энергии (см. [18] и 6.5). После того как его работа была опубликована, появилось множество работ по этому и близким вопросам теории упругости. Среди них можно отметить введение важного понятия функционального пространства, предложенное Прагером и Синджем [19]. [c.62]

Выведенные выше вариационные принципы можно применить к решению задач об изгибе пластин. Принцип минимума потенциальной энергии (8.51) в сочетании с методом Релея—Ритца успешно применялся для получения приближенных решений задач о прогибе пластин при изгибе (см., например, [2, 9, 10J). [c.230]

Докажите, что функционал принципа минимума потенциальной зиергии в этой задаче имеет вид [c.448]

Можно показать, что в случае устойчивого равновесия экстремальное значение полной потенциальной энергии соответствует минимуму (принцип минимума потенциальной энергии, иногда называемый также принципом Грина— Дирихле). Это легко доказать для линейно-упругой задачи, если сравнить П в состоянии равновесия со значением П в смежном состоянии, характеризуемом величинами м,--1-би,- и е,/+ бе,/. Тогда устанавливается, что всегда П > П. [c.92]