Стержни Уравнения в неподвижной системе

Материальная точка А массы mi движется в вертикальной плоскости по внутренней гладкой поверхности неподвижного цилиндра радиуса /. Материальная точка В массы m2, присоединенная к точке А посредством стержня АВ длины /, может колебаться вокруг оси А, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения точек А п В определены с помощью углов а и ф, отсчитываемых от вертикали. Составить дифференциальные уравнения движения системы. Написать дифференциальные уравнения малых колебаний системы. Массой стержня АВ пренебречь. [c.365]

В первой главе изложены методы вывода уравнений равновесия для наиболее общего случая пространственно-криволинейных стержней. При выводе используется векторное исчисление, позволяющее получить уравнения в наиболее компактной форме записи, удобной при преобразованиях. Используются две системы координат неподвижная (декартова) и подвижная (связанная с осевой линией стержня). В зависимости от конкретных условий задачи выбор системы координат может существенно упростить уравнения и их решение. [c.13]

Поэтому при записи нелинейных уравнений равновесия стержня в скалярной форме как в неподвижной, так и в связанной системе координат следует оговаривать характер поведения внешних нагрузок. [c.28]

Пример 5.2А. Простой маятник. Тяжелая точка движется без трения по окружности радиуса а в вертикальной плоскости. Система голономна с одной степенью свободы. В качестве лагранжевой координаты возьмем угол 0, отсчитываемый от наинизшей точки окружности. Заданной силой здесь является вес частицы, а реакцией связи — нормальная реакция проволоки (если представить, что бусинка скользит по гладкой проволоке) или натяжение стержня (если считать, что частица закреплена на конце невесомого стержня, другой конец которого шарнирно закреплен в неподвижной точке). Потенциальная энергия равна mgz, где z — высота частицы относительно центра окружности. Уравнение энергии имеет вид [c.61]

Начало неподвижной системы координат xyz поместим в точке закрепления опорного гибкого стержня, как это показано на рис. 1. Рассечем исходную систему на две вспомогательные подсистемы, включив в первую из них гибкий вал с ротором, а во вторую — корпус с упругими связями вала, ротором электродвигателя и гибким стержнем. В местах соединения обеих подсистем приложим силовые факторы, заменяющие действие одной части на другую. Тогда, в частности, к гибкому валу в сечении соединения с ротором электродвигателя будут приложены реакции Xj, и момент 2, а в местах расположения упруго податливых опор при полном числе действующих связей — реакции и Х . Будем иметь в виду, что вынужденные колебания возбуждаются сосредоточенным дисбалансом ротора ультрацентрифуги. Для рассматриваемой исходной системы можно записать канонические уравнения метода динамических податливостей [c.44]

Система уравнений в скалярном виде и граничные условия. Уравнения (12) имеют наиболее простой вид в декартовой системе координат, а граничные условия — не сложнее, чем в любой другой системе, поэтому для стержней с пространственной криволинейной осью эти уравнения следует проектировать на неподвижную систему X, у, г [I, 5] [c.23]

В статически неопределимых системах нельзя определить усилия в элементах конструкции, пользуясь только уравнениями равновесия статики. В качестве примеров приведем системы, состоящие из трех стержней, прикрепляющих шарнирный узел А (рис. 20, а), или из четырех стержней, поддерживающих жесткую балку АВ (рис. 20, б). Для неизменяемого прикрепления узла в первом случае достаточно поставить два стержня третий является лишней связью для определения усилий в стержнях этой системы двух уравнений равновесия узла А 2 = 0 2 = О недостаточно и необходимо составить одно дополнительное уравнение деформаций. Для неподвижного прикрепления плоского диска АВ (рис. 20, б, в) к опорной поверхности необходимо лишить его трех степеней свободы и, следовательно, дать три опорных стержня, усилия в которых можно найти из трех условий равновесия [c.31]

Основную систему выбирают такую, в которой после введения дополнительных связей ликвидируется подвижность узлов рамы. Дополнительные связи вводят с таким расчетом, чтобы в основной системе каждый стержень рамы являлся балкой, у которой оба конца заделаны или один конец заделан, а другой шарнирно оперт. Для этих случаев имеется набор формул и таблиц, которые устанавливают зависимость усилий на концах балки от перемещений и которые используют как рабочий аппарат при определении коэффициентов в уравнениях метода. Деформациями растяжения — сжатия и сдвига стержней рамы обычно пренебрегают. Наиболее эффективен метод расчета (применительно к раме с неподвижными узлами), когда нет линейных упругих перемещений и узлы могут только поворачиваться. [c.494]

При испытаниях по трехточечному методу измеряются нагрузка Р1, перемещение точки ее приложения шр и прогиб центра пластины и> относительно неподвижной системы отсчета. Для определения упругих постоянных используются уравнения (4.1.12) и (4.1.13). Расчетные зависимости при ф = О или 90° и ф = 45° приведены в табл. 4.2.1. Как видно из таблицы, в случае испытаний пластины при ф = О и ф = 45° получаем три уравнения для четырех неизвестных упругих постоянных. Для определения всех упругих постоянных необходимы А XI или. 4 22- Их получают из независимых испытаний на изгиб или растяжение стержней, вырезанных из такой же пластины под углом О плп 90°. [c.138]

В общем случае лопатка рассматривается как пространственный естественно-закручен-ный брус или пластина переменного поперечного сечения (рис. 5.5.8), закрепленная консольно в корневом сечении. Под действием начальных или остаточных напряжений лопатка находится в одноосном или двухосном напряженном состоянии. Дифференциальное уравнение проекции упругой линии естественно-закрученного стержня на плоскости ху и yz неподвижной системы координат X,Y,Z, выраженные через моменты в подвижной системе координат и,у,г, имеет вид [c.829]

Из предыдущего параграфа известно, что условие равновесия произвольной плоской системы сил выражается тремя уравнениями, значит с их помощью можно определить реакции опор только в том случае, если число реакций связи не превышает трех. Таким образом, балка статически определима, если она, например, опирается на три непараллельных шарнирно-прикрепленных стержня (рис. 1.51, а) имеет две опоры, из которых одна шарнирно-неподвижная, другая — шарнирно-подвижная (рис. 1.51,6) опирается на две гладкие поверхности, из которых одна с упором (рис. 1.51, е) опирается в трех точках на гладкие поверхности (рис. 1.51, г) жестко заделана в стену или защемлена специальным приспособлением (рис. 1.51,6). В первых четырех случаях действие сил на балку уравновешивается тремя реакциями опор (рис. 1.51, а, б, б, г). [c.45]

Найдем уравнения центроид. С этой целью выбираем две системы координат неподвижные оси с началом в точке О, ось л направляем влево по диаметру АВ, ось у — вертикально вверх, и подвижную систему координат с началом в точке А, ось Х] направляем по стержню АВ, ось 3 ] — перпендикулярно к стержню по прямой АВ (рис. б). Тогда уравнение неподвижной центроиды будет [c.397]

Решение. Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к балке АВ. Отбрасываем связи шарнирно-неподвижную опору А, стержень D и нить. Дей ствие связей на балку заменяем их реакциями (рис. 13). Так как направление реакции шарнирно-неподвижной опоры А неизвестно, то определяем ее составляюш,ие Ха и Yа- Покажем также реакцию Sqd стержня D и реакцию S нити, модуль которой равен Р. Равномерно-распределенную нагрузку интенсивностью q заменяем сосредоточенной силой Q, равной Q = 2-g = 2 0,5 = I кН и приложенной в центре тяжести эпюры этой нагрузки. Для плоской системы сил, приложенных к балке, составляем три уравнения равновесия [c.16]

Если стержни системы, сходящиеся в узлах, между которыми заключен исследуемый стержень, обладают чрезвычайно большой жесткостью, то исследуемый стержень уподобляется стержню с абсолютно защемленными неподвижными концами. В этом случае Emi=Em2= o и, следовательно, 7jj =v,2=0. Уравнение (69) принимает вид [c.230]

Значения ji, соответствующие различным i ll и и определенные решениями уравнения (69), сведены в табл. 92, Эта таблица позволяет быстро устанавливать критическую силу или систему сил для всякой стержневой системы с неподвижными узлами. Пример 1, Определить критическую силу для системы (фит. 81, а). Погонные жесткости стержней одинаковы. [c.231]

Уравнения (5)—(9) описывают движение системы с учетом динамики демпферов при условии, что в положении равновесия стержни маятников демпферов располагаются вдоль общей прямой. При малых колебаниях одного или обоих маятников смещение центра масс всей системы будет очень малым, и это смещение нет надобности учитывать, коль скоро демпферы установлены попарно так, что в невозмущенном положении стержни их маятников расположены вдоль общей прямой. В предельном случае один из маятников колеблется свободно, другой маятник этой пары играет роль неподвижного противовеса. При включении в систему второй пары маятников к системе уравнений добавятся два уравнения движения, имеющие вид (8) и (9). [c.63]

Обобщенные координаты и обобщенные скорости. Число координат (параметров), определяющих положение механической системы, зависит от количества точек (или тел), входящих в систему, и от числа и характера наложенных связей. Буде.м в дальнейшем рассматривать только системы с геометрическими связями, т. е. со связями, налагающими ограничения на положения точек системы в пространстве, но не на их скорости. Числом степеней свободы механической системы называется, как известно, число независимых между собою возможных перемещений системы ( 170). Геометрические связи уменьшают на одно и то же количество единиц и число независимых возможных перемещений системы, и число независимых между собою координат, определяющих положение этой системы. Например, если какую-нибудь точку системы с координатами х , у , связать жестким стержнем длины I (геометрическая связь) с неподвижной точкой Л (лГд, уд, ), то число возможных перемещений системы уменьшится на единицу, так как станет невозможным перемещение точки вдоль прямой АВк- Одновременно координаты точки будут все время удовлетворять уравнению (лг — х ) ( д — укУ - -(г д — кУ= Л выражающему эту связь математически следовательно, число независимых между собою координат системы тоже уменьшится на единицу. В результате оказывается, что число независимых координат, определяющих положение системы с геометрическими связями, равно числу степеней свободы этой системы. В качестве таких координат можно выбирать параметры, имеющие любую [c.453]

Найти число степеней свободы и обобщенные координаты механической системы, которая состоит из грузов Ши Ш2у расположенных на стержне. Грузы связаны между собой и неподвижной точкой О пружинами рис. 1.2.1). Система моделируется двумя материальными точками (грузы гпх и тг), стержень — прямой, которая может вращаться вокруг точки О в плоскости хОу без трения. Записать уравнения связей и уравнения, которые накладывают ограничения на скорости и ускорения точек системы. [c.13]

Сообщаем шарниру О возможную горизонтальную скорость VQ. Решение этого примера оказывается существенно проще предыдущих, и связано это с тем, что стержни В В VI ВС образуют жесткий неподвижный треугольник, и скорости всех его точек равны нулю. Поэтому необходимости в составлении сложной системы кинематических уравнений здесь нет. [c.284]

Известно, что любая форма смещения точек оси стержня представима рядом вида (2) по собственным формам колебаний в приближенном решении число собственных форм (слагаемых ряда) может быть взято конечным и часто весьма небольшим. Более того, в выражении (3) допустимо использование вместо собственных форм колебаний других функций от х, разумно описывающих характер упругой линии оси стержня. Подобного рода предположения — конечность я, допускаемый произвол выбора функциональной зависимости вектора перемещения от координат точек упругого тела — практически оправдываются расчетами колебаний стержней и плит на неподвижных опорах. Нет оснований считать их неприемлемыми при составлении общих уравнений движения упругого тела. Первое из упомянутых предположений, сводящее задачу к рассмотрению системы с конечным числом степеней свободы, исключает из рассмотрения вообще весьма трудно учитываемые колебания высоких частот. Второе не должно значительно повлиять на результат, поскольку, как увидим ниже, выбором функций, которыми задается вектор и, определяются численные значения некоторых интегральных характеристик они мало изменяются от этого выбора, если, конечно, он сделан достаточно разумно. [c.476]

Материальные точки Ло, Ах, Л2,. .., (см. рис. к задаче 14.6.) последовательно соединены одна с другой невесомыми стержнями одинаковой длины I. Вся система, расположенная в вертикальной плоскости, вращается с угловой скоростью со вокруг вертикали, проходящей через неподвижную точку Ао. Составить уравнения, определяющие все положения равновесия системы. [c.149]

Положение системы зависит от двух параметров от угла наклона <р стержня АВ относительно вертикали Ох и от угла 0, который обра зует прямая 00, соединяющая середины обоих стержней с этой вертикалью. Система находится под действием весов обоих стержней, натяжений Т и Т нитей и реакции неподвижной точки О. Для определения движения необходимы два уравнения, не содержащие реакций связей. Эти уравнения получатся из теоремы кинетической энергии и теоремы момента количества движения относительно нормали к плоскости фигуры в точке О. [c.103]

Пример 2. Два равных шара А ц В прикреплены к концам двух равных тонких стержней Аа и ВЬ. Концы а ц Ь шарнирно соединены с неподвижной точкой О, и вся система приведена во вращательное движение вокруг вертикальной оси, проходящей через точку О, аналогично регулятору паровой машины Пренебрегая массами стержней, показать, что движение системы описывается уравнением юлебания маятника, длина которого равна расстоянию точки О до прямой, соединяющей центры шаров. [c.236]

Форма профиля и законы движения точек стержня в декартовых координатах х, у имеют очень сложный и мало наглядный вид. Упрощение получается только для малой амплитуды углов наклона профиля Фо <С ) Тогда бесселева функция близка к единице, так что можно считать скорость протекания и скорость профиля относительно неподвижной системы координат равными. Кроме того, при Фо < 1 можно положить з = х и к = й у1йх (у— поперечное смещение стержня), совершая ошибку, не большую чем фо по сравнению с единицей. Тогда уравнение (7.2) можно записать в виде [c.26]

Пример 1. Составить диффе])енц[1алыше уравнения движения системы, состоящей из груза Л массой mi, надетого на однородный стержень ОВ длиной I и массой т . Груз связан с неподвижной точкой О пружиной жесткостью с (длина пружины в напряженном состоянии равна а) и может скользить вдоль стержня, а стержень может качаться в вертикальной плоскости вокруг оси О (рис. 278). Массой пружины и трением пренебречь (см. пример определения обобщенных сил в 2). [c.305]

Волновые процессы в упругих стержнях постоянного сечения при вертикальном ударе. Цилиндрический стержень (рис. 6.7.10) массой т и длиной /, имеющий на верхнем торце жесткое тело массой ГП2, а на нижнем - жесткое тело вращения массой т , летит со скоростью Уд и ударяется о деформируемое основание (полупространство). Введем две системы координат подвижную лгу, жестко связанную с телом Шх, и неподвижную Х1У1, связанную с преградой. Тогда уравнение продольных колебаний стержня (в рамках технической теории) будет иметь вид [c.412]

Всякое сооружение, статически определимое, неизменяемое и неподвижное в общем виде, может при нек-ром специальном подборе длины стержней потерять свою неизменяемость или неподвижность, т. е. превратиться в кинематич. цепь. Если эта цепь допускает лишь бесконечно малые перемещения, сооружение называется мгновенно изменяемым. Мгновенно изменяемое сооружение непригодно для практ. целей, так как от действия ничтожно малых внешних нагрузок в нем могут возникать большие деформации и большие внутренние усилия. Система уравнений статики, которая служит для определения всех усилий н реакций такого сооружения, имеет детерминант, равный нулю, и поэтому получает решение неопределенное или бесконечное.Мгновенная изменяемость вскрывается проще всего К. м. нужно удалить одну связь, рассмотреть возможное перемещение полученного механизма и выяснить, противоречит ли удаленная связь атому перемещению если противоречия нет, то данное сооружение несомненно обладает мгновенной изменяемостью. [c.82]

Расчет на изгиб балок с минимальным числом связей обеспечивающих неподвижность прикрепления (в случае пло ской системы сил —три связи), основан на определении все реакций в связях из уравнений равновесия. Если балка имее связи сверх необходимых, то уравнений статики уже недоста точно для однозначного определения реакций связей, но од повременно появляется возможность составить дополнитель ные уравнения, исходя из рассмотрения деформаций системы Система, как мы знаем, в этом случае называется статтеск неопределимой. Число лишних связей, наложенных на бал сверх необходимых для неизменяемого прикрепления, называ ется степенью статической неопределимости балки. Напомним что шарнирно-подвижная опора эквивалентна одному стерж ню (связи), шарнирно-неподвижная — двум, а заделка —тре стержням. [c.94]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...