Симметрия тензора деформаций

Благодаря симметрии тензора деформаций его можно привести к главным осям. Сдвиговые компоненты при этом исчезают, и мы получаем [c.14]

Вследствие симметрии тензора деформаций из шести сдвигов три попарно равны между собой, т. е. [c.45]

Имея в виду симметрию тензора деформации Е и соотношение [c.22]

Учитывая симметрию тензора деформаций (efj = Eji), получим окончательно [c.103]

Здесь Д — детерминанты коэффициентов жесткости (дг = с) и коэффициентов податливости (х = s), а Д д/ представляют дополнения к коэффициентам жесткости или податливости в соответствующих детерминантах. Чтобы определить последние, запишем, в соответствии с (1.13), упругое напряжение T j с помощью составляющих деформации Ski. Учитывая симметрию тензора деформации, т. е. Sn = S21, S13 = S31, S23 = S32, выражение для упругого напряжения можно представить как [c.18]

В силу симметрии тензоров напряжений ац = ац и деформаций гтп = пт получаем [c.114]

Поменяв теперь местами во втором слагаемом индексы i, j, учтя симметрию тензора напряжений Сц = а . и деформацию е, =-= 1 dui du [c.63]

Поэтому можно говорить о симметричности термодинамического (изобарного) потенциала твердого кристаллического тела в том смысле, что локальное значение химического потенциала в точке определяется абсолютной величиной гидростатической части тензора напряжений независимо от направления механической силы— растягивающей или сжимающей твердое тело (относительно равновесного положения с нулевыми силами). Подобный анализ можно провести для любого главного значения тензора напряжений (рассматривая изменения соответствующих компонент тензора деформаций), чтобы сделать заключение о симметрии термодинамического потенциала Гиббса по знаку компонент тензора напряжений (относительно недеформированного состояния). [c.18]

Здесь цифры, показанные справа и снизу от матриц, обозначают размеры блоков матриц. В соответствии с рис. 15.6 коэффициенты упругости — тензор четвертого ранга. Ранг тензора, компонентами которого являются элементы в блоках квадратной матрицы в (15.51), равняется сумме рангов тензоров, входящих в соответствующие зависимости, где эти элементы суть коэффициенты. Вследствие симметрии тензоров напряжений и деформаций, порядок матрицы С коэффициентов упругости (см. (7.3)) получается не девятый, а шестой. [c.469]

Применительно к механике сплошной среды, которая строится на основе ньютоновской механики, законы сохранения приводят к существенным результатам. Из закона сохранения массы следует уравнение неразрывности, т. е. необходимое условие существования движущейся и деформирующейся среды именно как сплошной. Из закона сохранения импульса следуют дифференциальные уравнения движения сплошной среды, которые являются основой расчета ее движения и деформации. Из закона сохранения момента импульса следует симметрия тензора напряжения, что существенно упрощает динамические уравнения сплошной среды. Закон сохранения энергии лежит в основе экстремальных принципов сплошной среды и энергетических методов расчета напряженно-дефор-мированного состояния. [c.134]

Очевидно, что из свойств симметрии тензоров напряжений и деформаций вытекают следующие условия симметрии коэффициентов ) [c.86]

Обратимся к нелинейным деформационным соотношениям [ 1.21]. Выражения, определяющие тензор деформаций, в случае простейшего нелинейного варианта теории оболочек в квадратичном приближении имеют вид (малые добавки к ы не меняют суть дела, но сохраняют симметрию) [c.11]

Скалярная достаточно гладкая функция компонент тензора деформаций Коши W(е) называется удельной потенциальной энергией деформаций (упругим потенциалом). В силу симметрии тензора напряжений Коши сг на (е) накладываются ограничения [c.68]

Отметим, что в (6.24) не используется симметрия компонент тензора деформаций Грина — Лагранжа, так как в (2.14) эти компоненты предполагаются независимыми. [c.200]

Из симметрии тензоров напряжений и деформаций в отсутствие объемных моментов следует Сщц = Сищ = Сш), а это сокращает число независимых коэффициентов с 81 до 36. [c.244]

Описанную выше процедуру можно распространить на трехмерный случай, если рассмотреть тройную точку в углу, чтобы представить разрыв усилий. Для граничной задачи с заданными смещениями в угловом узле мы будем иметь три уравнения, содержащие девять неизвестных (в противоположность двум уравнениям с четырьмя неизвестными для обсужденного выше двумерного случая). Из шести требующихся дополнительных соотношений три могут быть получены из условия симметрии тензора напряжений (Oi2 = = 02i, Oi3 = Osi и 023 = Озг), а три остальные следуют из инвариантности следа тензора деформаций и соотношений между деформациями и смещениями на поверхностных элементах, сходящихся в угловом узле. [c.198]

Симметрия тензоров напряжений и деформаций приводит к следующим условиям симметрии тензоров функций ползучести и релаксации [c.15]

В зоне упругих деформаций существует линейная зависимость между тензорами деформаций и напряжением, это закон Гука, который мы использовали в простейшем случае одноосного напряжения. Для кристаллического тела (анизотропного), упругие свойства которого различны по разным направлениям, в самом общем случае должна существовать линейная зависимость каждой компоненты тензора деформаций от всех компонент тензора напряжений. Расчет показывает, что из-за симметрии тензоров число независимых коэффициентов будет равно 21. Двадцать один параметр определяет упругие свойства анизотропного вещества. [c.306]

С другой стороны, благодаря симметрии тензора напряжений и выражению для вариации деформаций (4.2) [c.73]

В общем случае малой деформации соотношения Коши связывают три компонента вектора перемещения Uk с шестью (вследствие симметрии) компонентами тензора деформации ij. Следовательно, для определения компонентов вектора перемещения необходимо проинтегрировать шесть уравнений вида [c.46]

Симметрия тензора напряжений Коши = Т влечет за собой равенство С Р = Р С, где С = Г — правый тензор деформации Коши-Грина. [c.662]

Если ось вращения совпадает с осью z, то в силу симметрии термоупругой деформации относительно оси 2 все компоненты тензора напряжения не зависят от угла б. [c.153]

Цилиндрические координаты. При осевой симметрии напряженного состояния компоненты вектора перемещения и , тензора деформации е в и и тензора напряжения 0, и обращаются в нуль ( 2.6). [c.154]

Цилиндрические координаты. При осевой симметрии компонент Uq вектора перемещения, компоненты е е и в%г тензора деформации и компоненты а е и oqz тензора напряжения обращаются в нуль ( 2.6). Компоненты и определяются выражениями [c.218]

Тензор четвертого ранга имеет 3 = 81 компоненту, но из-за симметрии тензора напряжений (в классическом случае) и симметрии тензоров деформаций и скоростей деформаций независимых компонент будет только 36, так как тензоры А ж В должны быть симметричными по паре индексов I и / и их можно принять стметричными по паре индексов а и р. Если среда, поведение которой описывается законом Гука или Навье — Стокса, обладает какими-либо геометрическими свойствами симметрии, то число независимых компонент ЛУ и еще больше сокращается. В частности, если соответствующая среда изотропна, то все и определяются двумя параметрами. [c.167]

При ограничениях линейной теории упругости тензор деформации (Btj) является симметричным. Поэтому при перестановке индексов t п j, k п I величины и Bifihi не должны меняться. Следовательно, тензоры ij ijki также должны удовлетворять условиям симметрии [c.57]

Пусть тело обладает плоскостью упругой симметрии, с которой совместим координатную плоскость х х . Это означает, что если направление оси Ха изменить на противоположное, т. е. сделать замену координат ж = Xi, д = Xj, х з = —Хз, то упругий потенциал W (ец), не изменится. Поскольку при данной замене координат компоненты Ml и 2 вектора перемещения не меняются, а компонента з изменяет знак, т. е. u[ = ui, = и = —и , то в этом случае у компонент 8f/тензора деформации, для которых индекс 3 фигурйрует один раз, изменится знак, а остальные компоненты тензора деформации останутся неизменными [c.58]

Однако не все компоненты обоих тензоров независимы и отличны от нуля. Так, из уже установленного факта — симметрии тензоров напряжений и деформации — следует, что из 81 (9x9) компоненты тензоров Sikim и ikim независимы только 6x6 = 36. [c.196]

Тогда векторы о и е служат изображением тензоров напряжений и деформаций в шестимерных пространствах напряжений и деформаций соответственно. Впоследствии будет выяснено, почему в качестве е , Сь и выбраны удвоенные компоненты тензора ец. Такое изображение не единственно с одной стороны, можно было бы ввести не шестимерное, а девятимерное пространство, если не обращать внимание на симметрию тензоров и е , обозначать, скажем, О12 и Оц как разные компоненты вектора о и не умножать вц i j) на два. С другой стороны, нужно помнить, что представление тензора в виде вектора имеет лишь ограниченный смысл и пригодно только для определенной фиксированной системы отнесения формулы преобразования компонент вектора и компонент тензора при изменении осей координат различны, поэтому, отнеся тензор напряжений или дефор- [c.236]

Проводя все выкладки в обратном порядке, можно из принципа виртуальной работы получить уравнения равновесия (3.27) и условия в напряжениях (3.42). При выводе предполагается, что удовлетворяются граничные условия (3.43), соотношения между деформациями и перемещениями (3.18) и условия симметрии тензора напряжений (3.25). Отметим, что этот принцип выполняется безотносительно к конкретному виду соотношений напря-жени я —дефор маци и. [c.91]

При этом физические компоненты тензора модулей упругости обладают, в силу симметрии тензоров иапрян ений и деформации и наличия упругого потенциала, следующими свойствами симметрии [c.31]

Поскольку девиатор De =[е ] удовлетворяет условию симметрии, он может быть приведен к диагональному виду. Очевидно, гл авные направления девиатора деформации совпадают с главными направлениями тензора деформации. . [c.102]

Тогда векторы а и е служат изображениями этих тензоров в шестимерных пространствах напряжений и деформаций соответственно. Заметим, что такое изображение неединственно. Можно было бы ввести не шестимерное, а девятимерное пространство, если не обращать внимания на симметрию тензоров a j и Sij. Ильюшин ввел пятимерные пространства для девиаторов напряжений и деформаций, так как среди их компонентов только пять независимых (в силу равенства нулю первых инвариантов). [c.31]

Система состоит из ряда таких paвeн tв (в нашем случае из девяти), в каждом из которых значки имеют определенную комбинацию двух из трех возможных значений 1, 2, 3. Величины составляют квадратную таблицу из 81-го значения и представляют собой компоненты так называемого тензора четвертого ранга, преобразующего компоненты тензора напряжений в компоненты тензора деформации. Вследствие симметрии число независимых компонент s kJ)q сокращается с 81 до 21, так как [c.89]

Тогда векторы сг и е служат изображениями тензоров напряжений и деформаций в шестимерных пространствах напряжений и деформаций соответственно. Заметим, что такое изображение не единственно. Можпо было бы ввести пе шестимерпое, а девятимерное пространство, если не обращать внимания на симметрию тензоров (7ij и ij. Ильюшин ввел нятимерные пространства для девиаторов папряжепий и деформаций, так как среди их компонентов только пять независимых. [c.41]

Последнее выражение можно упростить, учитывая симметрию тензора напряжений и тождества = Так как компоненты Vij тензора скорости деформаций симметричны, а компоненты тензора вихря oij антисимметричны, то aij Oij O. [c.122]

Пусть определяющие уравнения имеют вид Оц- = = KiipqDpq. Доказать, что из-за симметрии тензоров напряжений и скоростей деформации тензор четвертого ранга /С,ур, имеет не более 36 независимых компонент. Записать эти компоненты в виде матрицы шестого порядка. [c.195]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...