Равновесие материальной точки на линии

Равновесие материальной точки на линии. Если материаль-рая точка находится на линии, то она стеснена условием, чтобы ее координаты удовлетворяли уравнениям двух поверхностей, пересечением [c.355]

Вынужденные колебания материальной точки вызываются действием системы сил, в составе которой имеются восстанавливающая сила F и возмущающая сила А. На рис. 117 ось х направлена вдоль линий действия сил F vi S. Начало отсчета взято в положении статического равновесия материальной точки. Сила S условно направлена вниз, однако, как следует из ее закона изменения, ее направление является переменным. [c.97]

Рассмотрим еще две материальные точки М и М, связанные нерастяжимой нитью, не имеющей массы и лежащей на неподвижной или движущейся поверхности 5, по которой она может скользить без трения. Пусть Т и Т —-действия, оказываемые нитью наточки А1 и М и, следовательно, —Т и —Т действия, оказываемые на нить этими точками. На нить действуют на концах силы —Т и —Т, а на часть, соприкасающуюся с поверхностью 5, — нормальные силы, вызванные реакцией поверхности. Так как нить должна быть в равновесии, то ее натяжение везде одинаково и она должна расположиться по геодезической линии поверхности (п. 144), в частности и Т Т. Этот род связи встречается среди разобранных выще (и. 163) он приводит к некоторым геометрическим следствиям, которые мы укажем в качестве упражнений в конце главы (упражнения 1 и 2). [c.221]

Бесконечно малые колебания тяжелой точки около наинизшей точки поверхности. Рассмотрим на поверхности точку О, в которой касательная плоскость горизонтальна и поверхность в окрестности этой точки расположена над этой касательной плоскостью. Это положение О является положением устойчивого равновесия для тяжелой материальной точки, движущейся без трения по поверхности. Мы исследуем бесконечно малые колебания около этого положения равновесия. Примем точку О за начало координат, ось Ог направим вертикально вверх, а оси Ох и Оу — по касательным к линиям кривизны, проходящим через точку О. Если координату z поверхности разложить для малых значений лг и у по формуле Маклорена, то уравнение поверхности будет иметь вид [c.426]

Уравнения равновесия. Рассмотрим задачу о равновесии гибкой нерастяжимой и несжимаемой нити длиной /, закрепленной своими концами в неподвижных точках Л и В (рис. 140), на которую действуют непрерывно распределенные силы. Под нитью буде.м понимать систему материальных точек, сплошь покрывающих некоторую линию. В действительности всякая нить имеет толщину, но в тех случаях, когда длина нити достаточно велика по сравнению с толщиной, влиянием толщины можно пренебрегать. Обозначим через р линейную плотность нити, т. е. отношение массы какого-либо элемента нити к его длине. Если обозначить элемент массы через dm, а элемент длины через 5, то плотность выразится в виде [c.196]

Общая формула статики (принцип виртуальных скоростей) трактуется Лапласом как следствие уравнений равновесия материальной системы, известных в геометрической статике. Рассуждение на эту тему содержится в первой книге Небесной механики Лапласа, называющейся Об общих законах равновесия и движения . Кратко рассуждения Лапласа можно передать так. Если материальная точка механической системы остается на некоторой поверхности или линии, то ее можно рассматривать как свободную, добавив к действующим на нее силам еще силы реакции поверхности (линии). Условие равновесия всех сил в данной точке, мысленно изолированной от других точек системы, записывается в виде равенства нулю суммы проекций всех сил на данную координатную ось (на основе принципа сложения и разложения сил геометрической статики). Так получены три уравнения равновесия сходящихся в каждой точке системы сил, известные со времени опубликования трактата Вариньона Новая механика (1725). Лаплас умножает каждое такое уравнение на соответствующую проекцию возможного перемещения точки по поверхности (линии) вдоль линии силы и суммирует все такие уравнения по всем строкам и для всех точек, мысленно выделенных из системы. [c.102]

В этом примере мы брали материальную точку А на линии 00 ибо равновесие, как это легко видеть, возможно только в этом случае. [c.170]

Во-первых, это ясно из чертежа. В самом деле, сила Л/(фиг. 263), заменяющая механический эффект поверхности /, перпендикулярна к линии АВ потому что она направлена по нормали к поверхности / в точке Ж, а линия АВ лежит на этой поверхности и проходит через точку М. То шо так же заменяющая механический эффект поверхности //, перпендикулярна к АВ. Чтобы материальная точка была в равновесии, третья сила Р должна быть уравновешивающей сил N и Поэтому она должна лежать в их плоскости, т. е. быть перпендикулярной к ДД, [c.356]

Если на тело действует система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, то мы можем перенести силы вдоль линий их действия в точку пересечения и сложить, пользуясь правилом многоугольника сил. Если равнодействующая всех сил будет равна нулю и начальная скорость тела также равна нулю, то твердое тело будет находиться в равновесии. Если рассматриваемое тело свободно, то условия его равновесия будут в этом случае полностью совпадать с условиями равновесия свободной материальной точки (гл. П). [c.306]

Относительное движение трех атомов (предполагая, что атомы все время остаются на прямой линии) может быть описано движением на потенциальной поверхности одной материальной точки (небольшого шарика) под действием сил тяжести (при этом потенциальная поверхность должна быть твердой, как на фиг. 66, а). Очевидно, что если такой шарик смещается из положения равновесия, то в общем случае он не будет совершать простых колебаний относительно минимума, а будет описывать фигуры Лиссажу. Обычные колебания будут происходить только при смещении шарика вдоль направлений главной кривизны, т. е. в данном случае вдоль линий С—-Си В — В, определяемых симметрией поверхности. Колебание шарика вдоль линии С — С соответствует нормальному колебанию V) (см. фиг. 25, , при котором всегда справедливо соотношение = г , колебание вдоль линии В—— нормальному колебанию с соотношением Дг1 = — Дг,. [c.222]

Если система характеризуется законом Генри, то коэффициент фазового равновесия будет выражаться прямой линией (в системе координат X — У). На диаграмму X Y (рис. 16-4) наносят линии равновесия для каждого компонента (на рис. 16-4 таких компонентов три-у4, В, С), причем получим пучок прямых с разными наклонами т , Шг, (рис. 16-4). Чем менее летуч компонент или чем менее растворим в жидкости, тем больше будет наклон соответствующей линии равновесия. Далее на диаграмму наносят рабочие линии для каждого компонента. Уравнения рабочих линий можно получить из уравнений материального баланса для каждого компонента [c.50]

Приближенная теория гироскопических явлений позволяет дать элементарное объяснение движению тяжелого гироскопа (волчка). Сообщим (рис. 387) симметричному однородному телу вращения быстрое вращение вокруг его оси. Допустим, что эта ось, будучи в исследуемом положении вертикальна, может вращаться вокруг неподвижной точки О. Если бы гироскоп пе вращался, то имелось бы неустойчивое положение равновесия. Быстрое вращение сообщает гироскопу свойство устойчивости. В самом деле, дадим оси толчок в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка, приложив к ней в течение весьма малого промежутка времени силу F. Следствием этого, если оставаться в рамках элементарной теории, будет перемещение оси материальной симметрии тела (т. е. вектора К) на некоторый угол в направлении момента силы F относительно неподвижной точки О, т. е. в направлении, перпендикулярном к F (новое положение оси указано на рис. 387 штриховой линией). [c.371]

Тонкие стержни. Рассмотрим тело с криволинейной направляющей, равновесие которого мы изучали в предыдущих пунктах, и предположим, что наибольшее измерение h его нормальных сечений о сравнимо с элементом дуги ds направляющей, в том смысле, что может рассматриваться наравне с ним как величина первого порядка. Такое тело в отношении геометрической конфигурации можно рассматривать как материальную линию. Что же касается нагрузок и вызываемых ими усилий, то мы будем считать, что, несмотря на малость поперечных сечений, нужно принимать во внимание также н моменты. Материальная система, определяемая таким образом, носит название тонкого стержня. [c.230]

Ирвин ввел новое понятие — коэффициент интенсивности напряжений К. Поясним его сущность. Распределение напряжений по поперечному сечению растянутой полосы, ослабленному поперечной трещиной, подчиняется зависимости гиперболического типа. Согласно ей при уменьшении расстояния от точки материальной части поперечного сечения до вершины трещины нормальные напряжения в поперечном сечении увеличиваются и устремляются к бесконечности, если указанное выше расстояние устремляется к нулю. Асимптотами являются линия, параллельная ослабленному поперечному сечению полосы и перпендикулярная ей линия, проходящая через вершину трещины. Вследствие перехода материала у вершины трещины в пластическое состояние пик напряжений срезается. В системе осей, совмещенных с асимптотами, можно рассмотреть бесчисленное множество гипербол, каждая из которых характеризуется своим параметром, представляющим собой произведение переменных, входящих в гиперболическую зависимость. Этот параметр называют коэффициентом при особенности, Аналогично, коэффициент К представляет собой коэффициент при особенности в зависимости между нормальным напряжением и расстоянием точки ослабленного сечения, в которой оно действует, от вершины трещины. В теории Ирвина коэффициент К — величина, полностью характеризующая локальное деформирование и разрушение на контуре макротрещины. Величина К зависит от формы тела и от граничных условий и определяется из решения глобальной (т. е. для всего тела в целом) задачи. Ирвиным было получено условие предельного равновесия трещины в форме [c.578]

Эти уравнения с двумя уравнениями поверхностей вполне решают вопрос о равновесии материальной точки на линии. Из них определяются все пять неизвест-положения равновесия и силы сопроти- [c.356]

Для случая нескольких масс решение будет аналогичным. Кроме идеи сведения изучения движения тела к изучению его равновесия с учетом сил инерции, Я. Бернулли высказал мысль о возможном определении реакции связи. Истинное движение 161 ( 2 2) он разложил на свободное а 0 а2Я) и движение O l Qb2) вдоль стержня. Каждому движению он ставит в соответствие силу. Вертикальному движению alO a2Q), естественно, соответствует сила тяжести, а сила, соответствующая движению вдоль стержня, уравновешивается опорой А. По современным представлениям — реакцией связи. Ученик Я. Бернулли — Якоб Германн дал иную интерпретацию идеи использования сил инерции. В наиболее известном сочинении Форономия или две книги о силах и движениях твердых и жидких тел [200], решая задачу о нахождении центра колебаний физического маятника, он разлагает силу тяжести каждой материальной точки на две составляющие одна направлена по линии подвеса, другая — перпендикулярно [c.137]

Если выйти за рамки модели одноатомного идеального газа и рассматривать многоатомные молекулы, то следует принять, что каждый атом обладает тремя степенями свободы (как материальная точка) следовательно, в общем случае число степеней свободы для молекулы, составленной из п атомов, равно 3 . Молекулу теперь следует считать системой материальных точек с центром масс, обладающим тремя степенями свободы поступательного движения. Кроме того, система может вращаться вокруг центра масс, а вектор угловой скорости, произвольно расположенный в пространстве, будет иметь три проекции на оси координат — три вращательных степени свободы. Атомы в молекуле подвижны по отнощению одни к другим и испытывают колебания относительно положения равновесия. На колебательные степени свободы приходится, таким образом, число, равное в общем случае для многоатомной молекулы 3 —6 для линейных молекул (атомы расположены вдоль прямой) это число равно Зп—5, поскольку вращательная степень свободы для линии, соединяющей атомы, отсутствует. Каждая колебательная степень свободы требует в среднем вдвое больше энергии, чем степень свободы поступательного или вращательного движения. Так происходит потому, что система из двух колеблющихся атомов обладает не только кинетической, но и потенциальной энергией колебания расчеты покаэывают, что на долю каждой приходится Т, следовательно, на [c.35]

Аксиома первая в чистом виде не выполняется, так как полностью юолированных материальных точек нет. Но опыт показывает, что с уменьшением действия других точек на данную точку ее состояние все ближе и ближе подходит к состоянию равновесия. Однако равновесие точки или твердого тела возможно не только в том случае, когда отсутствуют действия других тел, но и тогда, когда эти действия взаимно нейтрализуются, как бы погашаются. Например, самолет может лететь по прямой линии равномерно, т. е. находиться в равновесии под действием четырех сил силы тяжести, силы тяги двигателя, лобового сопротивления воздуха и подъемной силы встречного потока воздуха действующего на крылья самолета. [c.8]

Простое гармоническое движение. Рассмотрим случай притяжения материальной точки к неподвижной точке, нахолящейся на линии движения, с силою, пропорциональною расстоянию от этой неподвижной точки этот случай важен как типичный для самого общего случая динамической системы с одною степенью свободы, совершающей колебания около положения устойчивого равновесия. [c.27]

На каждую из этих реакций можно распространить свойства, с которыми мы познакомились в случае одной материальной точки (см. гл. IX, п. 8). При этом мы должны опираться на один постулат, который подсказывается самой природой вещей и подтверждается ежедневным опытом, а именно мы доллсны считать, что любая опора Р способна обеспечить равновесие, развивая реакцию Ф, заранее неопределенную (и, возможно, равную нулю). Величина этой реакции зависит от действующих сил, но может быть какой угодно, а линия действия всегда остается внутри или на внешней полости конуса трения и совпадает с внешней нормалью (к телу, на котором находится опора), если опора лишена трения или рассматривается как свободная от трения (когда трение очень мало). На основании такого свойства реакции Ф мы всегда можем получить количественные условия равновесия, т. е. условия, которым должны удовлетворять силы F для того, чтобы вместе с реакциями Ф они могли составить систему, эквивалентную нулю. [c.116]

Формулировка Мопертюи принципа наименьшего действия была еще весьма несовершенна. Первая научная формулировка принципа была дана Эйлером в том же 1744 г. в сочинении Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума, или решение изопериметрической задачи . Он сформулировал свой принцип следующим образом интеграл J mvds имеет наименьшее значение для действительной траектории, рассматривая последнюю в группе возможных траекторий, имеющих общие начальное и конечное положения и осуществляющихся с одним и тем же значением энергии. Эйлер дает своему принципу точное математическое выражение и строгое обоснование для одной материальной точки, подчиненной действию центральных сил. На протяжении 1746—1749 гг. Эйлер написал несколько работ о фигурах равновесия гибкой нити, где принцип наимень шего действия получил применение к задачам, в которых действуют упругие силы. Дальнейшее продвижение здесь было достигнуто трудами Ж. Лагранжа. [c.185]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...