Квадратура

Нетрудно видеть, что только уравнение (16.14) может быть решено, и притом в квадратурах, а не в конечном виде. В самом деле, если Л/д = Мд (ф) и Мс — (ф). то, согласно уравнению [c.344]

Уравнение (196) может быть сведено к дифференциальному уравнению второго порядка. Квадратуры, к которым это дифференциальное уравнение в свою очередь сводится, не берутся, а вычисления графическим методом весьма гро- [c.91]

Здесь интеграл заменен формулой квадратуры 84, 82 и р1, ро — степени черноты и отражательные способности поверхностей 1 и 2 соответственно, а — весовой фактор квадратуры. Подставляя уравнения (5.128) в уравнения (5.130), находим [c.242]

В осесимметричном изэнтропическом случае, если за независимую переменную принята величина у, уравнение (2.11) интегрируется в квадратурах, и решение на экстремали также представляется в замкнутом виде. [c.102]

Механика тщательно собирает и изучает все те случаи, когда функциональные зависимости, выражающие силы, таковы, что дифференциальные уравнения (28) могут быть сведены к квадратурам и поэтому движения могут быть непосредственно изучены, Так, например, обстоит дело в таком важном случае, как движение материальной точки в поле тяготения какого-либо иного материального объекта. Однако уже в так называемой задаче трех тел, когда рассматривается система из трех материальных точек, движущихся под действием взаимного тяготения, дифференциальные уравнения вида (28) не решаются в общем виде и исследование движения становится значительно сложнее. [c.64]

Мы получили дифференциальное уравнение движения материальной точки в поле центральной силы в полярных координатах. В отличие от исходной системы уравнений (32) это уравнение (37) является уравнением первого порядка. Более того, оно легко сводится к простой квадратуре, так как переменные в нем разделяются [c.85]

Таким образом, одна квадратура позволяет определить t как функцию г, т. е. в неявном виде зависимость г от t. [c.85]

Выражение г (t), полученное в результате этого интегрирования, будет содержать три произвольные постоянные. Этими тремя константами, зависящими от начальных данных, являются Ко, Eq и постоянная интегрирования С. Обращаясь теперь к формуле (35) и подставляя в нее выражение г (t), можно с помощью одной квадратуры найти полярный угол ф как функцию времени. При этом интегрировании будет введена еще одна постоянная. [c.85]

Мы видим, что задача, которая казалась сложной, когда мы рассматривали уравнения типа (32), свелась к простой квадратуре лишь за счет использования законов сохранения. При этом оказалось возможным единообразно выразить связь между полярными координатами для произвольной центральной силы и тем - - [c.86]

Известны лишь три частных случая, когда уравнения (53) +(60) могут быть не только расщеплены на две независимые системы уравнений, о чем шла речь выше, но и интегрирование системы уравнений Эйлера (60) может быть доведено до квадратур при [c.194]

После подстановки в явной форме выражения для/(г , Т о, АГо) в левой части формулы (69) получается эллиптический интеграл, и таким образом, задача сводится к одной простой квадратуре — эллиптическому интегралу. Интегралы такого рода хорошо изучены, и для них составлены специальные таблицы. Вычислив этот интеграл, т. е. найдя t как функцию от л и трех произвольных постоянных S, Ко и То, определяемых начальными данными, а затем разрешив полученное соотношение относительно г, нужно вернуться к уравнениям (66) и подставить в их правые части найденное выражение г. Тогда р vi q тоже будут найдены как функции t и указанных трех произвольных постоянных. Уравнения (60) полностью проинтегрированы, причем были использованы два готовых первых интеграла, даваемых законами сохранения, и лишь один раз пришлось вычислить интеграл. [c.198]

Формула (88) или соответственно формула (89) сводит задачу определения движения стационарной системы, возникающего вблизи положения устойчивого равновесия под действием внешней силы, начинающей действовать с момента t = 0 при нулевых начальных условиях, к одной квадратуре в действительной области. Зная действующую силу Qf t), можно вычислить комплексный спектр ее и координаты q и затем выделить действительную часть спектра д,. Полученная таким образом действительная функция действительного аргумента P(Q) называется действительной частотной характеристикой возмущения, и зная ее, можно без особого труда любым приближенным способом подсчитать интеграл (88) или (89). Самый простой способ для этого — представить кривую Р Q) кусочно-линейной функцией и провести интегрирование по отрезкам прямых. [c.256]

Циклические импульсы в данном случае не требуется определять— они просто равны произвольным постоянным С/. При интегрировании вносится т дополнительных произвольных постоянных N/. Общее число произвольных постоянных в конечном результате будет равно 2п, т. е. в точности равно порядку общей системы уравнений Гамильтона, составленной для всех гамильтоновых переменных. Таким образом, при наличии гп циклических координат порядок системы, которую приходится интегрировать, уменьшается на 2т, поскольку уравнения (36) для нециклических координат отщепляются , и после того, как эти уравнения проинтегрированы, циклические координаты находятся с помощью т независимых квадратур (39). [c.271]

Рассмотренный пример циклических координат характерен для способа использования первых интегралов с целью понижения порядка рассматриваемой системы дифференциальных уравнений. Общий метод механики в таких случаях как раз и состоит в том, чтобы, используя наличие первых интегралов, отщепить часть уравнений системы и затем использовать независимые квадратуры. [c.271]

Прежде чем приступить ко всему этому, сделаем одно общее замечание. При движении консервативной системы заведомо известен один первый интеграл — интеграл энергии. Это дает возможность понизить порядок системы уравнений на единицу. Но мы уже видели при использовании циклических координат (см. 3 этой главы), что в системе, имеющей г циклических координат, порядок системы уравнений можно понизить на 2л и независимо выписать г квадратур. [c.326]

Таким образом, поставленная задача полностью решена —при исследовании консервативных и обобщенно консервативных систем выписаны уравнения типа канонических уравнений Гамильтона (или типа Лагранжа), но порядок систем этих уравнений уменьшен на два за счет использования интеграла энергии и введения независимой квадратуры (147). [c.330]

Решение обратных задач динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, представляет значительные трудности. Дифференциальные уравнения движения, т. е. динамические уравнения Эйлера, решаются в квадратурах только в исключительных случаях. [c.542]

Для определения уравнений движения свободного твердого тела приходится интегрировать систему шести дифференциальных уравнений второго порядка. Задача решается в квадратурах только в исключительных случаях. [c.543]

Основными и вместе с тем наиболее трудными являются обратные задачи динамики, в которых по заданным силам определяется движение. При этом приходится интегрировать систему дифференциальных уравнений движения. Эти задачи редко удается решить в квадратурах. Иногда приходится применять приближенные методы интегрирования или пользоваться математическими машинами. [c.544]

Это уравнение первого порядка сводится к квадратурам. [c.109]

Таким образом, решение этой задачи свелось к операциям дифференцирования и вычисления квадратур. [c.165]

Таким образом, задача свелась к квадратурам. [c.166]

Мильтона — Якоби приводит к квадратурам (теорема Лиувилля). [c.167]

Каждое из уравнении (6.51) является дифференциальным уравнением первого порядка, интегрирование которого сводится к квадратуре [c.168]

Уq - l a, + 2m a ( , - 2) 9, + 2ma hqj T. .. задача сводится к вычислению квадратур. [c.170]

Используя формулы (8.38) и (8.41), получим время движения простой квадратурой [c.233]

Чтобы проинтегрировать уравнение (24), нужно найти квадратуру левой- части. Для этого перейдем от ф к новому переменному а, полагая [c.411]

Для определения скорости звена приведения необходимо проинтегрировать уравнение движения. Это уравнение может быть решено в квадратурах, если приведенные моменты сил являются функциями только угла поворота или постоянны. Тогда уравнение (31.9) может быть представлено в виде [c.390]

Результатом действия является неопределенный интеграл. Произвольная постоянная не пишется. Если интеграл не берется в квадратурах, то система выдает на печать формальный интеграл одним из двух способов [c.165]

Уравнения (16.15) п (16.16) могут быть решены в квадратурах в частном случае, когда приведенные моменты инерции 11 = onst. В этом случае уравнение (16.15) получает вид [c.347]

Из пою соогпотепия квадратурой получается угол ф в зависимости ог времени. [c.509]

Следует отметить, что Х] определяются по формуле квадратуры, а коэффициенты А] универсальны и в приближении пятого порядка имеют следующие значения, выраженные в единицах 10ккал1м -час-град [c.244]

В плоском неизэнтропическом случае, если независимой переменной является ф, уравнение (3.27) интегрируется в квадратурах, и решение на экстремали получается в замкнутом виде. [c.102]

Если интегрирование дифференциальных уравнений движения точки сводится к квадратурам, как в приводимых ниже примерах, то будем вычислять эти квадратуры в соответству ощих пределах, т. е. будем вычислять определенные интегралы, причем нижние пределы интегрирования определяются начальными условиями движения шчки. Тогда отпадает необходимость определения произвольных постоянных. Заметим, что почти во всех задачах, помещенных в сборнике И. В. Мещерского и относящихся ко второй основ ой задаче динамики точки, имеются два типа дифференциальных уравнений ил1 уравнения с разделяющимися переменными, или линей 1ые уравнения второго порядка с П0СТ0ЯНН1ЛМИ коэффициентам . [c.244]

Выражение (38) с помошью одной квадратуры определяет полярную координату г как неявную функцию от ф. Как и ранее, функция г(ф) включает три произвольных постоянных К , Eq и С. Различия в выражении центральной силы f (г) отражаются лишь на виде выражения для потенциальной энергии П(г). В каждом конкретном случае достаточно подставить в формулу (38) соответствующее выражение П (г), вычислить интеграл и таким образом найти движение. [c.86]

Ранее мы неоднократно обращали внимание читателя на то, что Я (соответственно Е) играет роль импульса для координаты Ь. Естественно возникает мысль, нельзя ли и в случае консервативной системы использовать имеющ1 йся первый интеграл для того, чтобы понизить порядок системы уравнений не на единицу, а на два, и ввести независимую квадратуру. [c.326]

Это оказывается возможным, если воспользоваться тем обстоятельством, что лаграь жиан (или гамильтониан) системы не зависит явно от времени, и поэтому из уравнений можно исключить время. Это значит, что роль времени тогда должна играть какая-либо из координат q, например, Qi. В результате интегрирования таких уравнений остальные координаты должны быть выражены как функции этой специально выделенной координаты, а их зависимость от времени вводится затем отдельно при помощи одной квадратуры, определяющей зависимость выделенной координаты <7i от t. Далее будет показано, как, используя этот прием, можно понизить порядок системы дифференциальных уравнений, описывающих движение консервативной и обобщенно консервативной систем, на два и ввести независимую квадратуру. [c.326]

Решение обратных задач, связанное с интегрированием системы дифференциальных уравнений (1 ), представляет подчас значительные трудности и часто не может быть выполнено в квадратурах. (Тогда приходится систему (1 ) решать численно, применять иные методы приближенного инте1 рировапия, либо пользоваться вычислительными машинами.) [c.28]

Решение обратных задач динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, сопряжено с большими трудностями и приводится к квадратурам то,пько в исключительных случаях. [c.524]

Уравнение (31.9) также может быть решено в квадратурах в частном случае, когда момент инерции / = onst, а приведенные моменты сил являются функциями скорости (О или постоянны. Тогда уравнение принимает вид [c.390]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...