Статистический ансамбль большой канонический

Показать, что статистическая сумма большого канонического ансамбля классического идеального газа из одноатомных молекул имеет вид [c.76]

Строгое рассмотрение проблемы неидеального газа, содержащего определенное распределение кластеров по размерам, возможно только методами статистической механики [196—198, 208, 226, 227]. При этом можно исходить как из канонического, так и из большого канонического ансамбля. Первый подход более употребителен, и с него мы начнем. [c.53]

Чтобы избежать обременительного граничного условия (90), которому должна подчиняться процедура суммирования в (115), Курт [196] предположил, что реальный газ, занимающий объем V, находится в тепловом и материальном контакте с очень большой системой, действующей не только как термостат, но и как резервуар молекул и кластеров разного размера. Между большой и малой системами происходит обоюдный обмен анергией и частицами. Однако благодаря своим огромным размерам большая система навязывает малой свои значения температуры и химических потенциалов, которые следует считать заданными. В этом случае действует статистическая сумма для большого канонического ансамбля [c.57]

Представление об ансамблях равновесной статистической механики (микроканоническом, каноническом, большом каноническом) было введено Гиббсом в его знаменитой книге [c.167]

Сейчас мы в первый раз продемонстрируем преимущества большого канонического ансамбля. Попытаемся получить термодинамические характеристики из большой статистической суммы (4.5.7) которая в данном случае имеет следующий вид [c.185]

Рассмотрим теперь систему с фиксированным объемом V, находящуюся в контакте с термостатом, который служит также резервуаром частиц. Равновесное состояние такой системы описывается большим каноническим ансамблем а соответствующее статистическое распределение (классическое или квантовое) называется большим каноническим распределением. Мы получим это распределение, исходя из принципа максимума информационной энтропии. [c.59]

По аналогии с классическим случаем, построим теперь статистический оператор, описывающий большой канонический ансамбль квантовых систем. Для этого найдем экстремум информационной энтропии (1.3.53) при следующих дополнительных условиях на пробные статистические операторы д [c.60]

Это уравнение напоминает термодинамическое соотношение (1.3.74), но в статистическом методе число частиц и обобщенные силы усреднены но большому каноническому ансамблю. Эта особенность термодинамических соотношений, получаемых из распределений Гиббса, довольно естественна, поскольку в каждом ансамбле имеются величины, которые могут флуктуировать. Поэтому наблюдаемые макроскопические переменные должны рассматриваться как средние значения. [c.64]

Интересно сравнить термодинамические равенства (1.3.82) и (1.3.89), выведенные для различных равновесных ансамблей. Заметим, что они совпадают только в случае N) = N. Таким образом, возникает вопрос о термодинамической эквивалентности статистических ансамблей, поскольку некоторые величины могут флуктуировать в одном ансамбле и иметь фиксированные значения в другом. Например, количество частиц фиксировано в каноническом ансамбле и флуктуирует в большом каноническом ансамбле. С другой стороны, из термодинамики известно, что все термодинамические потенциалы эквивалентны в том смысле, что один потенциал может быть получен из другого с помощью замены переменных — так называемого преобразования Лежандра. В статистической механике этому соответствует замена одного ансамбля другим, требующая обоснования. Вопрос о термодинамической эквивалентности ансамблей Гиббса мы рассмотрим в разделе 1.3.9, где будет показано, что в большинстве случаев различные ансамбли эквивалентны, поскольку флуктуации аддитивных динамических переменных в этих ансамблях относительно малы и ими можно пренебречь в термодинамическом пределе. [c.65]

Предполагается, что в отсутствие внешних полей система находится в равновесном состоянии, которое описывается большим каноническим ансамблем Гиббса. Соответствующий равновесный статистический оператор равен [c.339]

Отметим, что квазиравновесный статистический оператор (7.1.5) описывает ансамбль с постоянным числом частиц. В ряде случаев, например для ферми- и бозе-систем, более удобно использовать большой канонический ансамбль с переменным числом частиц. [c.92]

Излагаемые ниже соображения основаны на том факте, что гидродинамические переменные а (г) соответствуют полу макроскопическим величинам, поскольку обрезающее волновое число Ajq было выбрано таким образом, чтобы пространственная ячейка с размерами / I/Ajq содержала большое число частиц. Тогда каждую из таких ячеек можно рассматривать как малую, но макроскопическую подсистему, взаимодействующую с другими ячейками через свои границы. Согласно общему принципу термодинамической эквивалентности статистических ансамблей (см. раздел 1.3.10 первого тома), можно считать, что энтропия S a) микроканонического ансамбля, определяемого условиями а г) = ft (r), является таким же функционалом от а (г) , как и энтропия Si a) локально-равновесного большого канонического ансамбля от (fl (r)) , если соответствующее фазовое распределение Qi q,p a) удовлетворяет условиям [c.229]

К определению требует применения методов статистической термодинамики, например метода большого канонического ансамбля Гиббса. Вычисление фазового интеграла и частичных функций для внутренних образований типа пузырьков или капелек связано с введением модельных представлений и некоторых упрощающих допущений. Это влияет на точность конечных формул, но иногда позволяет избежать более крупных ошибок, которые могут возникнуть при непоследовательном применении результатов статистической термодинамики. [c.60]

В задачах статистической механики часто представляют интерес средние по большому каноническому ансамблю. Иногда это среднее от произведения операторов [c.365]

Как было показано в гл. 8, 1, канонический ансамбль может быть выведен из микроканонического ансамбля, однако его можно получить и непосредственно. Если не стремиться к большой строгости, то вывод оказывается очень простым. Рассмотрим ансамбль М систем такой, что средняя по всем системам энергия равна данному числу 1У. Найдем наиболее вероятное распределение систем по энергиям в предельном случае Ж->-оо. По определению ансамбля, системы не взаимодействуют друг с другом, могут рассматриваться раздельно и являются, следовательно, вполне различимыми. Таким образом, наша задача математически тождественна задаче о наиболее вероятном распределении в классическом идеальном газе. Как мы знаем, решением является распределение Максвелла — Больцмана значение энергии Е встречается среди систем с относительной вероятностью где р определяется средней энергией С/. Такой ансамбль является каноническим ансамблем. Очевидно, что эти рассуждения в равной мере справедливы и в классической, и в квантовой статистической механике. [c.229]

Вывод этой формулы [102—104], по сути дела, аналогичен переходу от соотношения (2.37) к уравнению (2.40) однако здесь следует использовать большой канонический ансамбль, так как нам нужно варьировать плотность. По аналогии с выражением (2.35) составим большую статистическую сумму [c.115]

Рассмотрим большой канонический ансамбль с известным химическим потенциалом л [абсолютная активность Л = ехр(ц/ Г)] и вычислим статистическую сумму [c.213]

Статистическая сумма для большого канонического ансамбля систем с заданным гамильтонианом выражается формулой [c.249]

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ, совокупность очень большого числа одинаковых физ. систем многих ч-ц ( копий данной системы), находящихся в одинаковых макроскопич. состояниях при этом микроскопич. состояния системы могут различаться, но совокупность их обязательно должна отвечать заданным значениям макроскопич. параметров, определяющих её макроскопич. состояние. Примеры С. а. энергетически изолированные системы при заданном значении полной энергии микроканонический ансамбль Гиббса), системы в контакте с термостатом заданной темп-ры [канонический ансамбль Гиббса), системы в контакте с термостатом и резервуаром ч-ц Гиббса большой канонический ансамбль). С. а.— понятие статистической физики, позволяющее применять к решению физ. задач методы теории вероятностей. [c.722]

Гиббсом — основоположником статистической механики. Фундаментальное достижение Гиббса состоит в том, что он показал, каким образом средние величины характеристик системы как целого могут быть получены при исследовании распределения этих характеристик в данный момент времени среди произвольного, но очень большого числа идентичных систем. Он назвал большое число идентичных систем ансамблем. Системы ансамбля распределены по различным возможным состояниям, причем возможное состояние — это любая из произвольных конфигураций, которые может принимать система. Тогда вероятность найти реальную систему в некотором определенном состоянии соответствует вероятности найти системы ансамбля в этом же состоянии. Таким образом, средние по времени значения для реальной системы соответствуют средним по ансамблю в ансамбле Гиббса. Гиббс показал, что система в замкнутом объеме, находящаяся в тепловом равновесии с тепловым резервуаром, может быть описана так называемым каноническим ансамблем, в котором вероятность Р(Е)йЕ найти систему, имеющую энергию в интервале между Е и Е + йЕ, определяется формулой [c.21]

С развитием статистической физики все яснее становится представление о том, что для статистического поведения системы важную и, по-видимому, определяющую роль играет фактор наличия большого числа частиц в системе. В монографии Н. Н. Боголюбова Динамические проблемы статистической физики [14] были показаны пути строго математического обоснования предельного перехода в статистической физике при использовании канонического ансамбля Гиббса. Значительно позже Рюэль [16] предложил аналогичный подход к исследованию уравнений [c.212]

Такой ансамбль представляет собой совокупность бесконечно большого количества систем, имеющих последовательно возрастающее до бесконечности число молекул N, причем каждая система описывается канонической статистической суммой (110). Подставляя (115) в (116), делая перестановку операций суммирования и умножения и учитывая формулу разложения в ряд экспоненты, Курт получил [c.57]

Конкретизируя понятие о статистических ансамблях, В. Гиббс ввел понятие о микроскопическом, каноническом и большом каноническом ансамблях для равновесных систем [5]. Впервые ква-зиклассический предел для статистической суммы получен Кирквудом [18]. [c.212]

Ур-ние (9) составляет термодинамич. основу для вычисления натяжения мембраны у, а также др. поверхностных избытков путём дифференцирования статистических сумм малого канонического (при постоянных Т и iV,) и большого канонического (при постоянных Г и цО ансамблей (см. Гиббса распределения), выражаемых через потенциалы межмолекулярного взаимодействия и молекулярные ф-ции распределения. При этом учитываются энергия теплового движения атомов, молекул и ионов, энергия ван-дер-ваальсовых сил и сил эл.-статич. взаимодействия ионов и ионогенных групп в молекулах, а также сил бор-новского отталкивания и водородных связей. [c.129]

После Курта большой канонический ансамбль использовал Стил-линджер [197], который вывел без приближений формальные соотношения для давления и среднего числа частиц в открытой системе-неидеального газа в рамках равновесной теории физических кластеров Френкеля—Банда. Хилл [198] предложил рецепт вычисления большой статистической суммы для неидеального газа, разбивая ее на частные кластерные статистические суммы совместшше [c.58]

В гл. 4—6 мы изложили основной метод равновесноЁ статистической механики. Коротко идею этого метода можно сформулировать следующим образом. Исходя из принципа равных априорных вероятностей, можно сконструировать определенное число равновесных ансамблей. Из них наиболее важны канонический и большой канонический ансамбли в термодинамическом пределе они становятся эквивалентными. Затем демонстрируется, что нормировочные множители — статисттеские суммы, соответствующие этим ансамблям,— содержат всю информацию, необходимую для вычисления термодинамических величин. Следовательно, проблема равновесной термодинамики сводится к вычислению статистической суммы. [c.254]

Ввести функцию распределения флуктуаций энергии и числа частиц w E N) в большом каноническом ансамбле. Найти эту функцию в гауссовом приближении и с ее помощью вычислить средние значения ((А ) ), ((АД/ ) ), AEAN). Сравнить результаты вычисления с теми, которые получаются дифференцированием логарифма статистической суммы для большого канонического распределения по Т и /х. [c.78]

Здесь необходимо сделать еще одно замечание относительно полученного нами выражения (5.1.16) для статистического оператора. Мы предполагали, что равновесное состояние системы описывается большим каноническим ансамблем, поэтому гайзен-берговское представление для мнимого времени (5.1.7) определяется с эффективным гамильтонианом % = Н — jllN. С другой стороны, операторы эволюции (5.1.15) выражаются через Я независимо от равновесного распределения. То есть, строго говоря, динамические переменные в (5.1.16) можно считать функциями одного аргумента ti - -ij3hx только для канонического ансамбля. Отметим, однако, что в теории линейной реакции интересующие нас динамические переменные, как правило, коммутируют с оператором числа частиц N. Для таких переменных справедливы равенства [c.342]

Так как эти функции — основные математический объекты в теории линейной реакции, имеет смысл хотя бы кратко остановиться на их свойствах ). Для определенности мы рассмотрим квантовые системы и будем считать, что равновесное состояние описывается большим каноническим ансамблем со статистическим оператором (5.1.2). Тогда в (5.1.27) A t) и B t ) — некоторые квантовые операторы в представлении Гайзенберга с эффективным гамильтонианом 7/, т. е. [c.345]

Такое отличие от единицы фактора 2з является несуш,ественным. Райс и Катц считают, что ноступатель-но-враш ательный парадокс 22 10 связан с ошибочным предположением, будто свободная энергия капли в классической теории зародышеобразования соответствует покоящемуся центру масс капли. Они сначала находят частичную функцию для такой застывшей капли, затем учитывают внутреннее движение центра масс. Доступный этому движению объем полагается равным объему самой капли. В выводе используется выражение для свободной энергии капли через химический потенциал и поверхностное натяжение, а также связь свободной энергии с интегралом состояний. Дискуссия не закончена. Абрахам и Паунд [60] не согласны с анализом [58]. Они тоже применили метод большого канонического ансамбля Гиббса и нашли, что вклад вращательной статистической суммы существенно зависит от модели, которой описывается капля. Соответствующий множитель в нормировке может меняться от [c.61]

До сих пор мы проводили рассмотрение метода Монте-Карло в применении к обычному каноническому ансамблю Гиббса, для которого этот метод и был первоначально предложен и которому посвящено наибольшее количество из опубликованных к настоящему времени работ. Однако метод Монте-Карло может быть использован для оценки любых средних типа (1), и, следовательно, по крайней мере в принципе, его можно использовать для всех стандартных статистических ансамблей, а также и в других задачах, например для вариационной оценки энергии основного состояния жидкого Не, о чем мы будем говорить ниже. Чезнут и Зальсбург [17], по сути дела, использовали этот метод при вычислении свойств решеточного газа в большом каноническом ( FГ)-aн aмблe. Расчет в рамках большого канонического ансамбля свойств модельной системы (например, системы твердых сфер), достаточно правильно отражающей свойства реальных жидкостей, представляет большой интерес. Безусловно, могут быть даны разнообразные формальные рецепты таких расчетов, однако до сих пор не появилось ни одного расчета, который мог бы быть использован в интересующем нас диапазоне плотностей. Ниже будут рассмотрены некоторые до настоящего времени не опубликованные результаты для твердых дисков и твердых сфер, полученные для изотермически-изобарического, или ТУ У-ансамбля. При этом будут приведены соответствующие теоретические формулы. Основным соотношением для этого ансамбля, занимающим такое же место, что и соотношение (24) для 77 -ансамбля, является онреде- [c.293]

Для onnqaHHH равновесного состояния молекулярных систем обычно используется большой канонический ансамбль Гиббса. Для однокомпонентной системы из N частиц большая статистическая сумма для такого ансамбля [c.220]

Конфигурационное распределение Гиббса. В этом пункте мы введем определение конфигурационного распределения Гиббса. Это определение является естественным обобш,ением на случай бесконечного числа частиц хорошо известного определения большого канонического ансамбля в статистической механике. Возможность использования этого ансамбля для описания равновесных состояний системы частиц — основной по- [c.239]

Автор называет функциями состояний (partition fun tion) величины Q, Q, 3, т. е. статистический вес для микроканонического ансамбля и статистические суммы для канонического и большого канонического ансамблей Гнббса. В русской литературе обычно избегают употребления термина функции состояний в этом смысле, но мы оставили его в переводе, так как не существует эквивалентного русского термина, объедн-няющего величины 2, Q н S. — Прим. ред. [c.37]

ГИББСА БОЛЬШОЕ КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, распределение вероятностей состояний статистического ансамбля систем, к-рые находятся в тепловом и материальном равновесии со средой (термостатом и резервуаром ч-ц) и могут обмениваться с ними энергией и ч-цами (через полупроницаемые перегородки) при пост, объёме. Г. б. к. р.— статистич. распределение, соответствующее Гиббса большому каноническому ансамблю. Установлено амер. физиком Дж. У. Гиббсом (J. W. Gibbs) в 1901 как фундам. закон статистической физики. [c.114]

КАНОНИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ ГЙББСА, статистический ансамбль для макроскопич. систем в тепловом равновесии с термостатом при пост, числе ч-ц в системе и пост, объёме. Такие системы можно рассматривать как малые части (подсистемы) статистич. ансамбля больших энергетически изолированных систем. При этом роль термостата играет вся система, кроме данной выделенной подсистемы. Введён амер. физиком Дж. У. Гиббсом (J. W. Gibbs) в 1901 как одно из осн. понятий статистической физики. В К. а. Г. распределение по состояниям описывается каноническим распределением Гиббса. [c.242]

Если ансамбль, все равно, большой или-малый, идентичен в отношении фаз рода с канонически распределенным ансамблем, то мы скажем, что распределение является каноническим для фаз рода. Подобный ансамбль, повидимому, находится в статистическом равновесии о гносительно фаз рода, хотя равновесие может и нз иметь места относительно определенных фаз. [c.189]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...