Оператор столкновений Больцмана

Сравнивая формулы (3.3.26) и (3.3.31), видим, что оператор Mi2 t) имеет такую же структуру, что и оператор столкновений Больцмана. Следовательно, его можно грубо оценить как обратное время релаксации одночастичной функции распределения, т. е. [c.205]

Формулы (ЗА.39) и (ЗА.40) являются значительным достижением кинетической теории газов. Они позволяют вычислять коэффициенты переноса для конкретных моделей сечения рассеяния в линеаризованном операторе столкновений Больцмана (ЗА.35). [c.239]

Интересно отметить, что структура этих формул напоминает структуру общих выражений (2.3.58) для кинетических коэффициентов через корреляционные функции микроскопических потоков в квазиравновесном состоянии. Разумеется, эта аналогия не случайна, поскольку временная эволюция разреженного газа определяется оператором столкновений Больцмана, а роль квазиравновесного распределения играет локальная функция Максвелла. [c.240]

Рассмотрение ведется с использованием операторной формы для уравнения Больцмана, и общие результаты выражаются через операторы столкновений, причем различаются операторы для нормального рассеяния Л и для резистивного рассеяния / , Решение уравнения Больцмана и, следовательно, выражения для потока тепла и теплопроводности записываются через эти операторы, поэтому необходимо только выразить последние через скорости релаксации и чтобы довести ответы до числовых результатов. [c.68]

Отметим еще, что не составляет труда распространить проведенные рассуждения на случай, когда имеется несколько газов, т. е. молекулы обладают разными массами и разными законами взаимодействия. В таком случае получается система уравнений Больцмана, где функции распределения fl отдельных компонент смеси связаны через операторы столкновений, описывающие взаимодействие молекул разных сортов. [c.43]

Ясно, что свободномолекулярный оператор интересен сам по себе и что при реальных граничных условиях с ним связаны сложные проблемы, но именно оператор столкновений вследствие своей необычной формы характерен для уравнения Больцмана. Поэтому уместно изучить некоторые свойства, позволяюш ие во многих задачах обш его характера преобразовывать оператор Q f, /), несмотря на его сложность. [c.52]

Значительное число разложений, используемых при решении уравнения Больцмана, обладает тем свойством, что нулевой член разложений есть максвелловское распределение. Это свойство следует или из уравнения нулевого приближения, или из предположений, на которых основан метод возмуш ений. Мы будем изучать здесь именно такие разложения. Отметим, однако, что параметры в максвелловском распределении (плотность, массовая скорость, температура) могут произвольным образом зависеть от времени и пространственных переменных (в общем случае не требуется, чтобы максвелловское распределение удовлетворяло уравнению Больцмана). Но это не существенно при рассмотрении оператора столкновений, поскольку он не действует на пространственно-временную зависимость функции /. [c.80]

Проведенный анализ показывает, что при решении уравнения Больцмана методами возмущений особенно важен линеаризованный оператор столкновений. В связи с этим мы изучим в настоящей главе свойства оператора L. [c.81]

Изложенные в этой главе методы применяются не только к самим уравнениям Больцмана, но и к уравнениям типа Больцмана, которые получаются, когда квадратичный оператор столкновений заменяется модельным оператором / (/) (гл. 4). Отличия возникают только в связи с разложением нелинейных членов по степеням 8, ибо нелинейность моделей, вообще говоря, сложнее квадратичной. Эта особенность не проявляется, однако, раньше второго (члены порядка 8 ) приближения. Вследствие этого модели правильно воспроизводят уравнения Эйлера и Навье — Стокса, причем можно подогнать даже значения коэффициентов вязкости и теплопроводности так, чтобы они были согласованы с точными, если модели содерж ат по крайней мере два свободных параметра. Это несправедливо в случае простейших моделей, таких, например, как БГК-модель, и мы должны решать, что подогнать — вязкость или теплопроводность. [c.138]

Как известно, ряд Чепмена — Энскога по существу есть разложение оператора таким образом, его сходимость имеет смысл только для определенного класса функций, на которые действует этот оператор. В случае линеаризованного уравнения Больцмана для любого вида оператора столкновений легко получить нормальные решения, разложения которых определенно сходятся, так как оии состоят из конечного числа членов. Решения эти — полиномы по пространственным и временной переменным. Например, легко проверить, что не зависящая от времени функция [c.168]

Основное различие между линейным и линеаризованным уравнением Больцмана (2.6) заключается в том, что линеаризованный оператор столкновений L (1.7) имеет пять собственных [c.190]

Решение. Представим решение линеаризованного уравнения Больцмана х( < р) в виде разложения его по собственным функциям оператора столкновений [c.421]

В разделе 3.1.4 при выводе уравнения Больцмана мы уже показали, как можно исключить оператор -оо(12). В результате получается интеграл столкновений, записанный через одночастичные функции распределения, аргументы которых связаны соотношениями динамики парного столкновения. Ясно, что подобную процедуру можно применить и к уравнению (3.3.73). Мы не будем заново повторять математические выкладки ), а сразу выпишем преобразованное уравнение (3.3.73) [c.214]

Это уравнение отличается от уравнения (3.4.40) тем, что в левой части оно содержит точный двухчастичный оператор Лиувилля Ьаь-, не оператор описывающий свободное движение. Это отличие приводит к двум важным следствиям. Во-первых, с физической точки зрения уравнение (3.4.70) предпочтительнее уравнения (3.4.40), так как на малых расстояниях оно соответствует приближению Больцмана, а не приближению Ландау. Во-вторых, в математическом отношении уравнение (3.4.70) значительно сложнее, чем (3.4.40). Мы видели, что уравнение (3.4.40) может быть преобразовано в точно интегрируемое уравнение в к-представлении, где структура оператора становится очень простой. К сожалению, этот метод не годится для уравнения (3.470), так как в к-представлении Ьаь является интегральным оператором. С другой стороны, больцмановский член достаточно просто учитывается в координатном представлении, но зато в этом представлении сложно рассматривать поляризационные эффекты. Таким образом, проблема построения сходящегося интеграла столкновений для плазмы сводится к математической проблеме решения уравнения для Gab- Возможно, что эту трудность удастся преодолеть путем построения подходящего приближенного решения уравнения (3.4.70). [c.233]

В этой главе будут изучены основные свойства уравнения Больцмана. И с математической, и с физической точек зрения ясно, что левая и правая части уравнения (7.22) гл. 1 совершенно различны по характеру. В левой части стоит линейный дифференциальный оператор, который действует на временную и пространственные переменные функции /. Приравняв эту часть нулю, получим уравнение, описываюш ее эволюцию / в отсутствие столкновений поэтому дифференциальный оператор называется свободномолекулярным оператором . [c.52]

Еще один способ учета взаимодействий между далекими молекулами состоит в допущении а->оо в столкновительном операторе Больцмана, что приводит к распространению анализа парных столкновений на расстояния, где он, строго говоря, не применим. На первый взгляд это кажется очень странным, потому что а, как определено выше, является величиной порядка 10 см и при выводе уравнения Больцмана использовался предельный переход а->0. Однако можно оправдать и предположение а= оо дело в том, что о входит в (4.16) только через 6(0, V) и увеличение а означает, что учитываются более скользящие столкновения. Эти добавляемые столкновения настолько скользящие, что они едва отклоняют молекулы от их первоначальных путей молекула, претерпевающая такое скользящее столкновение в определенном состоянии движения, выходит из него практически в том же самом состоянии, и, следовательно, вклад от таких столкновений в интеграл в (4.16) практически равен нулю ([7 IIJ Иначе говоря, если согласиться с этим рассуждением, то нужно сказать, что при произвольном увеличении о, и в частности при а->оо, мы ничего не изменяем, поскольку просто добавляем одно и то же большое число к каждому из двух членов разности [c.107]

Мы видим, что производная (ЗА.28) нронорциональна градиентам гидродинамических неременных. Поэтому уравнение (ЗА.22) можно решать методом последовательных приближений, раскладывая Sf в ряд по градиентам ). Малость градиентов означает, что процессы переноса происходят медленно. С другой стороны, благодаря столкновениям, неравновесная функция распределения релаксирует к локальному распределению Максвелла, т. е. поправка 6f стремится к нулю. Характерным временем релаксации для Sf является среднее время свободного пробега г >, так как оператор (ЗА.25) является не чем иным как линеаризованным оператором столкновений Больцмана. Если гидродинамические переменные мало изменяются за время порядка г >, то в уравнении (ЗА.22) можно пренебречь производной по времени, т. е. его можно решать в стационарном приближении. Мы ограничимся этим приближением и найдем Sf в первом порядке по градиентам гидродинамическим переменных ). Заметим, что в этом случае функционалом A[Sf] в уравнении (ЗА.22) также можно пренебречь, так как он соответствует членам более высокого порядка по градиентам [см. выражение (ЗА.24)]. [c.238]

Левая часть этого ур-ния совпадает с линеаризов. кинетич. ур-нием Больцмана, где 67 —линейный интегральный оператор (оператор столкновений), а правая часть представляет собой случайный источник, моменты к-рого определяются соотношениями [c.327]

В 1990-х гг. термин броуновское движение применяют в гораздо более широком смысле— в кинетике физической, в статистич. гидродинамике, матем. теории стохастич. процессов в этих областях также используют Ф. — П. у. (в теории стохастич. процессов оно наз. ур-нием Колмогорова). В физ. кинетике Ф. — П. у. получается из цепочки Боголюбова уравнений в приближении малости взаимодействия (малого параметра при потенциале взаимодействия) или малости отношения массы молекулы жидкости или газа к массе примесной частицы. Для достаточно разреженных систем, описываемых уравнением Больцмана, приведённое приближение также даёт Ф. — П. у, В этом случае интеграл столкновения Больцмана разлагается по параметру малости взаимодействия, что в низшем приближении даёт столкновительный оператор Фоккера — Планка. Такой подход используется в кинетике гравитирующих систем и плазмы, а также для описания разл. релаксационных процессов (внутр. степеней свободы молекул газа, электронов в твёрдом теле и др.). [c.332]

Второе допущение состоит в том, что параметр плотности п = пг много меньше единицы или, другими словами, что радиус взаимодействия много меньше среднего расстояния между частицами. Благодаря этому допущению оказалось возможным оборвать цепочку ББГКИ на уровне двухчастичной функции распределения, пренебрегая тройными столкновениями. Приближенная форма (3.1.25) двухчастичной функции распределения в теории Больцмана содержит оператор 5 оо(12), который описывает мгновенные столкновения двух частиц. Это приводит к тому, что интеграл столкновений Больцмана обеспечивает сохранение локальной кинетической энергии, в то время как в плотных системах должна сохраняться полная энергия. [c.174]

Пренебрегая в этом выражении оператором М12, мы возвращаемся к немарковскому интегралу столкновений Больцмана-Боголюбова (3.2.41) для пространственно однородного газа. [c.205]

Моментные уравнения, получаемые с помощью аппроксимирующих функций (2.7) или (4.4), являются в общем случае неоднородными квазилинейными дифференциальными уравнениями первого порядка. Зависящая от интеграла столкновений неоднородная часть уравнений представляет собой алгебраическую функцию искомых моментов. Тип системы уравнений, а следовательно, и характер соответствующей этой системе граничной задачи, очевидно, определяются дифференциальными частями моментных уравнений, получающихся из дифференциального оператора уравнения Больцмана. Очевидно, что дифференциальная часть моментных уравнений одинакова при любых числах Кнудсена. По предположению аппроксимирующая функция при определенном выборе ВХ0ДЯИ1ИХ в нее моментов дает точное решение уравнения Больцмана при Кп = оо. т. е. когда правая часть равна нулю. Следовательно, входящие в нее моменты должны точно удовлетворять любой системе однородных (без интегральной части) моментных дифференциальных уравнений, полученных с помощью этой аппроксимирующей функции. При этом граничные значения моментов выбираются так, чтобы аппроксимирующая функция точно удовлетворяла микроскопическим граничным условиям. Но так как при Кп = со однородная система моментных уравнений при этих граничных условиях имеет решение, то и для неоднородной системы (т. е. при произвольном числе Кнудсена) справедлива та же постановка граничной задачи, что обосновывает сделанные выше утверждения. [c.125]

Таким образом, в большинстве задач включение дальнодей-ствующей части потенциала (при условии, что показатель сте пени в выражении силы при г->оо больше двух, что исключает кулоновские силы) не должно иметь большого значения. Физический смысл соответствующей части оператора столкновений, однако, уже не тот, что при выводе уравнения Больцмана, так как ее нужно интерпретировать как описание многих одновременных отклонений вследствие многочастичного взаимодействия, а не описание двухчастичных столкновений. В самом деле, строгий анализ на основе бинарных столкновений не имеет смысла для расстояний больше чем где /х —численная плотность. [c.111]

Многие разложения теории возмущений, которые применяются к уравнению Больцмана, обладают тем свойством, что членом нулевого порядка в них служит максвелловское распределение или как решение уравнения нулевого порядка, или как следствие предположений, лежащих в основе метода возмущений. Ограничиваясь далее этим случаем, заметим, однако, что параметры максвеллиана (плотность, массовая скорость и температура) могут произвольным образом зависеть от времени и координат (при этом он, вообще говоря, не является решением уравнения Больцмана), но это можно не принимать во внимание при рассмотрении оператора столкновений, поскольку он не затрагивает зависимости функции / от координат и времени. [c.182]

Т. е. совпадает с одномерным стационарным линеаризованным уравнением Больцмана, исследованным в разд. 7 гл. IV (уравнение (7.1) при xi = X). В силу наших предположе-нпп L представляет собой оператор столкновений, линеаризованный около максвеллиана стенки при соответствующей плотности. По аналогии с (5.9) (для п = I) имеем [c.285]

Ситуация становится более интересной и сложной в том случае, когда начальные данные зависят от координат. Моргенштерн [6] и Повзнер [7] решили задачу Коши для видоизмененного уравнения Больцмана, содержащего размазку , т. е. оператор, сглаживающий пространственную зависимость. Такие уравнения были выбраны из-за математического удобства их не следует путать с модельными уравнениями, неоднократно используемыми в настоящей книге и не вносящими заметных упрощений в нелинейную теорию существования. В частности, операторы столкновений со сглаживанием не имеют инвариантов столкновений, за исключением пространственно-однородного случая. Грэду [8] удалось доказать теорему существования и единственности для обрезанного максвелловского взаимодействия при довольно жестких условиях, наложенных на начальное распределение (которое должно быть ограничено некоторым максвеллианом), и лишь для конечного интервала времени. [c.437]

Очевидно, что уравнение Лиувилля (32) Lt-инвариантно. Действительно, если знак оператора Лиувилля L изменить на обратный (в классической механике это можно сделать путем инверсии скорости), а также изменить на обратный знак t, то уравнение Лиувилля не изменится. С другой стороны, легко можно показать [18], что слагаемое в уравнении Больцмана, учитывающее столкновения (правая часть в (29)), нарушает Lt-симметрию, так как оно четно по L. Поэтому ранее поставленный вопрос имеет смысл перефразировать следующим образом как можно нарушить Li-симметрию, свойственную явлениям, служащим объектом изучения классической или квантовой механики Наша точка зрения на этот вопрос состоит в том, что динамическое и термодинамическое описания систем в определенном смысле являются эквивалентными описаниями эволюции системы, связанными друг с другом пеупитарпым преобразованием. Разрешите мне вкратце показать, как мы можем приступить к решению этой задачи. Метод, которым я буду пользоваться, был разработан в тесном сотрудничестве с моими коллегами, работаюп1ими в Брюсселе и Остине [20-22]. [c.147]

Описание сильно неравновесных состояний, а также вычисление кинетич. коэф. производятся с помощью кинетического уравнения Больцмана. Это ур-ние представляет собой интегродифференц. ур-ние для одночастичной ф-ции распределения (в квантовом случае — для одночастичной матрицы плотности, или статистич. оператора). Оно содержит члены двух типов. Одни описывают изменение ф-ции распределения при движении частиц во внеш. полях, другие — при столкновениях частиц. Именно столкновения приводят к возрастанию энтропии неравновесной системы, т, е. к релаксации. Замкнутое, т. е. не содержащее др. величин кинетич. ур-ние, невозможно получить в общем виде. При его выводе необходимо использовать малые параметры, имеющиеся в данной конкретной задаче. Важнейшим примером является кинетич. ур-ние, описывающее установление равновесия в газе за счёт столкновений между молекулами. Оно справедливо для достаточно разреженных газов, когда длина свободного пробега велика по сравнению с расстояниями между молекулами. Конкретный вид этого ур-ния зависит от эфф. сечения рассеяния молекул друг на друге. Если это сечение известно, ур-ние можно решать, разлагая искомую ф-цию по ортогональным полиномам. Таким способом можно вычислить кинетич. коэф. газа, исходя из известных законов взаимодействия между молекулами. Кинетич. ур-ние учитывает только парные столкновения между молекулами и описывает только первый неисчезающий член разложения этих коэф. по плотности газа. Удалось найти и более точное ур-ние, учитывающее также тройные столкновения, что позволило вычислить следующий член разложения. [c.672]

Другой крайний случай — ударные волны бесконечно большой интенсивности. Грэд [115] предположил, что предел / при 8 >оо существует (для операторов с конечной частотой столкновений) и выражается через сумму величины, кратной дельтафункции, которая сосредоточена в точке, соответствующей скорости набегающего потока, и сравнительно гладкой функции, для которой нетрудно вывести уравнение. Последнее, видимо, более сложно, чем само уравнение Больцмана, но предполагаемая гладкость позволяет надеяться на получение простого приближенного решения. Проще всего в качестве гладкого остаточного члена взять максвеллиан [115], параметры которого определяются из законов сохранения. [c.413]

При определении функций взаимодействия имеется в виду плонхадка поверхности 5, соответствующая размерам пространственного элемента, по которому усредняется функция распределения в уравнении Больцмана. Такая площадка представляет для падающего атома газа громадное поле с неровностями случайного характера и сложной структурой. Поэтому для построения функций взаимодействия нужно не только решить задачу столкновения атома с малой площадкой йз молекулярных масштабов, но и дать статистическое описание встреч и блужданий в пределах 13. В [1] показано, что, зная функцию рассеяния Уо на ровной поверхности, можно построить функцию рассеяния V на статистически шероховатой поверхности с помощью оператора шероховатости 5 . В общем случае этот оператор содержит континуальный интеграл, описывающий условную вероятность пролета П без столкновений с поверхностью. В практических расчетах используются различные аппроксимации континуального интеграла. Одна из них рассматривается в [20], где учитывается также анизотропность поверхности. [c.458]

Описание сильно неравновесных состояний, а также вычисление кинетич. коэфф. производятся при помощи к и-нетического уравнения. Оно представляет собой интегродифф. ур-ние для одночастичной ф-ции распределения, к-рая получается из введённой равенством (2) 7У-частичной ф-ции распределения интегрированием по координатам и импульсам всех ч-ц, кроме одной. В квант, случае вместо одночастичной ф-ции распределения пользуются одночастичной матрицей плотности, или статистич. оператором. Такое замкнутое, т. е. не содержащее др. величин, ур-ние невозможно получить в общем виде. При его выводе необходимо использовать малые параметры, имеющиеся в данной конкретной задаче. Важнейшим примером явл. кинетическое уравнение Больцмана, описывающее установление равновесия в газе за счёт столкновений между молекулами. Конкретный вид этого ур-ния зависит от коэфф. сечения рассеяния молекул друг на друге. Если это сечение известно, то можно вычислить кинетич. коэфф. газа. Ур-ние Больцмана учитывает только парные столкновения между молекулами и описывает только первый неисчезающий член разложения этих коэфф. по плотности газа. Удалось найти и более точное ур-ние, учитывающее также тройные столкновения, что позволило вычислить следующий член разложения. [c.722]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...