Уравнение амплитуды колебани частот колебаний

Б. Если А. 0, то все решения уравнения (1) конечны. Это обстоятельство обусловлено тем, что с ростом амплитуды уменьшается частота колебаний и нарушается условие синхронизма (2). Полученный результат весьма важен для нелинейной оптики — интен- [c.308]

Уравнения (7) и (8) показывают, что величины истинных кинематических переднего Y, . и заднего ос,-. углов при вибрационном сверлении зависят от размеров статических углов, а также от ряда других параметров величины поперечной режущей кромки d , подачи (незначительно), скорости вращения сверла п, амплитуды и частоты колебаний f . [c.341]

После преобразований получим уравнение, связывающее безразмерную частоту колебаний X и амплитуду [c.160]

Из этих уравнений можно определить амплитуду и частоту колебаний. Заметим, что в уравнения системы (4.15) трение [c.214]

Большое внимание автором уделено исследованию помпажа в распределенных системах, даны дифференциальные уравнения движения в системе и их решение. Рассмотрены устойчивость периодических движений, автоколебательные режимы, мягкий и жесткий режимы возбуждения, даны формулы для амплитуд и частот колебаний, сопоставлены результаты теоретических и экспериментальных исследований. Рассмотрены пути целенаправленного уменьшения интенсивности помпажа использованием автоматического регулирования выходного дросселя и направляющего аппарата, вынужденных колебаний, накладываемых на периодический перепуск воздуха, а также пассивные методы воздействия на помпаж. Приведена механическая модель системы, даны методы фазовой плоскости и аналитического исследования нелинейных систем. [c.4]

Задача 3. Упругая балка с грузом на конце закреплена во фланце, совершающем горизонтальные колебания согласно уравнению Х = = а sin pt. Исследовать вынужденные колебания груза в неподвижной системе координат. Известны масса груза, жесткость балки, амплитуда и частота колебаний фланца. [c.111]

Система уравнений (68) содержит (п +1) неизвестных п амплитуд и частоту колебаний ю. [c.64]

Выражение (2.92) представляет собой систему трансцендентных уравнений, характеризующих резонансные частоты колебаний по толщине рассматриваемого резонатора в форме бесконечной плоской пластины. Равенству (2.92) удовлетворяет бесконечное число корней у/, и резонансных частот ША, причем для каждого корня из (2.91) можно найти отношение амплитуд Bjp для o = 0. [c.52]

Определить центр колебаний йо, амплитуду, круговую частоту, период Г, частоту колебаний f в герцах и начальную фазу по следующим уравнениям движения х — в сантиметрах, t — в секундах) [c.93]

Груз, поднятый на упругом канате, колеблется согласно уравнению х = а sm(kt2>л/2), где а — в сантиметрах, к — в рад/с. Определить амплитуду и круговую частоту колебаний груза, если период колебаний равен 0,4 сив начальный момент Ха — —4 см. Построить также кривую расстояний. [c.93]

Движение, определяемое уравнением (17.3), можно рассматривать как колебания частоты р и периода т = 2п/р, амплитуда которых A t) является периодической функцией (17.2). [c.49]

Вторые слагаемые уравнений (9) и (20) соответственно определяют вынужденные колебания стрелки В при отсутствии и при наличии силы сопротивления движению. Из сопоставления полученных результатов следует, что сила сопротивления движению на круговую частоту вынужденных колебаний не влияет. Как в формуле (9), так и в формуле (20) /> = 60 сек амплитуда вынужденных колебаний при наличии силы сопротивления стала меньше. Она уменьшилась от 1,25 см до 0,8 с.щ сила сопротивления движению создала сдвиг фаз между возмущающей силой и вынужденными колебаниями вынужденные колебания отстают по фазе от возмущающей силы па е = 0,87 рад. [c.112]

Из уравнения (32) следует, что при действии возмущающей силы точка совершает сложное колебание, которое является результатом суперпозиции (наложения) двух колебаний собственных колебаний с частотой k и вынужденных колебаний с частотой р, равной частоте возмущающей силы. Заметим, что амплитуда вынужденных колебаний [c.368]

Часть обобщенной силы зависящую от сил сопротивления, считаем равной нулю. Постоянные Н, р и Ь, характеризующие гармоническую возмущающую силу, соответственно являются амплитудой, круговой частотой и начальной фазой этой силы. В этом случае, как и в случае собственных линейных колебаний, из уравнения Лагранжа в предположении, что для кинетической и потенциальной энергий справедливы формулы (2) и (3), получают дифференциальное уравнение [c.412]

Последнее выражение получено в результате биномиального разложения квадратного корня. Уравнения (38) выражают зависимость со от 00. Величина шо представляет собой предельное значение (о при 0о->О, т. е. при предельно малых значениях амплитуды. При Во = 0,3 рад относительное изменение частоты равно Асо/со Ю-, где Дсо = со — о. Отметим, что при больших амплитудах частота колебаний маятника зависит от амплитуды. [c.213]

Заметим, что правая часть выражения (91) имеет ту же форму, что и уравнение (15), определяющее частоты главных колебаний. Поэтому знаменатель в формулах (92) обращается в нуль при р — k или р = 2- Совпадение частоты возмущающей силы с одной из частот свободных колебаний, как станет ясно ниже, сопровождается при отсутствии сил сопротивления неограниченным возрастанием амплитуд колебаний с течением времени — явлением резонанса. Отметим, что при р = kt (г—-= 1, 2) определитель системы уравнений (90) обращается в нуль, т. е. система не имеет решений относительно В и Бг. Поэтому частное решение системы дифференциальных уравнений (87) в условиях резонанса следует искать в форме, отлич- ой от (89). [c.585]

Чем больше частота колебаний со , тем меньше их амплитуда. Интеграл уравнения (3.159) будет равен [c.108]

Отметим, что функция ХхЦ), описывающая свободные затухающие колебания системы, содержит две произвольные постоянные а и фо, для определения которых нужно знать начальные условия движения. В противоположность этому функция Хг(0 не содержит произвольных постоянных и, следовательно, не зависит от начальных условий движения. Все входящие в нее величины определяются непосредственно из самого дифференциального уравнения движения. Физически это значит, что при затухании свободных колебаний системы с течением времени дальнейшее колебательное ее движение будет определяться только свойствами самой системы, а также амплитудой и частотой вынуждающей силы. [c.188]

Определить циклическую частоту k и период Т малых свободных колебаний системы, а также получить уравнение y = y f) колебаний груза / и найти амплитуду а его колебаний. [c.344]

Правая часть этого уравнения периодична с периодом 2л/р и мала по сравнению с членами, стоящими в левой его части. Поэтому при частоте р, далекой от о, вынужденное колебание в решении уравнения (3.6.10) будет иметь амплитуду по крайней мере того же порядка малости, что и члены с у и 26. Исключения соответствуют случаям, когда тр <= q. Тогда высшие гармонические компоненты в правой части уравнения (3.6.15) могут вызвать резонансные эффекты. В этих случаях можно ожидать появления вынужденных колебаний с конечными амплитудами на частотах тр, т. е. работы подобной системы как умножителя частоты. [c.125]

Подставляя полученные выражения в первое и второе уравнения системы (7.4.6), имеем следующие уравнения для определения частоты генерации со и амплитуды колебаний А [c.271]

Это матричное уравнение эквивалентно системе п однородных уравнений для амплитуд Asm Первый индекс у амплитуды соответствует номеру собственной частоты, второй индекс — номеру координаты. Из системы (8.1.12) можно найти отношение амплитуд Asm As = /. т- Величины ОбраЗуЮТ вектор К.5, который называется вектором коэффициентов распределения амплитуд на частоте или формой э-го собственного колебания системы. Коэффициенты для всех з образуют квадратную матрицу [c.284]

Каждому нормальному колебанию соответствует определенное распределение амплитуд по координатам, или определенная форма колебании. Формы колебаний, соответствующие разным собственным частотам, ортогональны друг другу. Для того чтобы показать это, запишем уравнение (8.1.7) для з-й и г-й форм колебаний [c.285]

Введение Иэф вместо jii вносит погрешность в уравнение радиального движения, II оно оправдано для колебательного режима радиального движения пузырька, когда главными характеристиками этого движения являются частота колебаний и их амплитуда, изменение которой определяется диссипацией. [c.125]

Полученные уравнения показывают, что в этом случае движение механической системы можно рассматривать как наложение друг на друга двух затухающих колебаний. Эти колебания имеют одинаковые частоты и 2 и факторы затухания и щ, но они отличаются друг от друга амплитудами колебаний и сдвинуты по фазе. [c.123]

Следовательно, если искать решение уравнения (14.13) в виде y — As n(iit, то возможно получение трех различных амплитуд при одной и той же частоте (о. Возможность возникновения нескольких периодических режимов при одной и той же вынуждающей силе составляет характерную особенность нелинейных систем. На рис. 50, а показана зависимость амплитуды А от частоты со, или амплитудно-частотная характеристика, для случая, когда коэффициент жесткости увеличивается при увеличении силы. Пунктиром показана скелетная кривая — график зависимости между частотой и амплитудой свободных колебаний. Сравнение полученной амплитудно-частотной характеристики с резонансной кривой при линейном упругом звене (см. рис. 48,а) показывает, что нелинейность упругого звена приводит к возникновению колебаний с большой амплитудой при частотах вынуждающей силы, превышающих собственную частоту (затягивание резонанса в область высоких частот). [c.118]

Уравнение (I. 97) показывает, что в отличие от решений для вынужденных колебаний балок, имеющих линейные граничные условия, решения для вынужденных нелинейных колебаний балок получаются не однозначными. Одной и той же частоте колебаний со (или а) может соответствовать несколько параметров Л 2, а следовательно, и амплитуд колебаний (при заданной внешней возмущающей силе Ро). Можно думать, что одни решения ij i (х) и 1 32 (л ) будут устойчивыми, а другие нет. На этот вопрос можно ответить, исследуя характер кривых вынужденных колебаний определен- [c.37]

Расчет амплитуды вынужденных колебаний для подвижной системы, закрепленной на растяжках, жесткость которых одинакова, производится по уравнению (105), но при этом собственная частота колебаний [c.122]

Прежде всего рассмотрим свободные гармонические колебания, при которых iW =0, /=0, Wij =0. В этом случае вал не возмущен и не колеблется. Понятие порядка гармонических составляющих V в данном случае теряет смысл. Поэтому в уравнениях (6.09) мы оставляем индексы v и вместо vw вводим частоту собственных, колебаний Q. После этого получим из уравнения (6.09) для амплитуды собственных гармонических колебаний следующие уравнения [c.261]

Отметим некоторые принципиальные особенности данной автоколебательной системы. В этой системе ф (х) = 5о = onst, член 26 (Оо) в силу своей инерционности также постоянен в пределах всего периода колебаний. Поэтому коэффициент в квадратной скобке в уравнении (5.5.6) в силу автоколебательности системы равен нулю не в среднем за период, а для каждого момента времени в пределах любого периода колебаний. Следовательно, подобную систему можно с большой степенью точности считать консервативной системой, для которой характерна неизменность амплитуды и частоты колебаний. [c.213]

Здесь Pi = , F — объем приемной полости гидромотора, v иф — амплитуда и частота колебаний скорости рабочей жидкости у насоса. Замена у = (1 — sin0i + и приводит уравнение (4) к стандартному виду [c.128]

Для исследования влияния нелинейности функции /.i=Xi(i) в области на амплитудно-частотную характеристику ГДТ проведем гармоническую линеаризацию функции A,i = A, (t) разложением ее в тригонометрический ряд Фурье, отбросив при этом все гармоники выше первой на том основании, что они не пропускаются ГДТ (основное условие приемлемости этого метода). При этом предполагается, что передаточное отношение изменяется синусоидально, т. е. t = asin (at), где а и и — амплитуда и частота колебания t. Остальные нелинейности уравнений (54) подвергаются обычной линеаризации в области ix разложением в ряд Тейлора с оставлением только линейной составляющей. Таким образом, предполагаем, что функция > (i) обладает наиболее сильно выраженной нелинейностью. [c.73]

Б. Если Л ф О, то все решения уравнения (1) конечны. Это обстоятельство обусловлено тем, что с ростом амплитуды уменьшается частота колебаний и нарушается условие синхронизма (2). Полученный результат весьма важен для нелинейной оптики — интенсивная волна, падаюш ая на периодическую среду под брегговским углом, проходит через нее практически без ослабления. [c.436]

Рассмотрение теории возмущений мы начнем с краткого описания некоторых ее методов, используя простые примеры динамических систем и исследуя движение непосредственно по определяющим его дифференциальным уравнениям. Даже для нелинейного осциллятора с одной степенью свободы (интегрируемая система) разложение только амплитуды колебаний в степенной ряд приводит к появлению неограниченно растущих во времени секулярных членов и расходимости. Решая совместные уравнения для амплитуды и частоты колебаний, Линдштедт [278 J и Пуанкаре [337 ] преодолели секулярность и получили сходящиеся ряды. Их техника описана в п. 2.1а и представлена в общей канонической форме в п. 2.2а. Этот материал составляет основу дальнейшего изложения теории возмущений. [c.82]

Определение внутреннего трения осуществляется путем из-мерешгя амплитуды колебаний при резонансных частотах и близких к ним. Все измерения производят при одном и том же значении максимальной амплитуды, например 3 мм. На основании полученных данных строят резонансную кривую (зависимость амплитуды колебаний образца А от частоты колебаний о), из которой определяют соответствующую максимальной амплитуде колебаний резонансную частоту колебаний ыр и рассчитывают внутреннее трение по уравнению (43). [c.347]

Определить циклическую частоту к и период Г ммых свободных колебаний системы, а также получить уравнение у = у(О колебаний груза I и найти амплитуду а его колебаний. [c.313]

Определить центр колебаний с о, амплитуду, круговую частоту, период Т, частоту колебаний / в герцая и начальную фгпу по следующим уравнениям двпжекич (t—а сантиметрах, t — в секундах) [c.93]

Уравнения (12.36) содержат 6 постоянных (Лц, Л12, Л13, , 2, < з), которые определяются из начальных условий. При произвольно заданных начальных условиях обобщенные координаты изменяются по полигармоническому закону. Специальным выбором начальных условий можно достичь того, что все обобщенные координаты будут изменяться по гармоническому закону с одной и той же частотой ki (или Аг, или Аз), а фазы колебаний либо совпадают, либо отличаются на я главные колебания). ОтЕЮшения амплитуд при главных колебаниях образуют собственную форму, соответствующую частоте колебаний. [c.245]

Это уравнение означает, что сумма амплитуд углов поворота всех дисков на валу при недемпфируеыых свободных колебаниях равна нулю. Отсюда следует, что некоторые из амплитуд будут положительными, а некоторые — отрицательными. На валу имеются сечения, которые при колебаниях находятся в состоянии покоя. Это так называемые узлы. Каждой собственной частоте колебаний, а следовательно, каждой форме колебаний, соответствует вполне определенное количество узлов. Низшему числу собственных колебаний Qi соответствует один узел наиболее высокой частоте Qw i соответствует N—1) узлов таким образом, между каждыми двумя соседними дисками имеется один узел. Наличие узлов, как известно, обусловлено тем фактом, что нет демпфирования. Из условий (6.10а) получаем, что при Q = 0 выполняются все условия, если [c.263]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...