Дифференциальное уравнение в преобразование Лапласа

Применение к полученной системе дифференциальных уравнений интегрального преобразования Лапласа (5-2-8) позволяет преобразовать ее в алгебраическую систему уравнений относительно Гнь и внь. Решение последней дает нам [c.168]

Далее приведены основные правила преобразования дифференциального уравнения в форму Лапласа. При этом предполагается, что функция Д/) равна нулю до момента времени t = 0. [c.39]

Как видим, для стационарных объектов, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, процедура определения передаточной функции U (p) имеет достаточно простой вид и в приведенном примере позволяет до конца решить задачу исследования функционального оператора объекта. Из свойства (2.2.77) следует, что для определения передаточной функции достаточно получить выражение преобразования Лапласа вых(р) выходной функции через й р) — преобразование Лапласа входной функции. Чтобы найти такое выражение Увых(р) через й(р) достаточно применить преобразование Лапласа к уравнению и граничным условиям математической модели, затем решить получившееся обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции х, р) — преобразования Лапласа от внутреннего параметра v x, t), и подставить в решение х = I. [c.101]

Таким образом, дифференциальное уравнение в частных производных после применения преобразования Лапласа переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение. Граничное условие для уравнения (4.1.5) получится в результате применения преобразования Лапласа к граничному условию (4.1.2) [c.116]

После осуществления преобразования Лапласа по переменной X исходное дифференциальное уравнение в частных производных свелось к алгебраическому уравнению (4.1.7). Решение этого уравнения получается тривиальным образом [c.116]

Из всех известных методов решения линейных дифференциальных уравнений в задачах теории механизмов и машин наибольшее распространение за последние годы получил операторный метод, основанный на применении преобразования Лапласа. К достоинствам этого метода надо отнести во-первых, замену дифференциальных уравнений алгебраическими, решение которых позволяет затем найти искомые решения дифференциальных уравнений во-вторых, возможность получения вспомогательных функций (динамических передаточных функций), которые позволяют установить свойства получаемых решений, не зависящие от вида функций х(/) и от начальных условий, что облегчает качественное исследование уравнений движения механизма. [c.166]

Как известно, при помощи преобразований Лапласа функция вещественного переменного (в том числе времени) переводится в функцию комплексного переменного. Такое преобразование превращает дифференциальные уравнения в алгебраические, что позволяет легко учитывать начальные условия и избежать сложных выкладок, связанных с вычислением постоянных интегрирования. Это значительно облегчает исследование динамики сложных гидромеханических систем. [c.49]

Существуют два основных подхода к рассмотрению временных эффектов. Один из них заключается в том, чтобы учитывать время явно, таким же образом, как и пространственные координаты, и производить численное интегрирование по отрезку времени так же, как и по геометрической границе тела. Такой метод применялся в работе [1]. Другой подход, более широко используемый в методе ГИУ, состоит в исключении времени из числа независимых переменных путем применения преобразования Лапласа к исходным дифференциальным уравнениям в частных производных и граничным условиям. (Обсуждению такого подхода посвящается эта статья.) Этим способом параболические и гиперболические дифференциальные уравнения, как правило, могут быть сведены к более удобным эллиптическим уравнениям, которые решаются в пространстве преобразований методом ГИУ для [c.30]

Анализ процесса хроматографической адсорбции с точки зрения кинетики [Л. 235] свел задачу к решению уравнения (3-14) с краевыми условиями (3-15). Пусть f( , 5) есть изображение функции 7( , ц) по переменной т]. Приложение метода преобразования Лапласа по т) к дифференциальному уравнению в частных производных (3-14) дает [c.87]

Принципиально иной подход осуществлен в работе [27]. Здесь выполняется преобразование Лапласа по времени и все построения осуществляются с трансформантами смещений. Получаемое для них дифференциальное уравнение можно трактовать как уравнение для амплитуд (см. 4 гл. II) с комплексной частотой. Поэтому построение решения для трансформанты оказывается возможным осуществлять посредством потенциалов, опирающихся на фундаментальное решение (1.33). [c.556]

При этом каждый член линейных дифференциальных уравнений (XI.28), записанных в символической форме, являющийся некоторой функцией времени ф ( ), с помощью преобразования Лапласа [c.304]

Доказанное свойство передаточной функции очень часто используется при исследовании технологических объектов. Большинство таких объектов описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных. Как правило, получить точное аналитическое решение этих систем уравнений невозможно. Однако можно упростить дифференциальные уравнения, если применить к ним преобразование Лапласа по времени. При этом обыкновенные дифференциальные уравнения превращаются в алгебраические уравнения для функций й р) и v p), а уравнения в частных производных — в обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие производные только по пространственной координате. Решая преобразованную систему уравнений можно получить выражение v p) через й р). Используя затем соотношение (2.2.77), найдем передаточную функцию W p), с помощью которой удобно описывать оператор объекта. После того как найдена функция W p), можно определить весовую функцию g t) и переходную функцию h(t). Для этого достаточно по таблицам преобразований Лапласа определить оригиналы функций [c.71]

Реальные объекты химической технологии, как правило, не обладают свойством линейности, и поэтому для их описания приходится применять нелинейные операторы. Нелинейность функциональных операторов значительно усложняет теоретическое исследование динамики объектов. Это связано прежде всего с необходимостью рассматривать нелинейные дифференциальные уравнения, для которых нет универсальных методов решения (таких, например, как метод сведения дифференциальных уравнений к алгебраическим с помощью преобразования Лапласа) и которые в большинстве случаев вообще не могут быть решены в квадратурах. [c.77]

Применим к уравнению (5.4.48) и граничному условию (5.4.50) преобразование Лапласа по t и используем условие (5.4.49). В результате получим обыкновенное дифференциальное уравнение [c.253]

Решение задач теплопроводности методом преобразования Лапласа существенно упрощается благодаря наличию таблиц изображений. В результате преобразования решать приходится обыкновенное алгебраическое уравнение, после решения которого применяют обратное преобразование (по таблицам), являющееся решением исходного дифференциального уравнения. Широкое использование операционного метода при решении самых разных задач теплопроводности нашло в работе Теория теплопроводности А. В. Лыкова (М., 1967). [c.107]

Идея этого метода применительно к решению системы дифференциальных уравнений с заданными функциями Xi t) и неизвестными yi t) состоит в том, что функции Xi t) и У (О, называемые оригиналами, по определенному правилу (правилу преобразования Лапласа) заменяются функциями X(s) и Y(s) комплексного переменного s, которые называются изображениями данных функций (оригиналов). В результате этой замены уравнение, дифференциальное относительно Xi t) и yi(i), превращается в алгебраическое относительно X s) и У(5). После решения алгебраических уравнений, т. е. после нахождения функций У (s) ио известным функциям X s), возвращаемся к оригиналам yi t) и получаем искомое решение. [c.83]

Для нахождения показателей надежности на основании системы дифференциальных уравнений удобно сначала применить к ним преобразование Лапласа и найти решение в преобразованиях. [c.163]

Для решения полученной системы воспользуемся преобразованиями Лапласа, которые позволят перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим. В данном случае проведем решение со всеми подробностями, чтобы для более сложных и громоздких схем ход решения был сразу понятен. [c.168]

Приведем решение при помощи преобразования Лапласа. Дифференциальное уравнение (5.01с) напишем в форме [c.229]

Метод частотных характеристик основан на применении интегральных преобразований для решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Интегральные преобразования Фурье и Лапласа широко используются как для аналитического, так и для численного решения разнообразных теоретических и прикладных нестационарных задач в областях автоматического регулирования, связи, радио- и электротехники, теплофизики и во многих других [Л, 50, 62—65]. [c.98]

Методика решения дифференциальных уравнений с помощью интегрального преобразования Лапласа по времени хорошо известна. В качестве основных этапов она включает в себя [Л. 50] [c.98]

При частотном подходе, как указывалось выше, решение уравнений динамики теплообменника достаточно провести в области изображений по Лапласу. Применяя преобразование Лапласа по времени к линеаризованной системе уравнений в частных производных (7-14) — (7-20), при нулевых начальных условиях для отклонений получим систему обыкновенных дифференциальных уравне- [c.101]

Метод интегрального преобразования Лапласа применительно к решению дифференциальных уравнений широко используется при исследовании динамических задач. Поскольку в учебных институтах дается лишь общее понятие о преобразовании Лапласа, то для практического применения этого метода следует дать о нем необходимые дополнительные сведения. [c.86]

Общий прием рещения системы дифференциальных уравнений тепло-н массопереноса в безразмерном виде мы покажем на примере нахождения полей потенциалов переноса тепла и вещества при постоянных начальных условиях Т Х, О)=0(А, 0) =0 для тел классической формы. Решения данного параграфа получены посредством преобразования Лапласа. [c.116]

Дифференциальное уравнение (1-11-38) было решено для полупространства, когда ядра интегральных соотношений а (6) и X (9) являются степенными или экспоненциальными функциями времени б. Наличие интегральных соотношений в уравнении теплопроводности (1-11-38) не вносит больших трудностей при его решении методом интегрального преобразования Лапласа, поскольку интегрирование в этих соотношениях производится по времени в пределах от О до со [Л. 1-50]. Особый интерес представляют температурные волны в материалах с памятью, они имеют свою особенность, скорости их распространения и коэффициенты затухания отличны от аналогичных соотношений в классической теории теплопроводности. [c.92]

В данной работе сделана попытка представить ГДП звеном в системе автоматического регулирования двигатель — гидротрансформатор— механическая передача — нагрузка и, используя теорию автоматического регулирования, исследовать динамические свойства этой системы. Защитные свойства системы с ГДТ исследуют на базе амплитудно-частотных и амплитудно-фазовых характеристик при синусоидальном изменении момента сопротивления нагрузки и двигателя. Эти характеристики находят из дифференциальных уравнений переходного процесса и передаточных функций данной системы. Возможность такого подхода с использованием преобразований Лапласа описана в ряде работ [4, 5, [c.49]

Решение уравнений (1) — (3) проводилось следуюш,им образом. Вначале решалось уравнение (3). После применения к нему интегрального преобразования Лапласа было получено операторное решение, выраженное через функции Макдональда. После применения интегрального преобразования Лапласа к уравнению (1) было получено линейное неодно родное дифференциальное уравнение второго порядка, которое затем решалось с помощью функции Грина. Аналогичным образом было найдено операторное решение уравнения (2). В результате были получены точные решения уравнений (1) — (3) в критериальной форме [c.87]

Общая процедура решения дифференциального уравнения методом преобразования Лапласа состоит в следующем сначала отыскиваются изобралсеиия для всех членов уравнения, затем полученное в результате алгебраическое уравнение решается относительно переменной S и при помощи таблиц производится обратное преобразование полученного решения. [c.32]

Для решения уравнений (7-10) и (16-1) используем операторный метод [17]. Интегральное преобразование Лапласа выполним по времени /. Тогда дифференциальные уравнения в частных производных для функции Т (х, О превратятся в обыкновенные диффе-ренциа.тьные уравнения второго порядка для изображения температуры Т х, х). Решение этих уравнений в интервалах — й х -гуТ их (1 имеет соответственно следующий вид [c.291]

Умножить дифференциальные уравнения и граничные условия на выбранное ядро 1преобразова1Ния и проинтегрировать полученные выражения в соответствующих пределах по неременной, (подлежащей исключению в результате вместо системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно оригинала функций (мы получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для изображения функций, которые учитывают начальные (при иапользовании преобразования Лапласа) или граничные (при нспользовапии преобразО Ваний Фурье) условия. [c.84]

Преобразование Лапласа представляет собой математический метод, позволяющий относительно просто решать линейные дифференциальные уравнения. В результате преобразования дифференциальное уравнение (оригинал) приобретает форму алгебраического уравнения (изображение), в котором в качестве независимого переменного вместо времени используется комплексное переменное s. Решение исходного дифференциального уравнения отыскивается посредством применения к решению указанного алгебраического уравнения обратного преобразования Лапласа. Уравнения переходного процесса в системе автоматического регулирования, как правило, решаются этим методом, чему в большой мере способствует наличие достаточно полных таблиц преобразований Лапласа. Другая причина широкого распространения метода преобразования Лапласа состоит в том, что по выражению для передаточной функции системы, которая определяется как отнонтение преобразованного по Лапласу выходного сигнала к входному, также преобразованному по Лапласу, можно непосредственно получить частотные характеристики системы. Любое количественное исследование систе.мы автоматического регулирования начинается с определения передаточных функций каждого элемента структурной схемы системы. [c.29]

Задачу о действии сосредоточенной импульсной силы на бесконечную пластину рассматривал в 1948 г. Я. С. Уфлянд [2.59]. В 1966 г. М. А. Dengler i[2.84] построил решение для бесконечной пластины, нагруженной сосредоточенной поперечной силой q = 6 r)6 t). Здесь 6 t)—б-функция Дирака. После применения преобразования Лапласа по г и t решения записываются в виде беконечных рядов по степеням координатного параметра преобразования. Из дифференциальных уравнений в этом случае следуют рекуррентные соотношения для определения неизвестных коэффициентов рядов. [c.154]

Преобразование Лапласа позволяет трансформировать дифференциальные уравнения в уравнения, с которыми можно далее работать как с простыми алгебраическими выражениями. Преобразование Лапласа некоторой функции от времениУ(/) определяется следующим образом [c.38]

Таким образом, с помощью преобразования Лапласа (1.11) дифференциальное уравнение в частных производных (1.10) удалось свести к обыкновеиному дифференциальному уравие-иню (1.14), удовлетворить которому можио, положив С=Ле [c.14]

Рассмотрим возможность описания тепловых процессов, протекающих в теплообменнике, дифференциальными уравнениями с осредненными по объему параметрами. В работах [33, 36, 47] приводится нелинейная система дифференциальных уравнений в частных производных для противотолного теплообменника с распределенными параметрами. После линеаризации уравнений и применения преобразования Лапласа по времени при нулевых начальных условиях получены трансцендентные передаточные функции для температур, теплоносителя и хладагента в выходных сечениях каналов. Трансцендентные передаточные функции аппроксимируются дробно-рациональными, которые можно принять за опорные . Указанные опорные передаточные функции достаточно сложны для непосредственного использования. [c.150]

Аналогично можно записать системы дифференциальных уравнений, определяющих передаточные функции Wu p), Wi2 p) и W2i(p), Wiiip). Однако в случае стационарных объектов гораздо более простым является способ определения передаточных функций, использующий соотношения (2.2.88). Применяя к уравнениям (3.1.48), (3.1.49) преобразование Лапласа и используя нулевые начальные условия, получаем систему алгебраических уравнений для изображений й р), й.2 р), Vi(p), 5г(р) входных и выходных функций [c.95]

Будем рассматривать вектор-функцию Г (р) как определяемую согласно (6.70), причем она удовлетворяет формально всем требованиям осуществимости преобразования Лапласа согласно (6.58) и обращения согласно (6.61). Действительно, вектор-функция Г (р) аналитична в полуплоскости (6.72), причем достаточные условия (теорема VII, п. 6.3) выполняются. Таким образом, обращение вектор-функции Г (р), являющееся изображением решения векторноматричного дифференциального уравнения (6.35) при нулевых начальных данных, может быть получено по формуле [c.183]

Проблемы, связанные с вращением деталей машин, с которы-ии ранее сталкивались на практике лишь отдельные лица, стали задачами ежедневной действительности. Много задач было решено, однако много еще остается решить. Практически невозможно написать книгу о динамике машин, которая дала бы читателю представление обо всем том, что содержится в данной области. Поэтому я решился изложить динамику машин в нескольких статьях, имея в виду познакомить читателя в первую очередь с новейшими методами расчета, которые, конечно, молено применить и для решения специальных задач, не приведенных в книге. Я стремился приблизить описываемые методы к уровню знания инженеров. Поэтому я остановился на тех методах, включая собственные методы, которые могут найти применение у широкого круга инженеров, занятых в области динамики машин методы при этом не являются слишком слолсными и затруднительными в математическом отношении. Я рассчитывал только лишь на знание основной теории дифференциальных уравнений, преобразования Лапласа, основ алгебры,—другими словами, тех методов математического анализа, которые в настоящее время в работах этого вида обычно применяются. Многочисленные ссыл- [c.5]

В первой и второй главах настоящей кнпги с достаточной подробностью изложены общие вопросы гидравлики одно- и двухфазной жидкости, без знания которых затруднено понимание дальнейшего изложения. В третьей главе даны основные уравнения гидродинамики теп-носителя в трубах панелей парогенераторов. Уделено большое внимание методам аналитического решения этих задач. Показаны преимущества интегрального преобразования Лапласа для решения дифференциальных уравнений. [c.11]

Одним из наиболее эффективных методов решения линейных дифференциальных уравнений как обыкновенных, так и особенно в частных производных, является метод интегральных преобразований. Преобразование Лапласа более всего подходит к решению нестационарных задач теплогидродинамики. [c.86]

Так же как и в предыдущей задаче, переход от определяемых функций 6г к их изображениям осуществляется путем следующих последовательных И нтеграль1ных (Преобразований двойного интегрального преобразования Фурье по переменным у и г, синусчпреобразования по переменной X и преобразования Лапласа по времени т. В результате применения этих преобразований к системе (8-1-1) — (8-1-2) и краевым условиям (8-1-3) и (8-1-17) мы найдем решение системы дифференциальных уравнений теплю- ц массопереноса в изображениях. [c.355]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...