Определитель графа

Анализ свободных колебаний систем с конечным числом степеней свободы приводит, как известно, к приравниванию нулю частотного определителя, после развертывания которого образуется частотное уравнение, степень которого соответствует числу степеней свободы рассматриваемой системы. При большом числе степеней свободы развертывание определителя в общем (буквенном) виде связано с серьезными вычислительными трудностями. С другой стороны, известно [6], что характеристический полином системы, как и определитель графа, равен сумме величин деревьев графа [c.59]

Такое соответствие между факторами графа и чле-нами определителя его матрицы смежностей неслучайно. Можно доказать, что и в общем случае определитель матрицы смежностей (определитель графа) равен [c.103]

Очевидно, значение определителя А, стоящего в знаменателе (3.13), совпадает со значением определителя графа, матрицей смежностей которого является а[1 3, 1 3] (см. рис. 3.2, а). Ясно также, что граф, соответствующий определителю Д], отличается от графа на рис. 3.2, а только тем, что дуги, идущие в вершину /, вместо весов ац, ai2, <213 имеют веса bi, 62. Ьз-Однако такой подход нельзя признать рациональным. Дело в том, что он требует для решения системы уравнений построения двух графов одного — для определителя, стоящего в числителе, а другого — для определителя в знаменателе. Оказывается, можно построить единый направленный граф системы уравнений, по которому в результате выделения путей и факторов и находится решение системы. [c.106]

Находим определитель графа Г —шь Существует только один фактор, состоящий из петли [(04, 04] и контура [о)2, шз, 2]. поэтому det(r —(Di) = (—1)2йй(/= = bdf. Для отыскания числителя формулы (3.17) выделяем все пути от (Bi к (й2 и соз, имеющие в качестве дополнения непустой фактор [(Оь <02], [соь (04, (О2], [c.114]

Находим определители графов [c.138]

Таким образом, для того чтобы найти факторы графа скоростей Ги, необходимо построить структурное число графа Гщ —юе, у которого удалена вершина 0, раскрыть его и выписать соответствующие подстановки. Цикловые структуры этих подстановок определят соответствующие факторы графа. После этого нетрудно найти определитель графа, стоящий в знаменателе выражения (3.17). [c.150]

Объединение множеств — 10 Определитель графа — 103 Отображение — 10 [c.214]

Определитель графа потока сигналов может быть записан следующим образом [c.383]

Вычисляем определитель графа [c.384]

Для проверки правильности составления структурного числа А вычислим число деревьев графа, равное определителю некоторой матрицы [9] [c.58]

Иначе говоря, число различных деревьев графа равно определителю матрицы, в которой на пересечении г-й строки и г-го столбца указывается число ребер, инцидентных вершине, а на пересечении г-й строки и /-Г0 столбца — взятое со знаком минус число ребер между вершинами i и /. При составлении указанной матрицы рассматриваются все вершины графа, кроме вершины — корня дерева. [c.58]

Использование направленных графов при решении линейных уравнений основано на тесной связи между структурой графа и структурой определителя его матрицы смежностей [2, 3]. [c.101]

Отметим важное соответствие между членами определителя в выражении (3.10) и всеми возможными факторами графа, изображенными на рис. 3.2,6 — ж. Оказывается й-й член определителя в точности равен весу k-ro фактора графа. При этом выполняется равенство [c.102]

Таким образом, формулы (3.9) и (3.11) обозначают одно и то же число, только (3.9) записана через матричные элементы, а (3.11)—через элементы соответствующего графа. Однако между этими формулами есть и существенная с точки зрения организации вычислений разница. Формула (3.9) согласно определению определителя содержит zl слагаемых. Если среди элементов матрицы некоторые а,-,- принимают нулевое значение, то в (3.9) существуют слагаемые, равные нулю. Тем не менее при расчетах по формуле (3.9) с помощью ЭВМ машина будет оперировать с нулями в точности так же, как с ненулевыми элементами. В отличие от (3.9), в формуле (3.11) суммирование ведется по всем имеющимся факторам графа. И если какой-то член определителя равен нулю, то соответствующий фактор графа просто отсутствует. [c.104]

Для примера вернемся к графу, изображенному на рис. 3.1, а. Так как z = 4, то определитель его матрицы смежностей содержит 4 = 24 члена. Однако из них только два ненулевых, которые соответствуют факторам, представленным на рис. 3.1,6, в, поэтому определитель этого графа равен [c.104]

Эффективность использования формулы (3.11) тем выше, чем больше нулей содержит матрица. Это утверждение справедливо при одном условии если задача выделения факторов из графа решается проще, чем непосредственное отбрасывание нулевых членов определителя в формуле (3.9) другими способами. Применительно к ЭВМ этот вопрос рассматривается в гл. 4, сейчас же покажем, что даже при ручном подсчете больших определителей использование формулы (3.11) при некотором навыке может дать большую экономию времени, несмотря на то, что человек способен при пользовании выражением (3.9) сразу отбрасывать целые совокупности нулевых членов определителя. [c.104]

Определитель системы уравнений совпадает с определителем матрицы смежностей А графа на 110 [c.110]

Теперь найдем это же самое отношение из графа Г с помощью формул (3.19) и (3.20). Из рис. 3.9, в видно, что граф Г не имеет ни одного контура, поэтому, согласно формуле (3.19) его определитель равен единице, и есть только один путь от (04 з- б]- Отсюда [c.123]

Теперь получим тот же результат из графа Г (рис. 3.10, в) не содержащего контуров, с определителем, равным единице Выделяем все возможные пути из 0)4 к a>s. Их три [со , M , соз, [c.124]

Таким образом, если определитель системы уравнений (3.24) и (3.25) не равен нулю, то она имеет единственное решение, которое, в частности, может быть найдено с помощью направленных графов. Внутрен-. ние моменты на других звеньях легко находятся по формулам [c.132]

Теперь проделаем то же самое с помощью графа Мэзона. Для этого выполним над структурным графом систему операций QJ . В результате получим граф, изображенный на рис. 3 13,6. Так как он не имеет контуров, то согласно (3.19) его определитель равен единице, поэтому [c.135]

Такие же результаты получим, если воспользуемся графом Мэзона (рис. 3.14,6). Он имеет два независимых (имеющих общие верщины) контура и поэтому его определитель равен [c.137]

Основные практические трудности, возникающие при реализации графовых моделей на вычислительных машинах, связаны с выявлением в графах путей и факторов, с помощью которых находятся отдельные члены определителей матрицы системы уравнений. Эту трудность можно обойти, воспользовавшись теоретико-множественным описанием графовых моделей и соответствующими им структурными числами [2. 3]. [c.145]

Таким образом, раскрытие произведения структурных чисел графа равносильно отысканию его факторов. Это становится очевидным, если вспомнить, что каждый фактор соответствует некоторому члену определителя системы уравнений, причем всякий член определителя является произведением элементов матрицы с различающимися между собой вторыми индексами. С другой стороны, при раскрытии структурного числа выписываются столбцы с различными номерами, которые тоже по существу являются вторыми индексами, но только ненулевых элементов той же матрицы. Отсюда ясно, что операция перемножения элементарных структурных чисел равносильна выделению систем различных представителей из семейства множеств, стоящих в структурном числе справа от вертикальной черты и разделенных между собой горизонтальными линиями. [c.149]

В этой таблице через X обозначен урожай пшеницы (ц/га) в разных хозяйствах района, а через у — себестоимость 1 пшеницы (руб.). Чтобы облегчить вычисление вспомогательны величин, значения независимой переменной X сокращены Н1 К—8, полученные результаты помещены во второй графе х табл. 126. Используя суммы из табл. 126, находим значения определителей системы О = 7-1,4784— (2,386) = 10,3488 — —5.6930=4,6558 Л=50,6-1,4784—21,80-2,3860 = 22,7922 Б = =7-21,80—50,6-2.3860=31,8684. Отсюда а=Л/ )=22,77/4,65= =4,895 й=В/ >=31,868/4,656=6,8445. Эмпирическое уравне ние гиперболы второго порядка оказывается следующим [c.284]

При удалении путей дз, L в графе остается тот же цикл и определители Ддз и равны АВ удалении пути в графе остаются оба цикла, следовательно, его опреде- [c.384]

Ю4, Юз, < i] 5) [Ю4, Ю2, Ю1]. Пусть <7 —вес 5-го пути, а rs — определитель графа, полученного из первоначального графа в результате удаления всех вершин, входящих в 5-й путь. Тогда сумма — ) + Zsqsrs по всем возможным путям от Ю4 к Ю1 оказывается в точности равна определителю (3.11), у которого вместо flu, й2, 31 стоят соответственно bi, Ь , Ьз, т. е. 108 [c.108]

В отлнчие от предыдущих примеров, здесь вместо переменной (Об, соответствующей верщине-источнику (шв =1), стоит переменная 0)4. В этом случае определитель графа Гщ—ив равен сумме весов двух факторов один из них состоит из пяти петель, а другой—из трех петель при вершинах oi, m2, Ws и контура [ша, 0)4, мз]. Их веса соответственно равны (—1) (—1) ( г) (13) (1) X X (-1) =-1Уз и ( 1) -1)(12)(-1)(-1)(-1) =/2. Далее, от вершины (Об к вершине (05 имеется только один путь [(OeOis] весом I l. Аналогично графу Гщ — (О граф Гщ— [(05(05] также имеет два [c.125]

Сначала найдем моменты с помощью графа Коутса. Для это го подсчитаем значение определителя графа [c.136]

В случае кривой поверхности параметризуется геометрическая часть определителя. На рис. 121 прямой круговой цилиндр задан параметрами положения в пространстве oxyz двух направляющих окружностей. Алгоритмическая часть определителя включает алгоритм построения образующей, параллельной oz и пересекающей направляющие окружности. На рис. 122 а и б) показаны параметрические графы цилиндра. На рис. 123 изображен соответствующий размерный граф. [c.190]

Таким образом, на всех стадиях определения скоростей и моментов используется один и тот же алгоритм, позволяющий легко автоматизировать весь процесс вычисления. Его основной недостаток состоит в том, как уже отмечалось выше, что он производит много лишних действий, связанных с умножением и сложением нулей при вычислении определителей ред-козаполненных матриц. Применение направленных графов и соответствующего математического аппарата [2, 21] дает возможность избавиться от этого недостатка и тем са.мым значительно сократить машинное время решения задачи. [c.98]

Преобразованный описанным способом двудольный граф для системы (3.14) изображен на рис. 3.4,6. Он отличается от графа определителя (ЗЛО) только наличием вершины 04 и выходящих из нее дуг (сравните с рис. 3.2, а). Полученный граф будем называть графом Коутса. Таким образом, если подсчитать по формуле (3.11) определитель матрицы смежностей полученного графа (без вершины Ю4, соответствующей столбцу свободных членов), то он как раз совпадает с определителем Д из формулы Крамера (3.13). [c.108]

Для подсчета определителя Д1 сделаем следующее. Найдем все возможные пути от вершины (й4 (эта вершина всегда является источником, так как она не объединяется ни с какой из М-вершин двудольного графа) к вершине мь В графе на рис. 3.4,6 их пять [c.108]

Найдем сначала значение 5/0)4 по графу Коутса. Как и в предыдущем примере, его определитель равен произведению весов пяти петель (—1) (—1) (—I) (г г) (1 — з) (—I) = 2(1 — з). Для подсчета числителя выражения соб/а)4 ищем пути из вершины 4 к 0)5. Их три [ 4, 2, 1, Ш5], [о)4, 0)з, 2, 1, б] И [ 4, з, 0)1, о)б]. Веса путей соответственно равны (—1)(1 —12) (1—-м) = [c.123]

Выписываем сначала определитель полученного графа Коутса det = (- ) (/,) (-1) (-1) (к) (1) (-l) =-ii/j. [c.135]

Структурные числа матриц, или матричные структурные числа, как и структурные числа графов, в конечном счете используются для подсчета определителей редкозаполненных матриц, т. е. матриц с большим числом нулевых элементов. [c.155]

Заметим, что несмотря на одинаковую запись структурных чисад матрицы и графа, переход от номеров структурных чисел к элементам определителей матрицы у них осуществляется по-разному. Если область определения отображения, порождаемого структурным числом матрицы, соответствует первым индексам элементов матрицы, а область значений — вторым индексам, то для структурного числа графа область определения — это множество вершин графа, откуда исходят дуги фактора (пути), а область значений — множе ство вершин, куда входят эти дуги. В связи с этим члены определителя в случае использования структурных чисел матриц записываются непосредственно по соответствующим отображениям, а при использовании структурных чисел графов получаемые отображения служат для определения путей и факторов графа. Члены определителя получаются уже как сумма весов дуг, входящих в эти пути и факторы. Имея это в виду, найдем те же выражения для отношений Xk/Xi не из графа Г, а непосредственно [c.161]

Допускается не наносить на чертеже номера позиций для составных частей, являю-цихся элементами электрической принципиальной схемы, записанных в специфика-1ИЮ изделия в разделах Стандартные изделия и Прочие изделия . Эти элементы определяют по позиционному обозначению, указанному на чертеже на изображении эле-1ента и в спецификации изделия в графе Примечание . Это допущение удобно ис-[ользовать на сборочном чертеже платы или панели, а также для проводов и кабелей, аписанных в спецификации изделия в разделе Материалы . Это допущение удобно, ели применяют провода и кабели одной марки. В остальных же случаях номер пози-,ии является определителем марки соответствующего провода или кабеля. [c.157]

Контур г-го порядка — совокупность г несоприкасаюшихся контуров первого порядка, у которых нет общих узлов. Контур первого порядка — обычный контур, определение которого дано в этом разделе. Величина называется алгебраическим дополнением для А -го прямого пути графа. Значение А равно определителю подграфа, который не соприкасается (не имеет общих узлов) с А -м прямым путем. [c.136]

Удаляя из графа найденные пути с принадлежащими им вершинами, находим цлклы в остающихся графах и вычисляем определители этих графов. Как вя яо, при удалении пути Г-АВ оставшемся графе имеется цикл (Ох, 5, О,, 4) с передачей 1,94, Опредетнтмь оставшегося графа [c.384]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...