Эйлера упругое

Формула Эйлера. Упругие (деформируемые) тела так же, как и твердые (недеформируемые) тела, могут находиться в устойчивом и неустойчивом равновесии. [c.233]

Рис. 22. Исследованные Эйлером упругие линии.

При X > Х р критическое напряжение вычисляется по формуле Эйлера (упругая область деформаций). [c.321]

Вывод формулы Эйлера основан на применении дифференциального уравнения упругой линии. Поэтому воспользоваться этой формулой можно лишь в том случае, если справедлив закон Гука, т. е. пока критическое напряжение (напряжение сжатия, соответствующее критической силе) не превышает предела пропорциональности [c.509]

Формулой Эйлера не всегда можно пользоваться. При ее выводе мы пользовались дифференциальным уравнением упругой линии, вывод которого основан на законе Гука. Закон же Гука, как известно, справедлив до тех пор, пока напряжения не превосходят предела пропорциональности. [c.269]

Выдающийся математик и механик Л. Эйлер (1707—1783), швейцарец по происхождению, тридцать лет жил и работал в России, профессор, а затем действительный член Петербургской Академии наук, автор 850 научных трудов, решил ряд задач по кинематике и динамике твердого тела, исследовал колебания и устойчивость упругих тел, занимался и вопросами практической механики, исследовал, в частности, различные профили зубьев зубчатых колес и пришел к выводу о том, что наиболее перспективный профиль — эвольвентный. [c.5]

Определяя значение критической силы, Эйлер исходил из рассмотрения упругой линии изогнутого стержня, поэтому фор.мула [c.254]

При потере устойчивости в упругой стадии работы материала критическая сила определяется по формуле Эйлера [c.81]

Они теряют устойчивость в упругой стадии и критическая сила для них определяется по формуле Эйлера. [c.82]

История науки знает различные определения понятия устойчивости. Одним из первых определений в духе первой элементарной концепции было определение, данное Л. Эйлером [5] в 1749 г. в связи с практически важным вопросом того времени — вопросом об устойчивости кораблей ...тела равновесное положение будет устойчиво, ежели оное тело будучи несколько наклонено, опять справится . В дальнейшем это понятие устойчивости для твердых тел было распространено на упругие тела равновесие упругой системы считается устойчивым в смысле Эйлера при заданных внешних силах, если после статического приложения и последующего снятия малой возмущающей силы система возвращается к своему исходному состоянию. В противном случае система считается неустойчивой. [c.318]

Уравнение движения ( динамики, упругой кривой, математической физики, параболического типа, эллиптического типа, гиперболического типа, смешанного типа, линии действия, теплопроводности Эйлера, Пуассона...). Уравнения движения в векторной форме ( с одним неизвестным...). Уравнения Гамильтона ( Лагранжа...). [c.93]

Формула Эйлера справедлива лишь при условии, что потеря устойчивости происходит в стадии упругих деформаций стержня, т. е. в пределах действия закона Гука. [c.314]

Метод решения очень важной задачи о движении несвободной материальной системы с помощью уравнений статики был предложен в 1716 г. Я. Германом (впоследствии академиком Российской Академии наук) и в 1737 г. обобщен Л. Эйлером. Позднее этот метод получил развитие в трудах французского ученого Даламбера (1717—1783). Нельзя не упомянуть также имени французского ученого Лагранжа (1736—1813), проделавшего большую работу по математическому обоснованию законов механики. Выводы Лагранжа были уточнены и дополнены русским математиком и механиком, академиком М. В. Остроградским (1801—1861). Им же разработана общая теория удара, решен ряд важнейших задач из области гидростатики, гидродинамики, теории упругости и др. [c.5]

Если в эту формулу подставить выраженные в виде линейных комбинаций компонент то упругая энергия будет представлена как квадратичная функция величин Снова применяя теорему Эйлера, будем иметь [c.24]

Малые отклонения от состояния равновесия всегда неизбежны, и поэтому в реальных условиях тело не может находиться в состоянии неустойчивого равновесия. Вопрос об устойчивости упругого равновесия впервые исследовал Эйлер. Так как исследование этого вопроса представляет собой сложную задачу, мы ограничимся только качественными соображениями, применив их к простейшему конкретному примеру. [c.480]

Анализируя формулу Эйлера (12.3), видим, что на величину критической силы из сех механических характеристик материала влияет лишь модуль продольной упругости. Поскольку модуль продольной упругости для всех марок сталей практически одинаков, для повышения запаса устойчивости использование высокопрочных дорогих сталей нецелесообразно. [c.341]

Остальное совершенно очевидно. Для пластически деформируемого стержня можно пользоваться выражением критической силы по Эйлеру, но вместо обычного модуля упругости следует брать приведенный модуль Ядр- Конечно, полученное выражение верно только для стержня с прямоугольным поперечным сечением. Для других форм сечений приведенный модуль имеет более сложную структуру. [c.155]

Поскольку, однако, номере приближения к пределу текучести меняется модуль упругости, формулой Эйлера пользоваться надо с большой осмотрительностью. Логично поэтому между ограничивающей прямой и кривой провести некоторую переходную линию и рассматривать ее как предельную, по отношению к которой и назначать коэффициент запаса. В строительных нормах при расчетах так и поступают. Все три участка — А В, ВС и D — рассматриваются как единая граница для напряжений сжатия и коэффициент запаса назначается единым для каждой из полученных ординат или переменным по отношению к пределу текучести в зависимости от гибкости стержня. [c.158]

Теорией изгиба балок занимались такие крупные ученые, как Мариотт, Яков и Иоганн Бернулли, Лейбниц, Эйлер, Лагранж и др. В разных странах создавались научные общества, которые впоследствии оформлялись в Академии наук. Организация их, издание научных трудов оказали большое влияние на развитие науки. В становлении науки о сопротивлении материалов и теории упругости заметную роль сыграло образование во Франции в 1795 г. Политехнической школы, созданной в духе прогрессивных веяний, связанных с Французской революцией. Инженерное образование в ней было поставлено на высоком уровне особую роль играли вопросы математики и механики. Первый систематический курс по сопротивлению материалов был выпущен профессором этой школы Навье в 1826 г. [c.6]

Пятнадцать уравнений теории упругости (2.40) и условия на поверхности тела (2.10) являются уравнениями Эйлера этого функционала и их граничными условиями. [c.69]

Формула Эйлера справедлива, если стержень теряет устойчивость в стадии упругих деформаций, т. е. при а р = Рцц/Р < Оцц. В данном случае [c.258]

Если тело линейно-упругое, то согласно (4.6) величины — линейны и однородны относительно компонентов тензора деформаций ekr. Поэтому А будет однородным многочленом второй степени относительно ekr- Следовательно, по теореме Эйлера об однородных [c.64]

Критическая сила для сжатого упругого стержня (рис. 18) определяется по формуле Эйлера. Для вывода формулы Эйлера (схема 30) воспользуемся дифференциальным уравнением изогнутой оси балки [c.17]

Критическая сила — сила, при которой прямолинейная форма перестает быть устойчивой формой равновесия сжатого стержня. В пределах упругих деформаций она определяется по формуле Эйлера [c.179]

Функциональная зависимость (19.32) представляет собой видоизменение формулы Эйлера. В системе координат Сткр — эта зависимость может быть представлена гиперболической кривой, называемой гиперболой Эйлера. В качестве примера приведем такой график (рис. 507) для стержня из стали марки СтЗ, для которой модуль упругости = 2,1 10 кгс/см , предел текучести = 2400 кгс/см [c.510]

Однако явление продольного изгиба продолжает существовать и за пределом упругости. Опытным путем установлено, что действительные критические напряжения для стержней средней и малой гибкости (Я < Кред) ниже значений, определенных по формуле Эйлера. Таким образом, в этом случае формула Эйлера дает завышенные значения критической силы, т. е. всегда переоценивает действительную устойчивость стержня. Поэтому использование формулы Эйлера для стержней, теряющих устойчивость за пределом упругости, не только [c.511]

Это означает, что стержень работает в пределах упругих деформаций и здесь критическое состояние определяется по Эйлеру. Геиерь выражениями (14.22) и (14.28) охватывается вся область реально встречающихся значений гибкости А, начиная от нуля. [c.433]

За 30 лет работы в Российской Академии иаук Эйлер создал боль-пюе количество работ по математике, механике твердого и упругого тела, гидромеханике и небесной механике. [c.5]

Леонард Эйлер (1707—1783), по происхождению швейцарец, в двадцатилетием возрасте переехал в Россию и стал академиком Санкт-Петербургской академии наук. По вопросам механики, математики, астрономии, теории упругости он написал около 800 научных работ, в которых разработал многие научные проблемы. [c.15]

Модуль продольной упругости введен Л. Эйлером (1707—1783) в 1727 г. н его следовало бы называть модулем Эйлера. В учебной и научной лнтеоа-туре модуль Е часто несправедливо называют модулем Юнга (1773—1829), хотя последний никогда его не вводил. [c.34]

Теория устойчивости упругих систем была заложена трудами Л. Эйлера в XVHI в. В течение долгого времени она не находила себе практического применения. Только с широким использованием во второй половине XIX в. в инженерных конструкциях металла вопросы устойчивости гибких стержней и других тонкостенных элементов приобрели практическое значение. Основы устойчивости упругих стержней излагаются в курсе сопротивления материалов. Поэтому в настоящей главе рассматривается только теория устойчивости упругих пластин и оболочек как в линейной, так и нелинейной постановке. Интересующихся более глубоко вопросами устойчивости стержней мы отсылаем к книгам [5, 6, 7]. Критический подход к самому понятию упругой устойчивости в середине XX в. явился наиболее важным моментом в развитии теории устойчивости и позволил к настоящему времени сформировать единую концепцию устойчивости упругопластических систем, описанную в 15.1 настоящей главы. [c.317]

Рассмотрим сжатые оболочки или пластины, находящиеся в плоском безмоментном напряженном состоянии. Для исследования возможной бифуркации состояния равновесия или квазистатиче-ского процесса нагружения воспользуемся методом Эйлера. Приложим статически к оболочке или пластине малую поперечную возмущающую распределенную нагрузку интенсивностью tq, которую затем статически же снимем. Допустим, что оболочка либо пластина не вернулась в исходное состояние, а перешла в смежное сколь угодно близкое моментное состояние и на ее поверхности появились локальные выпучины. Каждую такую выпучину с достаточной для практики степенью точности можно рассматривать как пологую оболочку и воспользоваться изложенной в 10.11 теорией упругих пологих оболочек. При переходе оболочки в смежное состояние точки срединной поверхности получат дополнительную деформацию бе,7, прогиб —6mi = y, а усилия и моменты — приращения 6Nij, bMij. На основании уравнений (10.111), (10.126) получим [c.324]

Поведение стержня, подверженного воздействию продоль-ных сжимающих сил, иредставляет простейший пример важного явления упругой неустойчивости, впервые обнаруженного Л. Эйлером. [c.119]

Наибольшего развития волновые представления о свете в XVIII веке достигли у Эйлера. Согласно Эйлеру свет представляет собой колебания эфира, подобно тому как звук есть колебания воздуха, причем различным его цветам соответствуют колебания различной частоты. Сравнение скорости света со скоростью звука позволило Эйлеру утверждать, что эфир есть субстанция, значительно более тонкая и упругая, чем обыкновенный воздух . Эйлер, подобно Ломоносову, высказывает мысль, что источником всех электрических явлений служит тот же светоносный эфир. Согласно Эйлеру электричество есть не что иное, как нарушение равновесия эфира тела, в которых плотность эфира становится больше, чем в телах окружающих, оказываются наэлектризованными положительно отрицательная электризация связана с уменьшением плотности эфира. Эйлер не распространял свою теорию на магнитные явления, поскольку электрическая природа магнетизма не была еще известна. Эти соображения были развиты Эйлером в его знаменитых Письмах к немецкой принцессе , написанных в 1760— 1761 гг. и изданных в Петербурге (1768—1772 гг.) во время второго пребывания Эйлера в России, куда он прибыл уже после смерти Ломоносова, с которым он состоял в постоянной дружеской научной переписке. Поэтому не исключено, что указанные представления сложились у Эйлера под влиянием идей Ломоносова. [c.23]

Эфир Френеля — Юнга (начало XIX века), в отличие от эфира Ломоносова — Эйлера, был связан с истолкованием только оптических явлений. Несколько позже Фарадей для истолкования электрических и магнитных взаимодействий ввел также понятие гипотетической вещественной среды, состояние которой (упругие натяжения) должно было объяснить наблюдаемые на опыте эф4)екты взаимодействия между зарядами и между токами. Идеи Л аксвелла об электромагнитной природе света позволили объединить светоносный и электромагнитный эфир, сделав его носителем всех электромагнитных явлений. Возникновение электромагнитного поля, равно как и распространение его, представлялось как изменение состояния эфира, могущее распространяться от точки к точке с определенной скоростью. [c.23]

ОППОНЕНТ. Насколько мне известно, Ломоносов полагал, что свечение возникает в упругом эфире в результате быстрых колебаний частиц эфира, обусловленных резкими встряхиваниями трубки с ртутью. Хорватский -ченый XVHI в. Бошкович разработал модель люминесценции, согласно которой световые корпускулы сначала захватывались силовым полем молекул вещества, а затем за счет внутренних движений вещества выталкивались из молекулярного поля и тем самым снова излучались. Теорию люминесценции разрабатывал также Л. Эйлер. Он полагал, что люминесценция возникает в системе в результате ее собственных колебаний, которые происходят под действием каких-либо внешних вынуждающих колебаний при этом частота вынуждающих колебаний может быть иной, чем частота собственных колебаний. Были и дру- [c.12]

Большой вклад в развитие механической модели эфира внес современник Ломоносова Л. Эйлер. В своем труде Новая теория света и цветов (1746) он дал математическое описание распространения воли в упругой среде. Световые волны, по Эйлеру,— это продольные волны он представлял их в виде чередующихся сжатий и разрежений, бегущих по эфиру в пределах области пространства, занимаемой расходящимся световым пучком (см. рис. 1.5, взятый из книги Эйлера). Длина световых волн различна для лучей разного цвета у красных лу-чей она больше, у фиолето- [c.27]

Формула Эйлера была вьтедена на основании закона Гука, т. е. предполагалось, что стержень работает в пределах упругих деформаций. Отсюда следует, что формулой Эйлера можно пользоваться только в то.м случае, когда критические напряжения не превышают предела пропорциональности. [c.341]

Представим себе, что мы нагружаем стержень осевой сжимающей силой. Напряжение растет. При некотором сжимающем напряжении сообщаем стержню малые из-гибные возмущения, а затем следим за его поведением. Если стержень восстанавливает самостоятельно свою прямолинейную форму, мы считаем, что она устойчива. Не восстанавливает — неустойчива. И вот возникает вопрос. Если мы, сообщая стержню малые возмущения, изгибаем его, то по какому модулю упругости следует определять жесткость стержня на изгиб по среднему или по местному Очевидно, — по местному, соответствующему заданному сжимающему напряжению. Значит, в формуле Эйлера под Е следует понимать параметр, который сам в некоторой мере зависит от сжимающего напряжения. [c.151]

Если бы ход диаграммы испытания материала вблизи предела пропорциональности был бы нам заранее известен, то конечно проще всего было бы ввести в формулу Эйлера поправку, воспользовавшись законом изменения местного модуля упругости. Но беда в том, что этот довольно тонкий переход от закона Гука к криволинейному участку диаграммы трудно поддается экспериментальному исследованию, да к тому же и нестабилен. Дело усложняется тем, что по мере приближения к пределу пропорциональности, сначала исподволь, а затем и весьма интенсивно, в сжатом стержне начинают накапливаться пластические деформации. А при возникновении пластических деформаций сама постановка задачи устойчивойти претерпевает качественные изменения. [c.152]

Критерии устойчивости, или принципы оценки устойчивости, могут меняться в зависимости от обстоятельств. Поэтому часто, чтобы отвлечься хотя бы терминологически от расчетной схемы, употребляют термин сила выпучивания. Это — сила, при которой возникают заметные отклонения от исходного состояния равновесия. Критическая же сила — это понятие, свойственное избранной расчетной схеме идеального стержня. Даже при чисто упругих деформациях сила выпучивания и критическая-сила — не одно и то же. Ведь в расчете по Эйлеру было принято, что стержень идеален, однороден и не имеет начальной погиби. А в реальных условиях этого нет, сколь бы точно не изготовлялся стержень. Поэтому при испытаниях сжатого стержня фактически измеряется не критическая сила, а сила выпучивания, которая лишь близка по своему значению к критической. [c.157]

Таким образом, вариационное уравнение 65 = О, в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала Э. При этом если последний будет выражен только через три фукнции перемещений Э = Э (и, v, w), то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.44), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения 65 = О частных производных функций би, 8v, би потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям — переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем. [c.57]

Решение. Определяем Ркр методом Эйлера. Находим такое значение силы Р, при котором наряду с исходной прямолинейной формой существует смежная риволинейная форма равновесия стержня (рис. 6). Упругий стержень представляет собой систему с бесконечно большим числом степеней свободы. Уравнение равновесия стержня в смежном состоянии будет дифференциальным уравнением изгиба [c.256]

Гидромеханика (гидравлика) как наука сформировалась в XVIII веке в Российской академии наук работами Д. Бернулли (1700—1782), Л. Эйлера (1707—1783) и М. В. Ломоносова (1711 — 1765). М. В. Ломоносов открыл закон сохранения вещества в движении, который является физической основой уравнений движения жидкости. В своих работах О вольном движении воздуха, в рудниках примеченном , Попытка теории упругой силы воздуха , а также разработкой и изготовлением приборов для измерения скорости и направления ветра М. В. Ломоносов заложил основы гидравлики как прикладной науки. Л. Эйлер составил известные дифференциальные уравнения относительного равновесия и движения жидкости (уравнения Эйлера), а также предложил способы описания движения жидкости. Д. Бернулли получил уравнение запаса удельной энергии в невязкой жидкости при установившемся движении (уравнение Бернулли), являющееся основным в гидравлике. [c.4]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...