Уравнение упругости в напряжения

Шесть уравнений (6.31) называются уравнениями совместности Бельтрами—Мичелла. Решение задач этого типа (постановка задачи теории упругости в напряжениях) состоит в определении напряжений aij, которые удовлетворяют уравнениям равновесия [c.118]

При решении плоской задачи теории упругости в напряжениях основные уравнения имеют вид [c.134]

Данное поле не удовлетворяет дифференциальным уравнениям задачи теории упругости в напряжениях. Нетрудно убедиться в том, что, заменив в (2.148) компонент ст/ , по формуле [c.70]

Помимо двух основных рассмотренных методов решения задач теории упругости в напряжениях и в перемещениях часто используется смешанная форма решения, когда разрешающие уравнения составляются частично относительно перемещений, а частично относительно напряжений. Такой прием рассмотрим ниже в задаче расчета оболочек (см. гл. 7). [c.46]

В анизотропных телах положение осложняется в тех случаях, когда анизотропия криволинейна. Например, цилиндр, изготовленный из стеклопластика или углепластика путем намотки, ортотропен, но упругие свойства его обладают цилиндрической симметрией, в цилиндрических координатах модули упругости и коэффициенты температурного расширения постоянны. Но при переходе к декартовым координатам тензоры Ei и а будут уже не постоянными, а функциями координат Ха, поэтому даже равномерное температурное ноле вызовет напряжения. Эта задача легко решается методом, совершенно подобным тому, который был применен в 8.12 для трубы из изотропного материала. Присваивая радиальному направлению индекс единицы, мы запишем уравнение упругости в форме (10.6.4). Теперь уравнение для функции напряжений оказывается следующим [c.385]

В перемещениях, уравнения упругости в цилиндрических координатах [77, уравнения (3.3б ) и (3.26)], можно написать дифференциальные уравнения дискретного метода и уравнения напряжений для ребра т в конечно-разностной форме по переменным лир и в аналитической по переменной г. Эти уравнения приводим для осесимметричной задачи (полные уравнения даны в работе [Ю]). Уравнения равновесия [c.263]

Если пренебречь объемными силами, то дифференциальные уравнения равновесия (4.1) при подстановке в них напряжений (в) обращаются в тождества. Точно так же тождественно удовлетворяются уравнения сплошности в напряжениях (4.12), так как в них входят вторые производные от напряжений по координатам, а в этой задаче напряжения являются линейными функциями или постоянны. Выполняются условия сплошности и на границе между упругой и пластической зонами, так как при х = получаем аг" = о" ". [c.273]

Уравнения (3.2) заменяют уравнения совместности деформаций Сен-Венана. Решение задачи теории упругости в напряжениях сводится, таким образом, к интегрированию системы девяти уравнений — шести уравнений Бельтрами — Митчелла и трех уравнений равновесия Навье (1.16). Найденные функции напряжений должны удовлетворять систе- [c.55]

Теперь обсудим решение краевой задачи теории упругости неоднородных тел, которое приводит к определению эффективных модулей материала. Рассматриваемое тело представляет собой прямоугольную призму (см. рис. , а). Основные уравнения для компонент тензоров напряжений и деформаций — это уравнения (1), в которых коэффициенты жесткости удовлетворяют условиям (2), а также обычные уравнения равновесия в напряжениях и уравнения совместности деформаций теории упругости однородных изотропных тел. Последние соотношения здесь не приводятся, поскольку их можно найти в любом курсе теории упругости. Достаточно указать, что переменные поля (напряжений), имеющие вид [c.42]

Решение плоской задачи теории упругости в напряжениях. Для того чтобы иметь возможность решать задачу теории упругости в напряжениях, необходимо через них выразить условие совместности деформаций, после этого, присоединяя его к двум дифференциальным уравнениям равновесия (9.88), получим раз-решаюш,ую систему уравнений. [c.662]

Итак, для решения плоской задачи теории упругости в напряжениях имеем систему уравнений [c.663]

Таким образом, решение плоской задачи теории упругости в напряжениях сводится к интегрированию системы трех дифференциальных уравнений двух уравнений равновесия (17.10) и уравнения неразрывности деформаций (17.19) при выполнении статических граничных условий (17.12) на поверхности тела. [c.350]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА [c.39]

Уравнения дифференциальные в линейной теории упругости в напряжениях для изотропного тела 39, 40 [c.614]

Заметим далее, что первые два уравнения (2.147) идентичны по виду уравнениям плоской задачи теории упругости в напряжениях. 0 позволит ввести функцию напряжения, связанную с усилиями формулами [c.130]

Статическая (квазистатическая) задача теории упругости в напряжениях (задача Б) заключается в рещении щести обобщенных уравнений совместности (2.28) или (2.26) (куда следует подставить выражение деформаций через напряжения по формуле (3.2)) относительно щести независимых компонент симметричного тензора напряжений а при удовлетворении граничным условиям (2.27). [c.21]

Для плоской задачи теории упругости в напряжениях более удобной является формулировка задачи В. Она заключается в решении уравнения совместности [c.22]

На соотношение (3.54) можно смотреть как на связь между напряжениями и деформациями в моментной теории упругости однородных сред. Задача теории упругости в напряжениях для средних величин сводится к решению уравнений [c.113]

Плоская задача теории упругости в напряжениях заключается в решении двух уравнений равновесия (1.3.32) [c.139]

Как следует из 8 гл. 1, можно дать и другую постановку задачи теории упругости в напряжениях. Для изотропной среды нужно решить шесть уравнений относительно шести независимых компонент тензора напряжений [c.79]

В подтверждение этого соображения заметим, что уравнения (12) можно вывести с помощью методов вариационного исчисления. Их можно получить как условия того, что Ы/ — вариация полной упругой энергии деформации, и—должна обращаться в нуль для всех варьированных компонентов напряжения, удовлетворяющих уравнениям равновесия в напряжениях ). [c.395]

Ось направим по прямой, параллельной образующим цилиндра. Заметим, что компонентами напряжения, которые могут давать изгибающий или крутящий моменты или перерезывающую силу, являются X g, Уг и Zg. Компоненты Xjf, Yy, Ху не оказывают влияния на эти усилия и приводят к увеличению упругой энергии. Отсюда, согласно принципу минимума упругой энергии, мы можем заключить, что эти компоненты напряжения равны нулю, если только они не необходимы для удовлетворения уравнений равновесия в напряжениях или граничных условий ). [c.419]

Метод переменных параметров упругости основан на представлении зависимостей для упруго-пластического тела в форме уравнений упругости, в которых параметры упругости зависят от напряженного состояния и поэтому переменны в различных точках тела. [c.537]

Постановка задач теории упругости в напряжениях (уравнения Бельтрами-Мичелла). .......................58 [c.3]

Постановка задач теории упругости в напряжениях (уравнения Бельтрами-Мичелла) [c.58]

Можно писать уравнения теории упругости в напряжениях или в смещениях. [c.240]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ 55 [c.55]

Соотношения (11.1) — (П-З) представляют полную систему уравнений теории упругости в напряжениях. Они выражают, что из всех статически возможных напряжённых состояний фактически в упругом теле реализуется такое состояние, которому соответствуют деформации, удовлетворяющие условиям сплошности. Отметим, что при задании внешних поверхностных сил по всей границе тела для разыскания напряжений нет необходимости использовать какие-либо иные соотношения теории упругости, кроме (11.1) — (11.3). По найденным напряжениям определяются деформации, а по последним, поскольку условия сплошности соблюдены, могут быть с помощью формул (4.16) определены перемещения. [c.55]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ 57 откуда следует, что [c.57]

Эти рассуждения можно обобщить на (N + 1)-связную область. Такая область N разрезами В (а = 1, 2,. .., iV) может быть сведена к односвязной области. При решении задач термо-упругости в напряжениях пользуются следующими уравнениями [c.490]

Решение задачи теории упругости в напряжениях требует совместного решения двух систем дифференциальных уравнений уравнений равновесия (I) и уравнений совместности деформаций Бельтрами— Мичелла (VII). Ограничимся случаем отсутствия объемных сил тогда все эти уравнения будут однородными. В этом параграфе мы покажем, что система уравнений равновесия [c.243]

Уравнения теории упругости в напряжениях [c.27]

УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ [c.27]

Уравнения теории упругости в напряжениях. Часто, однако, бывает удобно иметь дело с уравнениями, содержащими только составляющие напряжения. В этом случае неизвестными будут шесть функций [c.120]

ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ [c.122]

Для линейной вязко-упругости уравнения состояния имеют вид (0,9),. причем G и ц — есть некоторые линейные интегральные операторы. Уравнения совместности в напряжениях [c.489]

Уравнения совместности в напряжениях в остальных системах координат (см. А. И. Лурье. Пространственные задачи теории упругости, М., Гостехиздат, 1953). [c.489]

Таким образом, для решения задачи теории упругости в напряжениях необходи.мо проинтегрировать девять уравнений (4.1) и (4.12). Наличие трех лишних уравнений необходимо для получения однозначного решения и обсуждалось при выводе уравнений сплошности (2.10), следствием которых являются уравнения Бельтрами—Митчела. [c.47]

На базе уравнений задачи в напряжениях, сведенных к уравнению совместности в виде (19.11), развиты мощные аналитические методы решения плоских задач теории упругости с использованием функций комплексного переменного. Однако эти методы выходят за пределы данного круга и здесь не излагаются. Получение аналитических решений в замкнутом виде для более или менее сложных областей и видов нагрузок представляет большие трудности. Для сравнительно простых случаев решение может быть построено путем подбора функций Ф, заведомо удовлетворяющих уравнению совместности (19.11). Последующая р омбинация этих частных решений может дать с заданным уровнем приближения решение поставленной задачи. Такая задача рассмотрена в 19.4. Эффективные методы решения плоских задач теории упругости дают метод конечных разностей и метод конечных элементов, которые рассмотрены в последующих параграфах. [c.444]

ДИФФЕРЕВДИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ 39 [c.39]

Следовательно, решение краевой задачи теории упругости в напряжениях, в случае обобщенного плоского напряженного состояния, упрощается и стодится к решению уравнения (10.30) с учетом граничных условий, заданных на контуре тела [c.201]

Победря [38] предложил новую постановку задачи теории упругости в напряжениях, которая лучихе приспособлена для использования численных методов. В ней для отыскания пхести независимых компонентов тензора напряжепий регцается шесть обобгценных уравнений совместности. При этом граничных условий для них оказывается тоже шесть к трем условиям для напряжений (3.5) добавляются три уравнения равновесия (3.1), снесенные на границу области 9. [c.60]

Внимание к задаче построения обпцих решений было привлечено опубликованной в 1930 г. статьей Б. Г. Галеркина. Было показано, что уравнениям теории упругости в напряжениях (Г — тензор напряжений, а — его первый инвариант) [c.6]

М. Гуртин и Е. Штернберг [2041 установили для теории ползучести изотропных тел аналоги уравнений равновесия в перемещениях (уравнений Ляме), уравнений сплошности в напряжениях (уравнений Бельтрами—Мичелла), теоремы взаимности работ (теоремы Бетти), а также аналоги общего решения однородных уравнений в форме Б. Г. Галеркина и П. Ф. Папковича. Аналог уравнений Бельтрами—Мичелла использовался раньше также Н. X. Арутюняном [7]. Упомянутые выше уравнения, как отмечено в [238], могут быть формально получены из соответствующих уравнений теории упругости с помощью принципа 20 [c.20]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...