Матрица линейного оператора

Здесь Eij li — матрица линейных операторов Вольтерра, соответствующая матрице модулей упругости в обычной теории. [c.131]

В случае, когда G — группа матриц (линейных операторов), генератор ah получается из а преобразованием подобия [c.249]

Матрица = , г, / = 1, к, является матрицей линейного оператора а<1 и, действующего из линейного пространства 93 в себя. [c.146]

Линейный оператор, обладающий ортогональной матрицей в каком-либо ортонормированном базисе пространства называется ортогональным линейным оператором. [c.18]

Теорема 1.1.1. Матрица ортогонального линейного оператора будет ортогональной в любом ортонормированном базисе пространства Е . [c.18]

Доказательство. Пусть задан ортогональный линейный оператор А. Это значит, что существует ортонормированный базис е,,..., е пространства, для которого матрица [c.18]

Видим, что матрица С оператора А о В получается с помощью умножения матриц С = АВ. Произведение матриц некоммутативно. Некоммутативна и композиция линейных операторов. [c.20]

Достаточность. Пусть матрица I неотрицательно определена. Тогда с ее помощью можно образовать линейный оператор 1х. Согласно лемме для оператора I существует множество точечных [c.60]

Другими словами, сначала с помощью оператора А ) осуществляется переход от базиса Во к промежуточному базису Вх, а затем с помощью оператора А выполняется переход от промежуточного базиса Вх к конечному базису В. Напомним, что матрица композиции линейных операторов равна произведению их матриц, взятых в том же порядке, в котором операторы участвуют в композиции. [c.89]

Матрица ( А = (, определяет линейный оператор, который называется дифференциалом оператора А. [c.116]

Другими словами, вектор с есть результат действия линейного оператора С в пространстве Д". В базисе а.х,..., а. матрица оператора С есть произведение матрицы, обратной к матрице кинетической энергии, на матрицу В силовой функции (определение 8.7.1). [c.573]

Оператор Z.+, сопряженный с линейным оператором L в действительном пространстве, часто называют транспонированным оператором. В частности, если L — матрица размером mXn, то Z+ — транспонированная матрица размером пХт, получаемая перестановкой соответствующих столбцов и строк. [c.213]

Замена системы дискретных усилий эквивалентной распределенной нагрузкой. В целях упрощения расчетной модели дискретное динамическое воздействие кольцевых участков стержневой структуры на осесимметричные кольцевые участки (диски, оболочки) можно заменить приближенно эквивалентной распределенной нагрузкой. Такой прием широко используют при рассмотрении колебаний дисков с лопатками [10, 11, 15, 18, 34 и др.], это не влечет практически ощутимых погрешностей, если порядок поворотной симметрии стержневого участка достаточно велик. Тогда матрицы ВДЖ и ВДП осесимметричных участков можно определить как линейные операторы, устанавливающие связь -Между комплексными амплитудами волн компонентов распределенных нагрузок и комплексными амплитудами волн компонентов перемещений. Если такие матрицы обозначить П и Н. то переход от распределенного представления к дискретному должен осуществляться в соответствие с выражениями [c.47]

Любой линейный оператор М в выбранном базисе .> может быть представлен матрицей [c.279]

СПЕКТР ОПЕРАТОРА — обобщение на бесконечномерный случай понятия множества собственных значений матрицы линейного преобразования в конечномерном векторном пространстве. [c.605]

Входящие сюда матрицы [2д ] и [Йц 1 формулируются следующим образом. Матрица [Йо 1 получается из матрицы линейных дифференциальных операторов [Sq] путем транспонирования, смены знака [c.81]

Легко показать, что между линейными операторами и прямоугольными матрицами устанавливается взаимно однозначное соответствие при любых фиксированных базисах. Операциям над матрицами соответствуют аналогичные действия над операторами. [c.34]

Как связаны между собой матрицы и линейные операторы, действующие в конечномерных линейных пространствах [c.47]

Доказанная теорема играет большую роль в механике. В самом деле, согласно этой теореме, линейный оператор, действующий в трехмерном евклидовом векторном пространстве, можно рассматривать как аффинный тензор. Это определение, в свою очередь, удобно тем, что позволяет во многих важных случаях ответить на вопрос, является ли данная физическая величина тензором без проверки выполнения условий (5 ). Например, в динамике твердого тела вводится матрица моментов инерции [c.616]

Из (VIII.8) следует важное свойство симметрии матрицы - линейные операторы, расположенные симметрично относительно главных диагональных операторов, имеют одинаковые значения, т. е. Lij—Lji - При решении конкретных задачи этой системе должны быть присоединены соответствующие граничные условия на граничном контуре оболочки g (формулы (III.51)—(II 1.57)) [c.156]

Любое реологическое уравнение состояния, записанное в терминах тензорных компонент в конвективной системе координат, автоматически удовлетворяет принципу объективности поведения материала [1, р. 46]. Из этого в литературе часто незаконно делают вывод, что такие уравнения, записанные в некоторой алгебраически простой форме, имеют некий особый физический смысл. Предположения о линейности , которые типичны для старых неинвариантных формулировок линейной вязкоупругости, были сделаны инвариантными относительно системы отсчета при помощи метода конвективных координат и, следовательно, предполагались физически реальными, хотя имеется бесчисленное количество других возможностей удовлетворить принципу объективности поведения материала, равно подтверждаемых (или не подтверждаемых) с феноменологической точки зрения. Смешение систем координат и систем отсчета оказывается даже более вопиющим в некоторых опубликованных работах, основанных на методе конвективных координат, а различие между тензорами (как линейными операторами, отображающими евклидово пространство само в себя) и матрицами тензорных компонент часто совершенно игнорируется. Наконец, конвективным производным часто приписывался некоторый особый физический смысл, и бесплодные дискуссии о том, что они являются истинными временными производными, были вызваны неправильным толкованием метода конвективных координат. В данном разделе мы собираемся осветить этот вопрос в соответствующей перспективе и указать некоторые распространенные ошибки, встречаюпщеся при применении данного метода. [c.111]

Тем самым матрица монодромии задает линейный оператор моно-дромии в пространстве решений уравнения с периодическими коэффициентами. Для конкретной матрицы А роль базисных векторов играют функции Х2 1). [c.239]

Со времени введения матриц известным английским математиком Кэли в 1857 г. теория матриц эффективно развивалась параллельно с развитием теории линейных преобразований в различных областях математики, физики и техники. Особенное значение теория матриц приобрела как вычислительный аппарат теории линейных операторов и, в частности, тензорного анализа. [c.19]

Придавая параметру ф ряд значений фх, фа,. . ., получим группу матриц вида (1), кото-Рис. 7. Двухповодковая кииематн- рая представляет собой группу ческая группа линейных операторов одного част- [c.50]

Если линейно-упругая система находится под воздействием усилий, изменяющихся во времени по гармоническому закону с частотой (О, то по гармоническому закону с этой же частотой изменяются и перемещения любых ее точек. Тогда зависимостью вида (1.1) мож но связать амплитудные значения перемещений и усилий. Поскольку период системы содержит массы, линейные операторы зав1исят от (квадрата частоты, приобретая форму интегральных операторов с га.рмоническими функциями влияния или операторов в виде матриц динамических податливостей. [c.7]

Для определения алгебры Ли пользуются матричной реа.тнзацпей (линейным представлением) Г. пусть каждый элемент g группы G представляет собой матрицу (или, что то же, линейный оператор в конечномерной линейном пространстве). Элемент g характеризуется набором числовых параметров (координат на Г.), g = = g(x , х"). Условимся выбирать эти параметры так, чтобы единице Г. соответствовали нулевые значения параметров, e = g(0,. .., 0). Тогда и н ф и н и т е-зймальным оператором (генератором) Г. G наз. производная от ф-ции g по одному из параметров, взятая в единице Г. = [c.543]

МЮЛЛБРА МАТРИЦА — матрица линейного преобразования (матричный оператор), применяемая для анали-тич. описания действия поляризац, оптич. элементов (поляризаторов, фазовых пластинок, отражающих поверхностей, тонких плёнок) на произвольным образом поляризованные световые пучки (см. Поляризация света). М. м. представляет собой квадратную 4х 4-матри-цу М, к-рая связывает 4-компонентный вектор Стокса S светового пучка, прошедшего через оптич. элемент, с Вектором Стокса S исходного пучка S =MS. Действие совокупности к оптич. элементов на световой пучок с вектором Стокса S описывается произведением соответствующих M.m. S причём мат- [c.224]

Для линейного оператора А множество всех С. в., отвечающих одному и тому же собств. значению Я, образует линейное подпространство, к-рое наз. собств. подпространством А. Если пространство Я конечномерно (га-мерно), а матрица преобразования А эрмитова, то у неё имеется ровно п различных С. в., отвечающих вещественным собств. значениям. [c.569]

ЭРМЙТОВ ОПЕРАТОР—линейный оператор А в гильбертовом пространстве Я с плотной областью определения D A) и такой, что < Ах, у) = (х, Ау для любых x,yeD A). Это условие эквивалентно тому, что I) D(A)< D(A% 2) Ах = А-х для всех xeD(A), где А — оператор, сопряжённый с А, т. е. что А<=А. Ограниченный Э. о. либо определён на всём Я, либо по непрерывности расширяется до такого, и при этом А А, т. е. А—самосопряжённый оператор. Неограниченный Э. о. может как иметь, так и не иметь самосопряжённые расширения. Иногда эрмитовым наз. самосопряжённый оператор, сохраняя для оператора, эрмитова в указанном выше смысле, название симметрический. В конечномерном пространстве Э. о. описывается эрмитовой матрицей. [c.637]

Рассмотренные модификации могут существовать и как самостоятельные методы, и как вспомогательное средство получения приближения для метода Ньютона — Канторовича. Так, в работе (38J предложен итерационный метод, который представляет собой метод последовательных нагружений с учетом нагрузочной невязки с автоматическим выбором значения шага, а затем переходит в сходящийся процесс Ньютона — Канторовича. Такая вычислительная схема очень привлекательна, хотя йолучени регулирующего параметра трудно в реализации Приближения по итерациям, которые приводились выше при описании методов решения нелинейных уравнений, не могут служить объективными характеристиками, так как количество вычислений на одной итерации для различных методов различно. Так, если в методе упругих решений на каждой итерации необходимо только вычислить дополнительные нагрузки (/—Аии+in), а для получения А использовать уже обращенную матрицу, соответствующую оператору До, то в методе переменных параметров, наоборот, на каждой итерации необходимо составлять и решать систему линейных уравнений, оставляя правую часть без изменений. В методе Ньютона на каждой итерации надо делать и то и другое, т. е. составлять и решать систему линейных уравнений, а также изменять правые части. [c.85]

Характеристические показатели линейной системы с постоянными параметрами совпадают с собственными значениями линейного оператора этой системы. Если дискретизация системы выполнена на уровне выбора расчетной схемы или она оказалась результатом применении какого-либо метода к распределенной системе (например, метода конечных элементов, граничных элементов, конечных разностей, Бубнова -Галеркина и др.), то оператор системы будет конечномерным. В принятом базисе этому оператору соответствует некоторая матрица (см. уравнение (7.2.3)]. Свойства этой матрицы зависят от характера внещних воздействий. Напри- [c.486]

Построение линейного оператора, действующего из рд-ното конечномерного линейного пространства в другое, производится с применением матрицы. Матричное изложение основных зависимостей механики сплошных сред и аппарата вычислительных методов сочетает наглядность алгоритмов с возможностью щ эффективной практической реализации на ЭВМ Особый интерес для приложений представляют с йиагоналиным преобладанием, диагональные элементы которых значительно больше по модулю боковых компонент, а так е ленточные матрицы. [c.16]

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ. Рассмотрим один общий способ построения линейного оператора, действующего из т-мерного линейного векторного пространства X в п-мерное линейное векторное пространство У [2, 3]. Пусть векторам базиса ей ещ пространства X поставлены в срответствие какие-то векторы fi, %,. .., fm простран- ства Y. Тогда существует и единственен линейный оператор Л, действующий из X в Y, который переводит каждый вектор 6h в соответствующий вектор fk. [c.33]

Здесь L (Л, 60 - матрица линейных относительно U дифференциальных операторов с переменными коэффициентами, зависящими от h (размерность матрицы 19JK 19) [c.260]

Это утверждение связано с тем, что операторы (4.1) инвариантны по отношению к вращениям просгранственных и спиновых координат, причём любой оператор, характеризующийся такой инвариантностью, может быть представлен в виде линейной комбинации единичной матрицы и операторов (4.1). Так как гамильтониан системы двух частиц инвариантен по отношению к вращениям пространственных и спиновых координат, то он также может быть представлен в виде линейной комбинации единичной матрицы и операторов и Sja- [c.35]

В общем случае тетрадик представляет собой линейный оператор, действующий на обычные матрицы. Он переводит матрицу с двумя индексами в другую матрицу той же размерности. Алгебра тетрадиков изоморфна алгебре матриц, что очевидно, если объединить пару индексов (п,п ) в один составной индекс а, а матрицу Апп> рассматривать как вектор А - При этом тетрадик будет соответствовать матрице Laa С двумя составными индексами. Единичный тетрадик определяется выражением [c.107]

Совокупность величин расположенных в виде матрицы (/) и преобразующихся в величины по формулам (а), определяет гювую величину J) называемую тензором инерции. Тензор (/) представляет собой оператор, который, действуя на некоторый вектор а, дает другой вектор Ь, проекции которого являются лилейными функциями проекций вектора а, причем матрицей линейного преобразования является матрица (/), а вектор Ь называют линейной вектор-функцией вектора а и обозначают в виде [c.381]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...