Тензор аффинный

Тензоры аффинной деформации [c.52]

ТЕНЗОРЫ АФФИННОЙ ДЕФОРМАЦИИ 53 [c.53]

Применение тензоров аффинной деформации позволяет избежать введения символов Кристоффеля в представлениях дифференциальных операций над тензорами. Исходными соотношениями служат формулы дифференцирования градиентов места [c.54]

Свертки компонент тензоров аффинной деформации по верхнему и нижнему индексам приводят к выражениям [c.54]

ТЕНЗОРЫ АФФИННОЙ ДЕФОРМАЦИЙ 5Й [c.55]

Применение тензоров аффинной деформации позволяет связать дифференциальные операции над функциями градиента места или мер деформации с производными по этим мерам. Например, для скаляра [c.55]

Курс начинается с раскрытия понятия аффинного точечно-векторного пространства как формальной аксиоматической основы построений теоретической механики. Строится теория преобразований системы скользящих векторов к простейшему виду. Вводится понятие центра масс и тензора инерции и развивается геометрия масс. Весь этот аппарат, помимо теоретической механики, может быть эффективно применен и в некоторых разделах математики [7, 50]. Чтобы подчеркнуть это, ему придана векторно-алгебраическая форма. [c.10]

Из дифференциальной геометрии известно, что свойства пространства—метрика и параллельный перенос тензорных величин— определяются метрическим тензором и коэффициентами параллельного переноса, или коэффициентами аффинной связности. Эти величины уже были включены в аналитическое описание упомянутой среды. Следовательно, дальнейшие обобщения требуют расширения представлений дифференциальной геометрии, а значит и тензорного исчисления. [c.538]

При вычислении компонентов тензора деформаций Sij (Wak) необходимо учитывать, что система (х, у) для Т/является аффинной так как компонент номер а вектора Wak равен соответствующей скалярной базисной функции, то на Тг. [c.171]

Совокупность девяти величин рпт называют аффинным ортогональным тензором второго ранга. [c.9]

Произведя свертывание аффинного ортогонального тензора ртп по индексам тип, получим инвариант [c.11]

В настоящем курсе свойства аффинного ортогонального симметричного тензора второго ранга анализируются на примере напряжения в точке (см. главу V), а затем принимаются во внимание во всех случаях, в которых имеем дело с такими тензорами. [c.772]

Преобразование (95) может быть истолковано как ортогональное аффинное преобразование координат в четырехмерном пространстве (так называемом проективном пространстве), определяемое оператором или тензором (см. гл. 8) с соответствующей матрицей 4-го порядка (см. гл. 4). [c.47]

Свертыванием ортогональных аффинных тензоров по двум каким-нибудь индексам (индексы свертывания) называется следующая операция из компонентов тензора некоторого порядка, например <2,7 ., составляются суммы [c.236]

Аффинные ортогональные тензоры — [c.567]

В дальнейшем рассматриваются так называемые аффинные ортогональные тензоры, называемые просто тензорами Тензором Тго порядка (валентности, ранга) называется вся яя совокупность трех величин aj, а.,, преобразую щихся в величины а,,, а ,,, о,, при пере.ходе от одной системы координат Х)1 к другой системе х ,, по формулам [c.234]

Аффинные ортогональные тензоры — см. Тензоры [c.547]

TO мы будем иметь аффинно сопряженные в пространстве тензоры [c.178]

Связь между компонентами тензора с различным строением индексов В косоугольном аффинном базисе е = 2, 1еа =1еа = I, е , e = n/Z, —> —> —> [c.40]

Тензор напряжений при аффинном преобразовании. [c.686]

Всякий вектор в пространстве есть тензор 1-го порядка, причем можно рассматривать как один вектор, так и поле векторов (компоненты суть функции координат точки). В настоящем разделе рассматриваются только аффинные ортогональные т е н- [c.68]

Формулы (7.14) выражают закон преобразования произведений компонент двух векторов при переходе от одной системы координат к другой. Однако кроме произведений компонент двух векторов существуют и другие таблицы величин с двумя индексами, которые при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по формулам (7.14). В связи с этим вводят определение если в каждой прямолинейной ортогональной системе координат имеется совокупность девяти величин с и если при переходе от одной системы координат к другой эти величины преобразуются по формулам (7.14), то совокупность этих девяти величин определяет новую величину с — Цс,уг1 — аффинный ортогональный тензор второго ранга (или просто тензор второго ранга). [c.20]

Примечание. В теории аффинных ортогональных тензоров использовались прямолинейные ортогональные координаты и их преобразование опять в прямолинейные ортогональные координаты. Эти линейные ортогональные преобразования определялись таблицей направляющих косинусов. Можно рассматривать и неортогональные линейные преобразования. [c.25]

Вообще говоря, матрицы и не обязательно совпадают (совпадение имеет место для ортогональных преобразований), поэтому законы преобразования компонент градиента скалярной функции и компонент вектора г различны. В связи с этим в общей теории тензоров оказывается необходимым различать два вида векторов и тензоров — контравариантные и ковариант-ные. Не приводя полного определения, дадим часто употребляемое. Говорят, что контравариантный вектор — это такой вектор, компоненты которого Л,- преобразуются при переходе к другой системе координат, как компоненты вектора г. Аналогично величины /4,- определяют ковариантный вектор, если прй переходе от одной системы координат к другой эти компоненты преобразуются как компоненты градиента функции, т. е. как частные производные по координатам. Для аффинных ортогональных векторов понятия ковариантного и контравариантного векторов являются совпадающими. В общей теории тензоров рассматриваются не только неортогональные, но и нелинейные преобразования координат. [c.25]

Значит и тензоры (4), (5) — нулевые, если преобразование отсчетной конфигурации в актуальную не отличается от аффинного. Эти тензоры, характеризующие неаффинность преобразования, называются тензорами аффинной деформации (А. Ц. Норден). [c.53]

При свертывании по нижним индексам тензоры аффинной деформации опреде.1яют векторы [c.54]

В 18 намечен ход решения задачи об определении вектора места по заданию меры деформации. Введенные А. П. Норденом тензоры аффинной деформации третьего ранга нашли применение в 19. Например, задача 18 оказывается сведенной к системе линейных дифференциальных уравнений (19.12) для градиента места, коэффициенты которой —компоненты тензора аффинной деформации (19.9) дифференциальные операции над функциями градиента места или мер деформации ставятся в связь с производными по этим мерам, формулы (19.20), (19.23). [c.497]

Здесь, как и выще, т],/ является мерой инородной материи. Е. Кренер называет эти уравнения эйнштейновыми ). Они охватывают кривизну структуры , вызванную дислокациями, так как содержат коэффициенты вращения и влияние инородных включений, отображенное тензором г ш- Несимметричные относительно нижних индексов коэффициенты параллельного переноса (коэффициенты аффинной связности) впервые встретились в механике неголономных систем при введении неголономных систем отнесения. Это вновь приводит к представлению о деформировании сплошной среды как о результате некоторого неголо-номного преобразования ( 61). [c.537]

Комбинация операций умножения и свертывания называется скалярным (внутренним) умножением. Операция скалярного умножения двух тензоров сводится сначала к их умножению, а затем к свертыванию результирующего тензора по верхнему индексу одного тензора и нижнему индексу другого. Пусть нам даны два тензора А "" и Bft, свертывая четырьмя способами их тензорное произведение, получим скалярное произведение, а именно А " A " BU, а "Bn, А" BU- Скалярное произведение контравариантно-го вектора и ковариантного вектора дает инвариант Л 5п, который можно, очевидно, назвать скалярным произведением векторов Л и Вп- В случае аффинных ортогональных векторов и Ьт, получим скалярное произведение этих векторов а-Ь = апЬп. [c.11]

Понятие аффиниого ортогонального тензора. Известно, что многие физические или геометрические объекты принадлежат либо к скалярам, либо к векторам. Примером первых являются объем тела, площадь фигуры ко вторым относятся сила, скорость, ускорение, перемещение и т. и. Наряду с упомянутыми категориями объектов существуют и более сложные, в частности, тензоры второго ранга. [c.768]

Следует отметить, что верзор является аффинным ортогональным тензором второго ранга (см. гл. 8). [c.74]

Преобразование (5) может быть истолковано как ортогональное аффинное преобразование координат в четырехмерном эвклидовом пространстве, определяемое тензором второго ранга, который может быть представлен квадратной матрицей 4-го порядка [c.153]

В дальнейшем рассматриваются так называемые аффинные ортогональные /пензоуоы, называемые просто тензорами. [c.234]

На каждой координатной площадке три состав1Ляющих образуют вектор полного напряжения на плои1адке с нормалью. v — вектор Рх, на площадке с нормалью у Ри и на площадке с нормалью г — р,. Совокупность трех векторов Рх, Рь ч Рг- определяемых девятью со ставляющими, которые при перемене координатных осей преобразуются по формуле (1,4), называется аффинным ортогональным тензором второго ранга Тензором первого ранга является вектор В дальнейшем изложении сокращенно будем называть его просто тензором, а девять составляющих компонентами тензора. [c.21]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...