Движение метрики

Другими словами, движение метрики точно сохраняет вид скалярного произведения. [c.18]

При движении метрики компоненты метрического тензора удовлетворяют равенствам [c.18]

На границе области возможности движения метрика (16) имеет особенность чем ближе кривая к границе, тем меньше ее длина в частности, длина любой кривой, лежащей на самой границе, равна нулю. Если П < /i, то метрика (16) не имеет особенностей. Из (15) получаем [c.488]

Движение метрики в случае det Л = 1 называют собственным. Матрица Л задает поворот пространства как целого вокруг некоторой оси, проходящей через начало координат. При этом форма +у + [c.11]

Следствие 8.12.4. Принцип Якоби позволяет свести задачу об определении траектории движения изображающей точки к экстремальной задаче в пространстве конфигураций с римановой метрикой. В области Г + / > 0 конфигурационного пространства зададим риманову метрику формулой [c.620]

По этому принципу траектории реального движения суть геодезические линии метрики др.О [c.620]

Так как количество коэффициентов преобразования превосходит количе- ство компонент метрического тензора, то переход к неголономной системе позволяет повысить точность определения метрики в окрестности фиксированной точки пространства конфигураций и точность найденного локального решения уравнений движения. [c.157]

Остановимся на этом подробнее. Как видно, движение системы в консервативном силовом поле можно свести к движению по инерции, изменяя соответствующим образом метрику пространства. Силовое поле при этом как бы исчезает. Но внутренняя геометрия пространства оказывается зависимой от потенциальной энергии поля П и движения в нем материи, так как коэффициенты зависят от распределения масс в системе и ее движений. [c.208]

Таким образом, дифференциал dp можно интерпретировать как длину элемента траектории в пространстве конфигураций с координатами q. ....В общем случае они не являются декартовыми, а представляют координаты пространства, метрика которого определяется коэффициентами т,л из равенства (7.41). Тогда Y2Т будет равняться скорости, с которой изображающая точка движется вдоль своей траектории в пространстве конфигураций. Если на систему не действуют силы, и поэтому Г постоянно, то будет постоянной и скорость движения этой точки, из чего можно сделать вывод, что она будет двигаться вдоль кривой наименьшей длины, т. е. вдоль одной из геодезических линий пространства конфигураций. [c.259]

Механика одной частицы. Вариационные принципы механики позволяют написать уравнения движения произвольной механической системы, если только задана одна фундаментальная величина — функция Лагранжа L. В ньютоновой механике пространство и время существуют обособленно, и время t служит при этом независимой переменной. В теории относительности это уже не так. Время теперь не более чем одна из координат, равноценная трем пространственным координатам. Физические события происходят в четырехмерном мире, который имеет определенную метрику. Согласно требованиям, вытекающим из этой метрики, в четырехмерном мире не должно существовать предпочтительного направления. Уравнения, приводящие к такому привилегированному направлению, противоречат принципу относительности и должны быть отброшены либо исправлены таким образом, чтобы в конечном счете они отразили надлежащую метрическую структуру физического мира. [c.356]

Область возможности движения в координатном пространстве определяется неравенством П /г, которое получается из интеграла энергии Т-ЬП = /г и определенной положительности кинетической энергии. При И h вместо метрики (11) введем в координатном пространстве другую метрику, определив квадрат расстояния d r" между двумя близкими точками Р и Р по формуле [c.487]

Если g-пространство обладает метрикой (27.7.3), то его называют пространством конфигураций. Возвращаясь к задаче о движении системы v точек, можем написать [c.554]

Пусть произвольно зафиксирована область возможности движения Наряду с исходной римановой метрикой [c.170]

Теорема (принцип Якоби). Траектории движения с энергией h суть геодезические метрики ds в области V[c.170]

Вторая теорема Козлова (рис. 59). Пусть у нас есть внутренняя точка а и вычислено б(а). Тогда существует движение Yo. выходящее на границу (т. е. уое 2д) и такое, что его длина в метрике Якоби равна б (а) (иначе говоря, из любой точки всегда можно попасть на границу, причем по кратчайшей кривой). [c.173]

Точность моделирования уравнений движения систем I — IV оценивалась с использованием разработанных для ЭЦВМ <(Минск-22 программ-процедур метода динамических испытаний с той особенностью, что в этом случае параметры уравнений модели не оценивались, а производилась проверка уравнений с параметрами, соответствовавшими установленным в модели АВМ. Разработанные процедуры метода динамических испытаний дают оценки в смысле метрики двух функциональных пространств в пространстве С рассматривается максимум модуля ошибки max е и в конечномерном дискретном аналоге пространства — дисперсия ошибки и среднеквадратическая ошибка а. Кроме того, в приводимых ниже табл. 3—6 дана средняя ошибка воспроизведения уравнений. [c.72]

В теории пространственных механизмов преимущественно используется разновидность аффинных преобразований, называемая ортогональным преобразованием, при котором метрика пространства не меняется и преобразование в сущности представляет собой движение. [c.73]

Общая теория относительности — релятивистская теория тяготения — установила зависимость метрик, характеристик пространства-времени, отождествляемых в ней с гравитац. полем, от распределения вещества и эл.-магн. поля и установила законы движения в искривлённом пространстве-времени (см. Тяготение). [c.67]

Линейное преобразование координат называется движением метрики, если оно невырождено (с1е1 А 0) и преобразование метрического тензора выражается равенствами [c.18]

Пространство и время. В природе нам не даны нп неподвижное пространство, ни его метрика нам не дано и равномерное движение, по которолгу можно было бы отсчитывать равные промежутки времени. Эти важные обстоятельства по-рояадают проблемы определения пространства и врем( П1Г, которыми мы не будем заниматься до поры, пока не накопим достаточный материал конкретных механических знаний. [c.26]

Рассмотрим теперь движение системы по инерции (11 = 0). Тогда все возможные при таком движении траектории изображающей точки носят название геодезических линий [По отношенйю к метрике (2)]. Из интеграла энергии [c.134]

Геометризация динамики. Неримановы геометрии. Метрическая интерпретация уравнения в частных производных Гамильтона. Снова и снова мы убеждаемся в том, сколь успешно наглядный язык геометрии помогает более глубокому пониманию проблем механики. Пространство конфигураций с его римановой метрикой дало возможность изобразить сколь угодно сложную механическую систему в виде одной точки в соответствующим образом определенном многомерном пространстве. Благодаря этому законы, определявшие движение одной частицы, удалось обобщить на произвольные механические системы. [c.319]

В виде частного приложения мы можем представить себе световые лучи в оптически изотропной, но неоднородной среде с коэффициентом преломления п(х,у,г), меняющимся от точки к точке. Как мы уже видели в п. 18, световые лучи тождественны с геодезическими линиями метрического многообразия, имеющего линейным элементом ds = nds, где ds есть обыкновенный линейный элемент физического (евклидова) пространства. Так как элемент ds отличается только позиционным множителем п от евклидова элемента ds, то обобщенные количества движения р траекторий будут также отличаться только на локальный множитель от направляющих косинусов соответствующей касательной, так что введенное выше условие ортогональности (58) приобретает в этом случае обычный смысл, который оно имеет в элементарной метрике. С другой стороны, как было отмечено в п. 18, п ds есть не что иное, как элемент времени dt, которое требуется свету, чтобы пройти элемент пути ds следовательно, действие сводится к времени распространения света. Таким образом, мы на основании теоремы Бедьтрами — Липшица заключаем, что световые лучи, которые в заданный момент выходят из заданной поверхности oq в направлении, ортогональном к Oq, или, в частности, из единственного центра, остаются всегда ортогональными к поверхности /= onst, каков бы ни был показатель преломления п, т. е. какова бы ни была неоднородность среды. Эти поверхности, представляющие собой геометрические места точек, к которым свет приходит за один и тот же промежуток времени, образуют так называемые волновые поверхности (см. гл. X, упражнение 13). [c.451]

Это в точности символы Кристоффеля для римановой метрики dS = Zakidqkdqi. Что касается коэффициентов (индексы сверху), то они образуют матрицу, обратную к ам =А. Итак, в векторном виде уравнения движения суть [c.96]

Рис. 46. Симметрия. На многообразии положений классической натуральной вястемы (изображен случай двух степеней свободы, например точка на поверхности) действует семейство отображений Pi— P (возьмем, как принято, группу, хотя это и не обязательно), обладающее тем свойством, что в любой сопутствующей , увлекаемой системе координат 5i, j выражение лагранжиана получается одним н тем же. Тогда имеет место интеграл движения, представимый в виде скалярного произведения (в метрике многообразия положений, задаваемой квадратичной по скоростям частью лагранжиана) вектора скорости с порождающим группу векторным полем и. Особенно просто отображения симметрии выглядят в системе координат q, Q2, из которых одна — циклическая тогда соответствующие координатные линии являются интегральными для порождающего поля, а отображения представляются сдвигами вдоль этих линий. Таким образом, понятие симметрии есть инвариантная (не зависящая от выбора координат) переформулировка наличия циклической координаты. Исключение этой координаты из рассмотрения по Раусу (переход к правой части рисунка) на инвариантном языке начинается с факторизации — перехода к новому многообразию меньшей размерности, каждой точке которого отвечает целая траектория группы симметрий многообразия положений

Рис. 46. Симметрия. На многообразии положений <a href="/info/16418">классической</a> натуральной вястемы (изображен случай двух <a href="/info/1781">степеней свободы</a>, например точка на поверхности) действует семейство отображений Pi— P (возьмем, как принято, группу, хотя это и не обязательно), обладающее тем свойством, что в любой сопутствующей , увлекаемой <a href="/info/9040">системе координат</a> 5i, j выражение <a href="/info/665">лагранжиана</a> получается одним н тем же. Тогда имеет место <a href="/info/21213">интеграл движения</a>, представимый в виде <a href="/info/10647">скалярного произведения</a> (в метрике многообразия положений, задаваемой квадратичной по скоростям частью <a href="/info/665">лагранжиана</a>) <a href="/info/7829">вектора скорости</a> с порождающим группу <a href="/info/16622">векторным полем</a> и. <a href="/info/372269">Особенно просто</a> отображения симметрии выглядят в <a href="/info/9040">системе координат</a> q, Q2, из которых одна — циклическая тогда <a href="/info/283186">соответствующие</a> <a href="/info/8767">координатные линии</a> являются интегральными для порождающего поля, а отображения представляются сдвигами вдоль этих линий. Таким образом, <a href="/info/478539">понятие симметрии</a> есть инвариантная (не зависящая от выбора координат) переформулировка наличия <a href="/info/8258">циклической координаты</a>. Исключение этой координаты из рассмотрения по <a href="/info/239291">Раусу</a> (переход к правой части <a href="/info/405362">рисунка</a>) на инвариантном языке начинается с факторизации — перехода к новому многообразию меньшей размерности, <a href="/info/130339">каждой</a> точке которого отвечает <a href="/info/358099">целая траектория</a> <a href="/info/371991">группы симметрий</a> многообразия положений

Рнс. 59. Свойства геодезических метрик Якоби в области возможности движения с краем. Слева изо ажены две либрации — траектории периодических движений, переходящих с одной связной компоненты границы (из трех) на другую. Эти кривые имеют минимальную длину в классе всех кривых, соединяющих указанные компоненты границы (минимальная геодезическая для третьей пары связных компонент состоит из уже названных либраций и куска границы между ними — длина этого куска в метрике Якоби равна нулю). Справа изображена траектория, выходящая на границу из произвольной внутренней точки компактной области возможного движения. Такая траектория существует всегда Существо доказательства в том. что траектория сначала доводится до некоторой-окрестности границы такой, что все геодезические, выпущенные с границы, без самопересечения под прямым углом упираются в границу окрестности. Одна из этих геодезических встретит рассматриваемую траекторию под развернутым углом и потому послужит ее продолжением. Из рис. 57 вытекает, что даже в случае компактной области возможности движения две точки не всегда можно соединить геодезической метрики Якоби [c.288]

Аналогично можно определить т-метрику для любой манипуляционной системы с метрическим пространством R. В качестве h возьмем множество непрерывных цепей, т. е. движений механизма Afg, а в качестве hp — подмножество непрерывных цепей, состоящих из допустимых конфигураций. Очевидно, что задача для из п. 2 является частным случаем манипуляционной задачи из п. 3. [c.62]

Рассмотрены вопросы планирования региональных движений, возникающие на тантическом уровне управления манипулятором. Дано формальное определение манипуляционной системы и связанных с ней понятий. На примере идеального манипулятора введена метрика в прострайстве конфигураций манипулятора. Дано определение понятий зона маневренности и препятствие сформулировано достаточное условие достижимости одной конфигурации манипуляционной системы из другой предложено понятие степень маневренности манипулятора . Описаны три группы элементарных манипуляционных задач и указаны связи между задачами. Иллюстраций 4. Библ. 27 назв. [c.220]

Времениподобные Г. л. являются мировыми линиями пробных точечных частиц с отличиой от нуля массой покоя, движущихся в гравитац. поле, определяющем метрику пространства-времени Времениподобные Г. л. соответствуют Д1аксимуму длины кривой. Изотропные Г. л. соответствуют движению фотонов и др. безмассовых частиц. Пространственноподобные Г. л. не соответствуют движению реальных частиц, однако они важны для понимания геом. свойств -самого пространства-времени. Второй член в ур-нии [c.437]

Число p играет роль радиуса кривизны пространства де Ситтера, Пространство обладает группой движений, к-рая кроме сдвигов (трансляций) включает нсевдоорто-гональные преобразования они сами по себе образуют грунну 0(4, 1), причём преобразования из этой группы переводят псевдосферу S в себя и сохраняют метрику на ней, т. е, являются движениями пространства S. Группу 0(4,1) наз. Д- С, г. Иногда под Д. С. г. понимают подгруппу 50(4, 1), к-рая выделяется требованием, чтобы все входящие в неё линейные преобразования (матрицы) обладали единичным детерминантом. Пространство де Ситтера можно отождествить с фактор-пространством Д. С. г. по подгруппе Лоренца (см. Лоренца группа), S = SO A, )ISO (3,1), Иногда рассматривают пространство де Ситтера 2-го рода (или антидоситтеровское пространство). [c.583]

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (ОТО) — современная физ. теория нространства, времени и тяготения окончательно сформулирована А. Эйнштейном в 1916. В основе ОТО лежит эксперим. факт равенства инертной массы (входящей во 2-й закон Ньютона) и гравитац. массы (входящей в закон тяготения) для любого тела, приводящий к эквивалентности принципу. Равенство инертной и гравитац. масс проявляется в том, что движение тела в поле тяготения ее зависит от его массы. Это позволяет ОТО трактовать тяготение как искривление пространственно-временного континуума. Это искривление пространства-времени оиисывается метрикой, определяемой из ур-ний теории тяготения (см. Тяготение). Пространство Минковского, рассматриваемое в частной (специальной) теории относительности (т.е. в отсутствие тяготеющих тел), обладает высокой степенью симметрии, описываемой группой Пуанкаре. Эта группа в соответствии с принципом относительности порождает изоморфные последовательности событий. В пространстве, где есть поле тяготения, симметрия полностью исчезает, поэтому в нём не выполняется принцип относительности (т. е. нет сохранения относительной или внутренней структуры цепочек событий при действии группы симметрии). Назв. О. т. о. , принадлежащее Эйнштейну, является поэтому неадекватным и постепенно исчезает из литературы, заменяясь на теорию тяготения . и. ю. Кобзарев. [c.392]

Близкие точки х, у риманова пространства всегда можно соединить локально единственной геодезической, длина к-рой и будет равна расстоянию р(ж,у). Риыаново пространство наз. геодезически полным, если любая геодезическая ж ( ) неограниченно продолжается по . В полном римановом пространстве любые две точки можно соединить геодезической (вообще говоря, не единственной). Изучение глобальных свойств геодезических риманова пространства составляет важный раздел вариационного исчисления в целом. Поскольку многие ур-ния классич. механики могут быть записаны в виде ур-ний геодезических, методы теории геодезических применимы для получения качеств, информация о характере механич. движения. В общей теории относительности, где массивные частицы движутся по времениподобным (а беэмассовые — по изотропным) геодезическим индефинитной метрики, в основном изучаются именно такие геодезические. Нек-рые их глобальные свойства допускают физ. интерпретацию. Так, наличие. замкнутых геодезических означает нарушение причинности. Геодезич. неполнота трактуется как наиб, универсальный способ определения сингулярности пространства-времени. [c.396]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...