Колебания гармонические твердых тел гармоническое

Учебное пособие содержит те разделы физики твердого тела, знание которых необходимо для четкого представления об энергетическом спектре электронов в твердом теле, для понимания классификации веществ на металлы, полупроводники и изоляторы. Подробно рассматриваются тепловые свойства твердых тел — гармонические колебания, теплоемкость и теплопроводность кристаллической решетки. Уделяется внимание вопросам химической связи в твердом теле и возможности интерпретации ее с помощью магнитных исследований. [c.2]

В соответствии с предположениями о малости отклонений параметров системы A i ,, А/Пз., . .. и о выполнении условия (15), эти силы и моменты малы по сравнению с основными возмущениями. А малые гармонические силы и моменты могут вызвать существенные упругие колебания только тогда, когда рабочая частота ш близка к какой-либо из частот собственных колебаний системы. Исключение составляет лишь собственная частота, на работу вблизи которой резонансная машина специально рассчитана этой частоте при соблюдении условия (15) отвечает форма колебаний балки, близкая к прямолинейным поступательным колебаниям, как твердого тела. Указанную частоту для краткости в дальнейшем условимся называть ведущей. [c.142]

В настоящее время теоретические модели вещества позволяют проводить расчет уравнений состояния лишь в ограниченных областях фазовой диаграммы. Наиболее разработаны простые модели твердого тела, основанные на квазигармоническом приближении, в рамках которого кристалл представляет собой совокупность независимых гармонических осцилляторов. Основная задача при этом состоит в определении конкретного распределения частот в спектре колебаний данного твердого тела. Реальный вид этого распределения достаточно сложен, поэтому часто используются модельные представления. Наибольшее распространение получила теория Дебая [10], которая достаточно хорошо описывает тепловые свойства твердых тел во всем температурном диапазоне. Из дебаевской модели следует, в частности, калорическое уравнение состояния в форме Ми —Грюнайзена [c.29]

Твердыми называются шла, которые отличаются ПОСТОЯНСТВОМ формы и объема. Это объясняется тем, что силы взаимного притяжения частиц твердого тела весьма велики по сравнению с этими силами в газах. Частица твердого тела не может удалиться от своих соседей на значительное расстояние. Тепловое движение частиц в твердых телах представляет собой хаотические колебания частиц относительно их положений равновесия — узлов кристаллической решетки (п. 5°). Колебания частиц твердого тела lie являются строго гармоническими (IV. 1.1.4°). Это свя- зано с той же причиной, что и несимметричность кривой И (г) (рис. II. 1.3) вблизи минимума,— с различной зависимостью от г сил притяжения и отталкивания. [c.114]

В твердом теле атомы при любой температуре, включая U К, непрерывно совершают колебания около их среднего положения равновесия. При небольших амплитудах такие колеба ния можно считать гармоническими. С повышением температуры амплитуды и энергии этих колебаний увеличиваются. Так как атомы в твердом теле сильно связаны друг с другом, то возбуждение колебаний одного из атомов передается ближайшим атомам, которые, в свою очередь, передают это возбуждение своим соседям и т. д. Этот процесс подобен процессу распространения звуковых волн в твердом теле. Все возможные колебания сильно связанных между собой атомов можно представить как совокупность взаимодействующих упругих волн различной длины, распространяющихся по всему объему кристалла. Так как твердое тело ограничено по размерам, то при данной температуре устанавливается стационарное состояние колебаний, представляющее собой суперпозицию стоячих волн (поверхность твердого тела для звуковых волн является узловой). [c.141]

МЫ свели к совокупности слабо связанных волн с волновым вектором к и частотой аз (к, s), распространяющихся во всем объеме кристалла. Каждой такой волне (или нормальной, моде колебаний) мы сопоставили гармонический осциллятор, колеблющийся с частотой со (к, s), в движении которого принимают участие все атомы твердого тела. В соответствии с формулой Планка средняя энергия каждого такого осциллятора. [c.169]

Таким образом, расстояние между атомами, совершающими гармонические колебания, при нагревании не изменяется, так как их среднее смещение <л >=0, а следовательно, и тепловое расширение должно отсутствовать, что противоречит реальной ситуации. Все твердые тела при нагревании расширяются. Для большинства твердых тел относительное расширение при нагревании на ] К составляет примерно 10 =. В табл. 6.1 приведены значения температурных коэффициентов линейного расширения для некоторых изотропных веществ. [c.184]

Для твердых тел обычным и устойчивым состоянием является кристаллическое. Характеризуются кристаллы упорядоченным расположением частиц в строго определенных точках пространства. Если эти точки соединить пересекающимися прямыми линиями, получится пространственный каркас, называемый кристаллической решеткой. Точки, в которых находятся частицы, входящие в состав кристалла,, называются узлами кристаллической решетки. Ионы, атомы и молекулы в узлах решетки совершают малые колебания (простейшая физическая модель — набор гармонических осцилляторов). [c.11]

Рассмотрим твердое тело, состоящее из атомов, образующих правильную кристаллическую решетку. Обозначим через Uq энергию статической решетки при О К и будем полагать колебания атомов гармоническими (кстати, в этом случае объем тела не меняется при нагреве), в связи с чем можно перейти от химического потенциала к приходящейся на атом свободной энергии/ . Тогда свободная энергия такого твердого тела может быть запи- [c.252]

Нулевые собственные частоты могут встретиться не только тогда, когда система имеет возможность перемещаться как твердое тело. Они имеют место и тогда, когда потенциал V таков, что в положении равновесия обращаются в нуль как первые, так и вторые его производные. Малые колебания возможны при этом тогда, когда четвертые производные от V не обращаются в положении равновесия в нуль (третьи производные должны быть равны нулю для устойчивости равновесия). Однако колебания системы не будут в этом случае гармоническими, и поэтому здесь [c.365]

Замечательным примером колебаний механической системы вблизи положения равновесия является случай твердого тела, молекулы которого расположены вблизи положения равновесия, но находятся в состоянии непрерывных беспорядочных колебаний в связи с тепловым движением. Все эти колебания могут быть аналитически изображены одной С-точкой, помещенной в ЗЛ/-мер-ном евклидовом пространстве, где N — число молекул, составляющих твердое тело. Движение С-точки можно представить в виде гармонических колебаний определенных частот вдоль взаимно перпендикулярных осей. Каждой степени свободы отвечает одна ось. Спектр этих колебаний простирается от очень низких упругих и акустических частот вплоть до очень высоких инфракрасных частот. Распределение амплитуд и фаз определяется статистическими законами и является функцией абсолютной температуры Т. [c.187]

Уравнения вынужденных колебаний планетарного механизма составлены методом динамических податливостей [2]. Выделенными подсистемами являются твердые тела солнечная шестерня, сателлиты, водило и эпицикл, условно отрезанные от внутренних упругих связей (пружин) С . Согласно методу динамических податливостей, в местах разрезов к телам приложены гармонические силы и в соответствующих местах — возмущающие силы F . Уравнения для связанной системы получены из условия непрерывности деформаций в связях, жесткости которых представлены в комплексной форме, т. е. + ix j o, где i = / — 1. [c.133]

Вычисленные выше шесть частот свободных колебаний преобразователя как твердого тела на амортизаторах расположены в диапазоне от 3,3 до 8,8 Гц. В наихудшем случае, относящемся к самой высокой из этих частот, коэффициент передачи фундаменту гармонической силы, имеющей частоту 50 Гц, в соответствии с формулой (VII. 185), будет (если пренебречь трением) [c.347]

КАВИТАЦИЯ — образование в капельной жидкости полостей, заполненных газом, паром или их смесью, исчезновение которых сопровождается кратковременным возрастанием давления, разрушающего твердые тела КОЛЕБАНИЯ [характеризуют движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени автономные описываются уравнениями, в которые явно не входит время случайные имеют место при тепловом движении связанных частиц твердых тел в колебаниях их относительно узлов кристаллической решетки внутримолекулярные возникают при смещении положений атомов в молекуле от их равновесных положений время когерентности двух рассматриваемых гармонических колебаний с различными циклическими частотами приближенно] [c.241]

Универсальная диаграмма, изображенная на рис. 1, оказывается полностью пригодной для решения задач анализа и синтеза также и в случае произвольного числа синхронно работающих дебалансных вибровозбудителей, плоскости вращения центров тяжести роторов у которых, как и выше, проходят через центр тяжести вспомогательного тела (Э] и перпендикулярны к одной из главных центральных осей инерции этого тела направления вращения валов возбудителей могут при этом быть и различными. Твердое тело не предполагается свободным оно может быть связано с неподвижным основанием, а также с другими телами системы посредством произвольной плоской системы линейных упругих или демпфирующих элементов (рис. 2). Вибровозбудители также могут быть любыми (электромагнитные, пневматические и др.) предполагается лишь, что они порождают гармонические силы или моменты, действующие в плоскости хОу. В указанных предположениях малые колебания тела могут быть представлены в виде [c.149]

Примером крутильных колебаний служит движение маятника наручных часов. К крутильным относятся колебания твердого тела, имеющего точку подвеса, не совпадающую с центром тяжести тела. Если отклонить это тело, а затем предоставить его самому себе, оно начнет колебаться. При этом каждая его точка движется по дуге соответствующей окружности. Как будет показано ниже, колебания в этом случае можно считать гармоническими только при малых амплитудах. [c.317]

Физический маятник — это твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения, не проходящую через его центр тяжести. Будучи выведенным из положения равновесия, тело совершает около оси крутильные колебания. Выясним, будут ли эти колебания гармоническими. Для этого найдем выражение для возвращающего момента. При отклонении тела на произвольный угол а (рис. 11.17) возвращающий момент равен [c.335]

Найдем энергию колебаний кристаллической решетки. В простейшей модели твердого тела допускают, что все атомы одинаковы, что каждый из них может участвовать в трех независимых колебательных движениях (вдоль трех осей координат) и что все колебания являются гармоническими и имеют одну и ту же частоту. Отсюда видно, что при таком подходе реальная кристаллическая решетка заменяется совокупностью 3N гармонических осцилляторов. [c.104]

В работе Г. Е. Павленко [88] рассматривалось несколько частных задач о гармонических колебаниях жесткой прямоугольной цистерны, частично заполненной жидкостью. Ряд фундаментальных результатов был получен в 1953—1961 гг. в работах Н. Н. Моисеева [72—79], где даны общие рещения движения твердых тел различной формы, частично заполненных жидкостью. Рассмотрен также случай больших амплитуд жидкости для плоской задачи. [c.84]

Переходной режим в системе с жидким наполнением значительно продолжительнее переходного режима системы, в которой жидкость можно рассматривать как твердое тело. Это объясняется тем, что собственные колебания маловязких жидкостей затухают медленно. Жидкость в системе играет роль гармонического источника возбуждения с медленно уменьшающейся амплитудой. [c.282]

Улучшение квантовой теории теплоемкостей может быть достигнуто, если основываться на более правильной модели твердого тела, учитывающей взаимодействие атомов. Каждый атом в кристаллической решетке связан с окружающими атомами и не может колебаться независимо от них. В результате взаимодействия атомы в решетке совершают сложные движения, которые можно приближенно представить как сумму гармонических колебаний с различными частотами. При этом для системы из N атомов приходится рассматривать ЗЛ/ независимых частот колебаний, принимающих значения от нуля до некоторой максимальной частоты т, которая качественно определяется минимальной длиной волны, близкой к величине межатомного расстояния. Эти частоты настолько близко расположены друг к другу, что их распределение можно рассматривать как непрерывную функцию f(v), часто называемую спектром частот. Если функция распределения известна, то можно рассчитать теплоемкость, которая в этом случае выражается уравнением [c.265]

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ГАРМОНИЧЕСКОГО ВНЕШНЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ ПРИ НАЛИЧИИ В СИСТЕМЕ ЛИНЕЙНОГО ДЕМПФЕРА [c.844]

При нагревании материала вследствие увеличения подвода энергии частота колебания атомов и межатомные расстояния увеличиваются. На рис. 6.4 показана зависимость энергии взаимодействия двух атомов от расстояния между ними. Если бы потенциальная яма между парой атомов имела точно параболическую форму даже при больших амплитудах колебания, то среднее отклонение двух атомов должно было бы быть одним и тем же, т. е. силы взаимодействия между атомами были бы гармоническими . Твердое тело, для которого характерен только гармонический характер колебания атомов, не должно расширяться при повышении температуры. Причиной теплового расширения является асимметричность кривой энергия взаимодействия — расстояние между атомами и, следовательно, ангармонический характер колебаний атомов в твердом теле. Это означает, что полуамплитуда подъема больше полуамплитуды спада колебаний. Проводя горизонтальные линии на рис. 6.4, можно наглядно показать различие средних значений энергии и, следовательно, различие температур. Увеличение энергии приводит к увеличению среднего расстояния между атомами (линия АВ) и твердое тело должно расширяться. Величина термического расширения зависит от энергии межатомного взаимодействия, т. е. от крутизны и ширины потенциальной ямы. При наличии прочных ковалентных связей, например в алмазе или карбиде кремния или в ионных телах с малым радиусом и высоким зарядом ионов, коэффициент термического расширеня будет низким. В этих случаях наблюдается быстрое изменение потенциальной энергии в зависимости от расстояния между атомами. Для молекулярно-кристаллических тел или полимеров со слабым меж- [c.246]

Парадокс принуждения. Для иллюстрации этого пфадокса, а также предыдущей законом ности рассмотрим следующий прим ). Пусть необходимо обеспечить прямолинейные поступательные колебания мягковиброизолированного твердого тела по закону, близкому к гармоническому (рис. 6.7). Для этой цели могут быть использованы два [c.184]

Сложное Движение частиц, образующих твердое Тело, можно в определенном приближении разложить на сумму нормальных колебаний, каждое из которых обычно характеризует собой волну, расгфостраняющуюся в системе. С этой точки зрения система 1предста1вляет собой совокупность гармонических осцилляторов, причем каждому нормальному колебанию соответствует свой собственный осциллятор. Такого рода колеблющиеся осцилляторы можно рассматривать как квантовую систему диполей, возбуждающих элементарные порции энергии — фононы. [c.42]

Движение, возникающее в вязкой жидкости при колебаниях погруженных в нее твердых тел, обладает рядом характерных особенностей. Для изучения этих особенностей удобно начать с рассмотрения простого типичного примера (G. G. Stokes, 1851). Пусть несжимаемая жидкость соприкасается с неограниченней плоской поверхностью, совершающей (в своей плоскости) простое гармоническое колебательное движение с частотой ш. Требуется определить возникающее при этом в жидкости движение. [c.121]

В этом случае в качестве модели можно выбрать твердое тело, атомы которого совершают малые колебания около положений равновесия в узлах кристаллической решетки. Каждый атом независимо от соседей колеблется в трех взаимно перпендикулярных направлениях, т. е. имеет три независимые колебательные степени свободы. Как мы видели в предыдущей главе, такой атом можно уподобить совокупности трех линейных гармонических осцилляторов. При колебаниях осциллятора происходит последовательное преобразование кинетической энергии в потенциальную и потенциальной в кинетическую. Поскольку средняя кинетическая энергия, составляющая квТ/2 на одну степень свободы, остается неизменной, а средняя потенциальная энергия точно равна средней кинетической, то средняя полная энергия осциллятора, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, составляет ksTi. [c.164]

Для определения зависимости теплоемкости от температуры Т необходимо знать, как зависит от температуры тепловая энергия твердого тела. Задача, следовательно, сводится к тому, чтобы вычислить среднюю энергию колебаний атома по одному из трех взаимно перпендикулярных направлений. Помножив результат на число атомов и на 3 (соответственно трем слагающим движения), МЫ получим полную тепловую энергию. Формула для определения среднего значения энергии линейного гармонического осциллятора была выведена еще Планком, который считал, что в тепловом равновесии состояния с тем или иным значенпем энергии встречаются с относительной вероятностью, определяемой фактором Больцмана и в расчет долл ны приниматься не все энергии, а лишь дискретные значения энергии вида п (п — 0, 1, 2, 3,...,). [c.166]

При рассмотрении колебаний атомов кристаллической решетки а также теплоемкости твердых тел, связанной с этими колебания ми, предполагалось, что силы, действующие между атомами, упру гие и атомы совершают гармонические колебания с малыми ам плитудами около их средних положений равновесия. Это позволи ло разделить весь спектр колебаний на независимые моды, рассчи тать в этом приближении тепловую энергию кристалла и получить формулу для теплоемкости, хорошо описывающую ее поведение при низких и высоких температурах. Однако для объяснения ряда явлений, таких, например, как тепловое расширение твердых тел и теплопроводность, сделанных предположений уже недостаточно и необходимо принимать во внимание тот факт, что силы взаимодействия между атомами в решетке не совсем упругие, т. е. они зависят от смещения атомов из положения равновесия не линейно, а содержат ангармонические члены второй и более высоких степеней, влияние которых возрастает с ростом температуры. [c.183]

Нормальные колебания. Рассмотрим сначала возбуждения, связанные с колебаниями решетки, которые встречаются во всех твердых телах. Точно оннсать состояния всех атомов очень трудно, так как нотенциальная энергия такой системы зависит от разно( ти координат каждой нары атомов. Однако для малых амплитуд колебаний около положений равновесия силы, действующие между атомами, можно ириближенно рассматривать как гармонические. Тогда координаты отдельных атомов можно заменить их линейными комбинациями (называемыми нормальными координатами), подобранными таким образом, чтобы выражения для кинетической и потенциальной энергий содержали только квадраты нормальных координат и их производных по времени. Поскольку в этом случае выражения для энергпп уже не будут содержать произведений координат разных атомов, такую систему можно рассматривать как совокупность независимых гармонических осцилляторов. Число таких осцилляторов для кристалла, содержащего N атомов, будет равно 37V, что соответствует трем степеням свободы каждого атома. [c.317]

КОЛЕБАНИЯ (вынужденные [возникают в какой-либо системе под влиянием внешнего воздействия переменного пружинного маятника (характеризуется переходным режимом и установившимся состоянием вынужденных колебаний резонанс выявляется резким возрастанием вынужденных механических колебаний при приближении угловой частоты гармонических колебаний возмущающей силы к значению резонансной частоты) электрические осуществляют в электрическом колебательном контуре с включением в него источника электрической энергии, ЭДС которого изменяется с течением времени] гармонические относятся к периодическим колебаниям, а изменение состояния их происходит по закону синуса или косинуса затухающие характеризуются уменьшающимися значениями размаха колебаний с течением времени, вызываемых трением, сопротивлением окружающей среды и возбуждением волн когерентные должны быть гармоническими и иметь одинаковую частоту и постоянную разность фаз во времени комбинационные возникают при воздействии на нелинейную колебательную систему двух или большего числа гармонических колебаний с различными частотами кристаллической решетки является одним из основных видов внутреннего движения твердого тела, при котором составляющие его частицы колеблются около положений равновесия крутильные возршкают в упругой системе при периодически меняющейся деформации кручения отдельных ее элементов магнитострикционные возникают в ферромагнетиках при их намагничивании в периодически изменяющемся магнитном поле модулированные имеют частоту, меньшую, чем частота колебаний, а также определенный закон изменения амплитуды, частоты или фазы колебаний неавтономные описываются уравнениями, в которые явно входит время некогерентные характерны для гармонических колебаний, частоты которых различны незатухающие не меняют свою энергию со временем нормальные относятся к гармоническим собственным колебаниям в линейных колебательных системах [c.242]

Столь же просто к рассмотренной выше сводится задача о движении частицы (поступательно движущегося твердого тела) по неподвижной шероховатой плоской поверхности под действием приложенной к частице гармонической вынуждающей силы Р=Ро sin со , направленной под углом (3 к поверхности (рис. 16,5). В этом случае, с которым приходится встречаться в теории простейших вибрационных экипажей, ускорение колебаний во всех приведенных ранее выражениях следует заменить величиной PJtn. [c.35]

Особенности задачи о возбуждении вибрационных полей упругих тел могут быть выяснены на примере простейшей, но практически часто встречающейся задачи об обеспечении гармонических колебаний частоты со свободной (мягко виброизолиро-ванной) балки, близких к прямолинейным гармоническим колебаниям как абсолютно твердого тела (рис. 3, а) [1, 2]. В продольном направлении будем считать балку абсолютно жесткой. Если первая частота собственных упругих колебаний балки в достаточной мере превышает частоту со, то балку можно рассматривать как абсолютно жесткую, и задача становится тривиальиой для возбуждения требуел ых колебаний достаточен, напрнмер, один вибровозбудитель направленного действия, вынуждающая сила которого проходит через центр тяжести балки 0 (рис. 3, б). [c.150]

Два одинаковых бн-гармонических деба-лансных вибровозбудителя, симметрично расположенных на мягковиброизолиро-ванном твердом теле, которое может совершать плоские колебания передаточное отношение между валами каждого вибро-возбудителя I = 2 статические моменты массы дебалансов каждого внбровозбудителя связаны соотношением те = 4/п е [c.486]

Пример 3. Рассмотрим плоские колебания твердого тела массой т под действием гармонической силы Qfj sin pt (рис. 6.5.8). Система имеет три степени свободы, ее движение без учета диссипативных сил описьшаегся ачедующи.ми уравнениями [c.372]

Муравский Г. Б. Гармонические колебания штампа на полупространстве при действии силы, приложенной к поверхности полупростраиства.— Изв. АН СССР. Механика твердого тела , 1969, № 6. [c.340]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...