Нелинейные системы с одной степенью свободы

Действие вынуждающей силы на нелинейную систему. Будем считать, что из обобщенной силы, действующей на нелинейную систему, можно выделить часть, зависящую только от времени ее, как уже говорилось выше, называют вынуждающей силой. Движение нелинейной системы с одной степенью свободы, находящейся под воздействием силы P(t), в общем случае описывается уравнением, имеющим следующий вид [c.231]

Хотя это уравнение выведено для схемы, показанной на рис. 1.1,6, но к аналогичному уравнению можно прийти при решении любой задачи о свободных колебаниях нелинейной системы с одной степенью свободы без трения. Так, для системы, совершающей крутильные колебания, в эту формулу вместо массы т нужно подставить момент инерции /, вместо перемещения X — угол поворота ф, вместо восстанавливающей силы Р х) — восстанавливающий момент М (ф). [c.71]

Ниже будут рассмотрены оба случая, причем речь пойдет о колебаниях нелинейной системы с одной степенью свободы (фиг. 6). По-видимому, решение таких задач должно служить необходимым методическим введением к исследованию упруго-фрикционных систем с распределенной массой. Излагаемый способ, будучи приближенным, в то же время дает совершенно точные результаты в двух крайних случаях (при очень малых и при очень больших контактных давлениях). О пригодности способа в других случаях можно будет судить лишь путем сравнения с точным решением пока это остается делом будущего. [c.228]

Движение нелинейной системы с одной степенью свободы при параметрическом возбуждении часто описывается дифференциальным уравнением [c.23]

Представить полную качественную картину движений нелинейного осциллятора (консервативной нелинейной системы с одной степенью свободы) можно, по существу, не решая конкретной задачи, просто по виду его фазового портрета. Из записанного выше выражения для закона сохранения энергии скорость выражается так [c.275]

Образование новых частот после возмущения вырожденных систем исследовано в работах В. И. Арнольда [8], [9], [10]. В качестве следствия доказана вечная адиабатическая инвариантность действия при —(X) < i < 00 в нелинейных системах с одной степенью свободы, параметры которых изменяются периодически, а также что магнитная ловушка с осесимметричным магнитным полем может бесконечно долго удерживать заряженные частицы. [c.97]

НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [c.105]

Зависимость F(q) называют квазиупругой характеристикой или характеристикой жесткости. На рис. 3.2 показаны некоторые нелинейные системы с одной степенью свободы и соответствующие им характеристики жесткости. Среди приведенных здесь характеристик можно выделить характеристики симметричные (рис. 3.2, а, б, в) и несимметричные (рис. 3.2, г), характеристики с разрывами (рис. 3.2, в), характеристики гладкие (рис. 3.2, а) и ломаные (рис. 3.2, б, в, г). [c.58]

В линейных системах вынужденные колебания от гармонической возмущающей силы происходят с частотой или периодом последней. В нелинейных системах вынужденные колебания от гармонической возмущающей силы могут происходить не только с периодом возмущающей силы, но и с периодами, равными целым кратным последнего. В связи с этим в данной нелинейной системе с одной степенью свободы, на которую действует только одна гармоническая возмущающая сила, возможны несколько резонансных режимов. [c.472]

В первом томе были рассмотрены некоторые простейшие вопросы теории колебаний материальной точки с одной степенью свободы. В этой главе мы перейдем к изучению теории колебаний систем с несколькими степенями свободы, ограничившись рассмотрением малых колебаний в окрестности положения устойчивого равновесия. Затем вновь остановимся на рассмотрении колебаний системы с одной степенью свободы. Будут изучаться нелинейные и квазигармонические колебания, не встречавшиеся в элементарной теории, изложенной в первом томе. [c.215]

Здесь рассматриваются нелинейные колебания системы с одной степенью свободы. Конечно, колебания системы совсем не затрагивались в первом томе. Сначала рассмотрим колебания системы, выведенной из состояния устойчивого равновесия. [c.275]

Следует иметь в виду, что системы с одной степенью свободы представляют собой объект, наиболее доступный для исследования возможных колебательных движений при самых разных их нелинейных свойствах. Нелинейные же системы с двумя и большим числом степеней свободы и распределенные системы поддаются последовательному анализу лишь в отдельных частных случаях. Их рассмотрение даже в линейном приближении значительно более сложно, громоздко и не допускает ряда качественных и наглядных приемов, которые возможны для систем с одной степенью свободы. Поэтому изложение материала в гл. 6—12 имеет несколько другой характер, чем в первых главах оно несколько более конспективно, в целях выделения основных физических результатов опускается ряд промежуточных выкладок, особенно при применении изложенных ранее методов анализа. Однако эти различия в изложении отдельных разделов, по нашему мнению, вполне оправдываются спецификой рассматриваемых вопросов, тем более, что значительная часть материала, приведенного в книге, ранее не излагалась в учебных пособиях по теории колебаний. [c.13]

Исследование свободных колебаний в нелинейных диссипативных системах с одной степенью свободы методом поэтапного рассмотрения [c.60]

Выше уже указывалось, что характер протекания резонансных явлений в колебательных системах с одной степенью свободы существенно меняется в зависимости от того, является ли изучаемая система линейной или обладает определенными нелинейными свойствами, а также от характера рассматриваемого воздействия. Даже ограничиваясь случаем гармонической формы воздействия, мы встречаемся с весьма различными особенностями резонансных явлений при прямом (силовом) или параметрическом воздействиях. В предыдущих параграфах рассматривались процессы, протекающие при простейших видах воздействия в линейных и нелинейных системах. [c.139]

На примерах релаксационных систем мы убедились в том, что для математического описания движения в реальных автоколебательных системах с одной степенью свободы необходимо пользоваться дифференциальными уравнениями второго порядка. Для систем, описываемых такими уравнениями, можно получить изображение соответствующего движения на фазовой плоскости. В некоторых случаях, когда уравнение нелинейно и не поддается аналитическому решению, построение фазового портрета движения в системе является существенной помощью в определении формы колебаний и динамики их установления. Следует отме- [c.196]

В третьем издании книги раздел Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы дополнен изложением приближенного метода определения амплитуды вынужденных колебаний в случае нелинейного сопротивления. [c.3]

ОТ встречаются и такие случаи, когда нелинейные силы имеют смешанный характер — зависят и от ( , и от д, и их нельзя представить в виде слагаемых, зависящих либо только от д, либо только от д. В случае системы с одной степенью свободы можно ввести Р д, д) — характеристику смешанной силы, взятую с обратным знаком смешанную силу (рис. 17.35). В некоторых случаях удается смешанную силу (характеристику смешанной силы), представить в виде произведения [c.70]

Нелинейные свободные колебания консервативной системы. Указанные в заголовке раздела колебания в случае системы с одной степенью свободы описываются уравнением следующего вида [c.220]

Для свободных колебаний нелинейных систем характерна зависимость частоты свободных колебаний от начальных условий, т. е. от размахов колебаний. Так, например, если у системы с одной степенью свободы характеристика восстанавливающей силы симметрична (см. рис. 17.33), то [c.221]

Нелинейные свободные колебания диссипативной системы. Уравнение, описывающее колебания, указанные в заголовке раздела, в случае системы с одной степенью свободы в общем случае имеет вид [c.222]

Автоколебания описываются нелинейным дифференциальным уравнением (или уравнениями), вследствие чего автоколебания относятся к классу нелинейных колебаний. Так, например, в случае системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение имеет вид ) [c.227]

Таким образом, задача о закритических деформациях стержней опять сведена к нелинейной задаче деформации системы с одной степенью свободы. Если считать, что внешние нагрузки возрастают пропорционально одному параметру Р, то зависимости между параметром и параметром нагрузки Р устанавливаются из условия б (АЭ) = О, в данном случае из условия = Q. Эта зависимость будет иметь такую структуру [c.127]

Поскольку в зависимости (5.86) все функции Wx x, у), и . (х, у)у (х> у). Фг ( > у) считаем известными из решения линейной задачи устойчивости пластины, закритическое деформирование пластины в окрестностях критической точки бифуркации определяется только параметром с . Таким образом, с помош,ью приближенного решения задача исследования закритического поведения пластины сводится к элементарной нелинейной задаче для системы с одной степенью свободы (см. гл. 1). [c.217]

Автоколебания на металлорежущих станках. Принимая во внимание нелинейную характеристику силы резания Р (х), дифференциальное уравнение движения системы с одной степенью свободы можно написать так [c.92]

В 1 были изложены основные условия использования асимптотических методов в теории нелинейных колебаний и приведены уравнения в стандартной форме (5.5) для системы с одной степенью свободы. В гл. IV были выведены уравнения в стандартной форме в предположении, что система испытывает одночастотные колебания и что ее выход является узкополосным процессом с медленно изменяющейся амплитудой и фазой. Воспользуемся этим методом для исследования параметрических систем. [c.204]

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [c.231]

Дифференциальное уравнение свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы при нелинейной характеристике восстанавливающей силы составляется аналогично уравнению (И.1), но вместо линейной восстанавливающей силы в него нужно ввести нелинейную силу, конкретное выражение которой определяется упругой характеристикой системы Р (х) [c.71]

Подсчитывая с использованием (3.53) изменение полной потенциальной энергии стержня, приходим к простой алгебраической зависимости ДЭ = АЗ ( j). Таким образом, используя метод Рэлея—Ритца, задачу исследования закритического деформирования стержня можно свести к задаче исследования нелинейной системы с одной степенью свободы. [c.120]

А. С, Вольмира и И. Г. Кильдибекова (1964, 1965) эволюция упругих систем с конечным числом степеней свободы трактовалась как марковский процесс в фазовом пространстве. Основное содержание этих работ составляет приближенная оценка вероятности хлопка (первого выхода за пределы сепаратрисы или первого пересечения энергетического барьера для простейшей модели оболочки — нелинейной системы с одной степенью свободы). Эта задача изучалась также Б, П. Макаровым (1965) методом электронного моделирования. Переход к системам с несколькими степенями свободы связан, однако, с большими трудностями. В, В, Болотин и Б, П, Макаров (1965) предложили оценивать устойчивость равновесия по среднему времени пребывания системы в некоторой окрестности равновесия и разработали приближенный метод решения дифференциального уравнения Л, С, Понтрягина, Дальнейшие результаты даны в работе Б, П Макарова (1965), [c.359]

МЕТОД ИЗОКЛИН. В дальнейшем изложении теории нелинейных колебаний ограничимся главным образом системами с одной степенью свободы, наметив в общих чертах некоторые методы общей теории нелинейных систем со многими степенями свободы. В частности, в этой главе мы будем заниматься простейшими нелинейными системами с одной степенью свободы, объединив их изучение одним общим методом фазовой плоскости или методом изоклин. Это — один из графических методов интегрирова-. ния системы дифференциальных уравнений вида [c.472]

В гл. 15 исследована нелинейная (и очетп. кратко - линейная) диссипативная система только с одной степенью свободы. Осталась в стороне вся теория вьшужденных колебаний в линейных системах с двумя и И степенями свободы. Эта теория подробно изложена в лекциях Л.И. Мандельштама [17], в уже упоминавшейся книге С.П. Стрелкова [24] и в учебных пособиях [3,21]. Краткий анализ нелинейных систем с П степенями свободы дан в гл. 5 справочника [8] и в цитированной в нем литературе по механическим колебаниям (в той же главе можно найти дополнительные сведения и по колебаниям нелинейной системы с одной степенью свободы). Теория неавтономных квазилинейных систем с двумя степенями свободы разработана Н.В. Бутениным [5, 6] и получила дальнейшее развитие в зарубежных работах [9]. [c.325]

В качестве примера нелинейной консервативной колебательной системы с одной степенью свободы рассмотрим электрический колебательный контур без затухания с конденсатором, в котором нет линейной зависимости напряжения от заряда. Подобными нелинейными свойствами обладают конденсаторы, в которых в качестве диэлектрика используются материалы, имеющие сег-нетоэлектрические свойства, и емкости, возникающие в р п-переходах (например, в полупроводниковых диодах) при обратном напряжении смещения. [c.29]

Познакомимся с возможностью приближенного графического построения фазовых траекторий диссипативной системы с одной степенью свободы при помощи приема, развитого Льенаром. Этот метод предложен для случая, когда нелинейные свойства системы определяются исключительно законом зависимости силы трения (или сопротивления) от скорости (или силы тока), причем сама сила не зависит от величины независимой переменной (координата или заряд). В таком случае уравнение движения имеет вид [c.55]

Точное решение задачи о свободных колебаниях в нелинейных диссипативных системах в подавляющем большинстве случаев наталкивается на весьма большие и очень часто неразрешимые трудности. Поэтому (как и в случае консервативных систем) приходится искать методы приближенного расчета, которые с заданной степенью точности позволили бы найти количественные соотношения, определяющие движения в исследуемой системе при заданных начальных условиях. Из ряда возможных приближенных методов рассмотрим в первую очередь метод поэтапного рассмотрения. Мы уже указывали, что этот метод заключается в том, что в соответствии со свойствами системы все движение в ней заранее разбивается на ряд этапов, каждый из которых соответствует такой области изменения переменных, где исследуемая система с достаточной точностью описывается или линейным дифференциальным уравнением, или нелинейным, но заведомо интегрируемым уравнением. Записав решения для всех выбранных этапов, мы для заданных начальных условий находим уравнение движения для первого этапа, начинающегося с заданных начальных значений. Значения переменных 1, х, у = х) конца первого этапа считаем начальными условиями для следующего этапа. Повторяя эту операцию продолжения решения от этапа к этапу со сшиванием поэтапных решений на основе условия непрерывности переменных х и у = х, мы можем получить значения исследуемых величин в любой момент времени. Если разбиение всего движения системы на этапы основано на замене общей нелинейной характеристики ломаной линией с большим или меньшим числом прямолинейных участков, то подобный путь обычно называется кусочно-линейным методом. В этом случае на каждом этапе система описывается линейным дифференциальным уравнением. Условие сшивания решений на смежных этапах — непрерывность х я у = х — необходимо и достаточно для системы с одной степенью свободы при наличии в ней двух резервуаров энергии и двух форм запасенной энергии (потенциальной и кинетической, электрической и магнитной). Существование двух видов резервуаров энергии является также необходимым условием для возможности осуществления в системе свободных колебательных движений, хотя для диссипативных систем оно недостаточно. При большом затухании система и с двумя резервуарами энергии может оказаться неколебательной — апериодической. [c.60]

Допустимость такой операции с инженерной точки зрения подтвердил эксперимент. Теперь остается найти методику для определения амплитуд колебаний проекций перемещения ротора в плоскости действия постоянной силы. Амплитуды колебаний этой проекции можно приближенно определять, как амплитуды колебаний одномассовой нелинейной системы, на которую действует постоянная сила. Такая задача для одномассовой нелинейной системы, имеющей одну степень свободы, была рассмотрена А. И. Чекмаревым применительно к крутильным колебаниям [35]. [c.152]

Между формой нелинейных характе-I нстик упругого элемента и формой резонансных кривых имеется определенная связь. Для приближенного построения резонансной кривой псевдогармопи-ческих колебаний системы с одной степенью свободы задаются значениями амплитуды А и находят соответствую- [c.345]

При расчетах вибрационных машин часто возникает необходимость вычисления некоторых эквивалентных или приведенных значений позиционных, инерционных и днссипатнвных параметров системы. Такие задачи встречаются в трех различных ситуациях. Во-первых, когда упругие элементы или демпферы составляют последовательную, параллельную или смешанную группу, возникает необходимость подсчитать эквивалентное значение коэффициента жесткости или коэф [)Нцненга сопротивления группы. Во-вторых, в системах, где скорости (угловые скорости) ряда точек (или элементов) связаны постоянными передаточными отношениями, бывает целесообразно привести массы, моменты ииерции, коэффициенты жесткости и сопротивления к какой-либо одной точке или одному элементу без изменения принципиальной расчетной схемы машины. В-третьих, нахождение эквивалентных значений параметров становится необходимым в результате упрощения, иногда грубого, принципиальной расчетной схемы машины, например приведения системы с распределенными параметрами к системе с одной степенью свободы или приведение сильно нелинейной системы к линейной. [c.163]

Одной нз первых моделей системы, предложенной Н. А. Дроздовым, является модель колебательной системы с одной степенью свободы, взаимодействующей с процессом резания детали, несущей следы от предыдущего прохода резца. Любое, в том числе случайное, возмущение вызывает затухающие колебания системы ее собственной частоты. При этом резец оставляет волнистый след на поверхности детали. При следующем проходе резец срезает слой, имеющий вследствие этого переменную толщину. Изменяющаяся с частотой волнистости, т. е. с собственной частотой системы, сила резания вызывает вновь колебания системы, и так далее. При некоторых условиях происходит раскачка системы, т. е. увелнчгние амплитуды колебаний до значения, ограничиваемого той или иной нелинейностью. Эта модель отражает важную особенность динамической системы станок—резаниэ, существенно влияющую на ее устойчивость. Метод определения условий потери устойчивости, т. е. появления раскачки , описанный выше, показывает, что область отсутствия автоколебаний сужается (по амплитудному значению характеристики разомкнутой системы) по меньшей мере в 2 раза. [c.124]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...