Адиабатическая инвариантность действия

Е. Доказательство адиабатической инвариантности действия. [c.264]

Образование новых частот после возмущения вырожденных систем исследовано в работах В. И. Арнольда [8], [9], [10]. В качестве следствия доказана вечная адиабатическая инвариантность действия при —(X) < i < 00 в нелинейных системах с одной степенью свободы, параметры которых изменяются периодически, а также что магнитная ловушка с осесимметричным магнитным полем может бесконечно долго удерживать заряженные частицы. [c.97]

Ради простоты мы докажем адиабатическую инвариантность переменных действия только для одномерного случая можно заметить, что аналогичное доказательство справедливо также и для случая с большим числом степеней свободы, если не существует соотношения типа [c.174]

Очень важным свойством переменных действия является их адиабатическая инвариантность. Это свойство заключается в том, что переменные действия сохраняют постоянные значения при достаточно медленном изменении параметров системы (изменения параметров за )время, сравнимое с периодами системы 7 г = 2я/(0 , весьма малы). Для доказательства этого утверждения рассмотрим систему, которая в каждый момент времени близка по свойствам к изученной выше обобщенно-консервативной системе с разделяющимися и периодически изменяющимися со временем переменными. Гамильтониан такой системы явно зависит от медленно меняющихся со временем параметров А., т. е. имеет вид [c.443]

Мы увидим, что во многих невозмущенных интегрируемых задачах движение оказывается условно периодическим. При исследовании движения как в невозмущенной, так и особенно в возмущенной задаче полезны специальные симплектические координаты переменные действие — угол . В заключение мы докажем теорему, обосновывающую теорию возмущений одночастотных систем, и докажем адиабатическую инвариантность переменной действия в таких системах, [c.238]

Здесь доказана адиабатическая инвариантность переменной действия в системе с одной степенью свободы. [c.256]

Аналогичным образом доказывается вечная адиабатическая инвариантность переменной действия в задаче о движении заряженной частицы в аксиально-симметричном магнитном по-ге. Нарушение аксиальной симметрии в этой задаче увеличивает число степеней свободы с двух до трех, так что инвариантные торы перестают делить многообразие уровня энергии и становится существенным блуждание фазовой кривой по резонансным зонам. [c.381]

Адиабатическая инвариантность переменной действие в одночастотных системах. Рассмотрим гамильтонову систему с одной степенью свободы, параметры которой плавно изменяются гамильтониан Е = Е(р, q, к), Х=А,(т), т = е/, 0<е-<1 (например, маятник с плавно изменяющейся длиной). Функцию Я,(т) будем предполагать достаточно гладкой. [c.214]

Другим важным приложением является движение заряженной частицы в магнитном и электрическом полях. Прежде всего было установлено, что магнитный момент является адиабатическим инвариантом, связанным с ларморовским вращением заряженной частицы [7]. В дальнейшем были рассмотрены адиабатические инварианты и для других степеней свободы частицы. Эта задача стимулировала развитие асимптотических разложений и техники усреднения, а также исследования Чирикова 167 ], в которых он изучал переход. между регулярным и стохастическим движением и установил первый критерий такого перехода (критерий перекрытия резонансов). В дальнейшем был проведен учет влияния высокочастотного поля вследствие его резонанса с ларморовским вращением. В результате был найден предел для высокочастотного нагрева, связанный с существованием инвариантных кривых. Родственная задача о движении частицы в намагниченной плазме под действием волны, иллюстрирующая многие из вышеупомянутых особенностей движения, используется в качестве примера для резонансной теории возмущений (гл. 2) и для определения перехода от адиабатического поведения к стохастическому (гл. 4). Другим интересным приложением теории является движение частиц в ускорителях. Именно в этой области были проведены некоторые ранние исследования поведения многомерных нелинейных систем. Уравнения Гамильтона могут быть использованы также и для описания других типов траекторий, таких, как магнитные линии или лучи в геометрической оптике. В случае аксиально симметричной тороидальной геометрии гамильтониан, описывающий магнитные линии, оказывается интегрируемым. К настоящему времени уже проведен ряд исследований по разрушению тороидальных магнитных поверхностей возмущениями, возникающими как от внешних токов, так и от самосогласованных токов удерживаемой плазмы. Подобные приложения используются ниже в качестве примеров, а также кратко обсуждаются в дополнении А. [c.17]

Одним из обобщений теоремы об инвариантных торах является теорема о вечной адиабатической инвариантности переменной действия в одномерной колебательной системе с периодически меняющид1ися параметрам. Здесь следует предположить, что закон изменения параметров задан фиксированной гладкой периодической функцией медленного времени, а малым параметром задачи является отношение периода собственных колебаний и периода изменения параметров. [c.381]

Для того чтобы найти зфашнения движения частей твердого тела, нужно знать объемные и поверхностные силы, действующие на эти части в процессе деформирования. Внешние силы должны быть заданы. Объемные силы могут быть найдены, коль скоро известна внутренняя энергия деформированного тела (поскольку в дальнейшем нас будут интересовать адиабатические процессы). Относительно внутренней энергии можно сказать, что она должна быть инвариантна относптельпо преобразования координат. С другой стороны, внутренняя энергия является функцией компонент тензора деформаций ), поэтому для выполнения условия инвариантности необходимо, чтобы внутренняя энергия завйсела от инвариантов тензора деформации (8.6) [c.294]

НИИ по окружности, называемой ларморовской, и дрейфа этой окружности (рис. 50). Гамильтонова система, описывающая это движение, имеет три степени свободы. Из-за инвариантности гамильтониана относительно сдвига вдоль поля и поворота вокруг направления поля число степеней свободы понижается до единицы. Все траектории приведенной системы периодичны, ее переменная действие — магнитный момент 1=уЛ 2В), где Ух — перпендикулярная полю составляющая скорости частицы, В — напряженность поля . Если теперь поле плавно неоднородно (мало меняется на длине ларморовского радиуса), то магнитный момент является адиабатическим инвариантом [1801. Теория движения в плавно неоднородном поле описана в [180] без использования гамильтоновского формализма гамильтонова теория построена в [1531,(166]. [c.218]

Теорема 27 ([5]). При медленном периодическом изменении функции Гамильтона нелинейной колебательной системы с одной степенью свободы переменная действие I является вечным адиабатическим инвариантом. Большая часть фазового пространства задачи заполнена инвариантными торами, близкими к торам /= onst. [c.224]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...