Простейшие функции Грина

Решение системы (2.4), удовлетворяющее граничным условиям (2.5), ищем в два приема. Сначала находим вынужденное решение этой системы, не накладывая граничных условий. Такое решение 1/о, Фо представляет собой просто функции Грина безграничного пьезоэлектрика. Прибавим затем к 7о, Фо решение системы (2.4) без источника с неопределенными коэффициентами (отраженные границей волны 17 , Ф ). Требуя выполнения граничных условий, найдем эти коэффициенты и тем самым функции Грина ограниченного кристалла. [c.169]

ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА 37 [c.37]

ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА 39 [c.39]

ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА 41 [c.41]

ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА [c.43]

ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА 45 [c.45]

ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА 47 [c.47]

ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА 49 [c.49]

ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА 51 [c.51]

Запишем теперь в явном виде уравнения (6.2) — (6.4) для некоторых простейших функций Грина. Ограничимся здесь [c.59]

В этом и следующем параграфах мы покажем, что знание простейших функций Грина, определенных в условиях термодинамического равновесия, позволяет исследовать не только равновесные свойства системы, но и величины, характеризующие ее реакцию на всякого рода внешние воздействия. В частности, оказывается возможным вычислять потоки заряда, энергии и других величин, возникающие в системе при наложении электрического поля и т. д. Тем самым получаются формально замкнутые выражения для электропроводности и других кинетических коэффициентов. [c.135]

Построение функции Грина в общем случае представляет собой весьма сложную задачу, которая в настоящее время решена лишь для областей достаточно простой формы и для изотропных и однородных материалов. [c.94]

Функция Грина. Гармоническая функция как сумма потенциалов простого и двойного слоя [c.166]

Задача в этом случае может быть решена классическим методом построения функций Грина для трехмерного уравнения Лапласа, но вследствие малости поперечных размеров капиллярной трубки по сравнению с длиной и высокой проводимости металла можно считать окружность поперечного сечения трубки эквипотенциальной с достаточной точностью в пределах разрешающей способности приборов. Поэтому целесообразно сразу принять допущение о цилиндрической симметрии объекта и решать задачу более просто с построением соответствующего интегро-диффе-ренциального уравнения. [c.195]

Функция Грина решетчатой конструкции. Применение групповых динамических жесткостей дает возможность получить простые формулы для расчета вынужденных колебаний решетчатой конструкции и, в частности, найти ее функцию Грина. [c.185]

Приведенный выше пример показывает, что решение простых задач теории упругости методом одной гармонической функции связано с более громоздкими вычислениями по сравнению с методом комплексного переменного. Этот недостаток может быть в значительной мере компенсирован при решении сложных задач, решение которых не выражается через элементарные функции, для областей, где легко определяется регулярная часть функции Грина уравнения Лапласа. Как видно из примера, итерационный ряд (6) достаточно быстро сходится. [c.11]

Метод функций Грина часто непосредственно применяется для решения линейных дифференциальных уравнений математической физики [59, 3, 28]. Однако полезность различных функций Грина заключается не столько в их удобстве для вычислений, сколько в том, что они выявляют связь между различными решениями [108]. С помощью функций Грина можно, например, получать тождества, неравенства и соотношения симметрии для всевозможных частных случаев. На основе этих функций можно изучать и устанавливать общие свойства решения, зависимости решения от различных наложенных на него условий, что принципиально невозможно в рамках прямых численных методов. Функции Грина удобны еще и тем, что часто допускают простую физическую интерпретацию. [c.20]

Применительно к рассмотренному примеру задачи нестационарной теплопроводности (1.37) сопряженная функция Грина [сопряженная температура 0+] имеет простое физическое толкование. Именно сопряженная температура (л , Х, т, ti) в точке Хо в момент времени то при Р = Ь(х—Xi)6(t—ti), т. е. при измерении температуры в точке Х] в момент времени xi, как раз и есть эта температура в точке Xi в момент времени Ть если в точке Хо действовал тепловой источник единичной мощности в момент времени то. [c.21]

Примеры, иллюстрирующие соотношения между функциями Грина. Рассмотрим сначала простейший случай стационарной теплопроводности в бесконечном цилиндре радиусом R с постоянным коэффициентом теплопроводности X. На радиусе roтепловой источник, создающий на единицу боковой поверхности 44 [c.44]

Введение. В предыдущей главе мы получили функции Грина для многих случаев, интегрируя подходящим образом выбранные частные решения по контуру, лежащему в плоскости комплексного переменного. Такой же метод можно применить и к другим случаям. В самом деле, он является наиболее простым и наиболее прямым путем при решении многих задач теплопроводности. В этой главе мы применим этот метод к решению тех задач, которые уже были решены элементарными методами, и к другим задачам, которые или до сих пор еще не решены совсем, или же разобраны только с помощью операционного метода Хевисайда ). [c.221]

Существует несколько методов построения функции Грина для уравнения вида (2"4-10). Рассмотрим один из них, с нашей точки зрения, наиболее удобный и простой, в котором для построения функции Грина используется свойство [c.103]

Как мы уже видели в предыдущем пункте, квадратичное F -взаимодей-ствие приводит к тому, что кумулянтная функция неограничено нарастает со временем. Именно этот нарастающий со временем член и определяет сдвиг и уширение БФЛ. Выражение (11.62) позволяет довольно просто найти формулы для полуширины и сдвига БФЛ при произвольной силе квадратичного взаимодействия. Для этого необходимо найти функцию Qoo (t), которая описывает поведение функции g t) при больших временах. С этой целью используем для функций Грина в (11.62) следующую формулу [c.149]

Таким образом, знание функции Грина открывает путь к получению явного решения задачи, относительно искомого распределения температуры. Однако найти эту функцию довольно сложно. Функции Грина известны лишь для некоторых областей достаточно простой конфигурации [49]. Вместе с тем для построения функции Грина можно использовать приближенные методы, что позволяет из (1.81) получить для одной и той же области приближенное решение серии задач при различных заданных функциях qv (М), М V h N), iV е и N), N е 2. [c.26]

Для настоящей задачи разность температур можно определить непосредственно из основного решения уравнения теплопроводности в сферических координатах. Испарение жидкости со стенки образует распределенный по поверхности сферы сток тепла, а результирующее распределение температур для области, на которой происходит испарение, просто дается следующей хорошо известной функцией Грина [5] [c.214]

Использование функции Грина (см. гл. XIV) также позволяет найти полное решение общей задачи для произвольной начальной и поверхностной температур. Для простых случаев, указанных в пункте 1, после некоторого упрощения получается такое же решение. Кроме того, применяя функцию Грина, легко найти решения для случая, когда количество тепла, выделяющееся в твердом теле в единицу времени, является заданной функцией положения и времени. [c.176]

Если Vq(x) постоянно, то легко найти решение (4.1) если Vg(x) — простая функция ) X, то легко получить решение уравнения (4.1) в явном виде если она является произвольной функцией, то уравнение (4.1) следует решать методом вариации произвольных постоянных или каким-либо иным аналогичным методом в конце концов получаются результаты, эквивалентные результатам, найденным в гл. II. Однако в настоящее время полагают, что лучше всего искать решения при помощи функций Грина, применению которых посвящена гл. XIV в ней и будут рассматриваться эти решения. [c.299]

В этом частном случае [26] ), когда граничная поверхность представляет собой полуплоскость у = О, х>0, для функции Грина существует простое явное выражение, а именно [c.373]

Решения для непрерывных точечных или линейных источников в областях, рассмотренных в настоящей главе, можно получить путем интегрирования соответствующих функций Грина. Однако эти решения очень просто получаются и непосредственно. В качестве примера рассмотрим непрерывный линейный источник, выделяющий при t>Q в единицу времени на единицу длины количество тепла, равное Q. Источник располагается параллельно оси z цилиндра г- а и проходит через точку (г, 0). Начальная температура цилиндра равна нулю. Теплообмен на его границе отсутствует. [c.378]

Решение системы (15.107) может быть найдено методом простых итераций (см. (15.83), (15.84)) при соответствующем выборе управляющих параметров pj, / 1 /п. После чего уже не составляет труда найти смещения в оболочке и стержнях, так как соответствующие функции Грина предполагаются известными. [c.527]

В этой главе мы продемонстрировали точные решения двух одномерных задач посредством как прямого, так и непрямого МГЭ. Наша цель состояла в том, чтобы показать, что основные идеи методов, тесно связанные с аппаратом функций влияния и функций Грина, достаточно просты и хорошо известны. Каждый этап, включающий упорядоченную последовательность стандартных шагов, снова и снова будет повторяться на протяжении всей книги, так что читателю настоятельно рекомендуется овладеть изложенным выше, прежде чем двигаться дальше. [c.51]

Если деформацию.пластинки можно выразить посредством двойных тригонометрических рядов, то ее можно представить и в более простом виде, использовав свойства двоякой периодичности эллиптических функций. Для величины Дда, удовлетворяющей гармоническому уравнению Д (Дге ) = О, такое представление оказывается особенно удобным вследствие близкой связи между функцией Грина для выражения Aw и функцией, отображающей область заданной пластинки в единичный круг ). С определением Aw непосредственно устанавливается и величина перерезывающих сил как производных этой функции в соответствии с уравнениями (108). [c.380]

Замечательная особенность формул Кубо (5.1.61) - (5.1.63) состоит в том, что они внешне очень просты и имеют весьма общий характер. Как мы увидим дальше, с помощью формул Кубо удобно изучать свойства восприимчивостей и кинетических коэффициентов. Однако подход, развитый в разделе 5.1.1, обычно более удобен при решении конкретных задач, так как в нем проще использовать приближенные методы. При удачном выборе базисных динамических переменных даже весьма грубые приближения для корреляционных функций в уравнениях (5.1.36) дают хорошие результаты для восприимчивостей и кинетических коэффициентов (см., например, [68, 108, 144]). В то же время, при использовании формул Кубо всегда приходится производить частичное суммирование бесконечного ряда теории возмущения для корреляционных функций или функций Грина. [c.354]

Соотношения, полученные в предыдущем параграфе, по существу нельзя рассматривать как решение задач дифракции. Действительно, из полученных квадратур может быть определено поле дифракции только в том случае, если либо известна функция Грина при заданных граничных условиях, т. е. та же задача решена при простейшем возбуждении, либо если известно поле на поверхности тела. Ниже мы покажем, как можно свести дифракционные задачи к интегральным уравнениям с помощью простейших функций Грина — полей точечных источни- [c.114]

Рассмотрим теперь частный случай, когда фурье-образ массового (или поляризационного и т. д.) операторами (л , у Е) а) не зависит от Е, т. е. М х, у) содержит множитель S (лгр — Уо)> задан а priori, т. е. не содержит искомой функции Грина, и в) эрмитов. Разумеется, фактически такая ситуация — во всяком случае, для простейших функций Грина — может иметь место лишь приближенно. Например, так обстоит дело в системах с мгновенным (в частности. [c.83]

В настоящем параграфе мы дадим формулы, связывающие термодинамический потенциал системы 2 непосредственно с простейшими функциями Грина — одно- и двухфермионной и однобозонной (а также с вершинной частью). Явные выкладки будут проделаны для системы ферми-частиц. Перенос результатов на случай бозе-системы требует лишь изменения некоторых знаков (что будет в должном месте указано). Возможность такого представления термодинамического потенциала обусловлена специфическим характером энергии взаимодействия это — либо парное взаимодействие, либо взаимодействие через квантовое поле. Удобно рассматривать эти два случая порознь. [c.112]

Вид сверток, фигурирующих в теореме Вика, легко установить уже отмечалось, что это —просто функции Грина для соответствующих операторов. Заметим, однако, что фактически здесь следует говорить о невозмущенных функциях Грина. Действительно, легко видеть, что свертка двух бозе-(ферми)-операторов есть с-число тогда и только тогда, когда коммутатор (антикоммутатор) их есть с-число. Так [c.270]

Дальнейший прогресс в развитии статистической физики был вызван появившимися в сороковых годах нашего века работами Боголюбова, Борна, Грина, Кирквуда, Ивона, положившими начало современному, третьему, периоду статистической физики. В этих работах исходя из общего уравнения статистической физики (уравнения Лиувилля) и на основе канонического распределения Гиббса создан метод функций распределения комплексов частиц — метод ББГКИ, или просто метод Боголюбова, как его принято называть в отечественной научной литературе. В последние годы в статистической физике эффективно используются методы квантовой теории поля (метод функций Грина, метод ренорм-группы). [c.182]

Далее отметим, что в часто реализуемых на практике ситуациях внутренним электрическим сопротивлением Х х) элемента батареи можно пренебречь по сравнению с сопротивлением изоляции его электродов (Xg l). Для таких ситуаций формулы (5.105)—(5.108) принимают особенно простой и наглядный вид. Действительно, используя предельный переход при Xg- 0, получаем из (5.105) для функции Грина сопряженного уравнения электропроводности следующее приближенное выражение [c.161]

ПРОПАГАТОР (функция распространения, причинная функция Грина) в квантовой теории ноля (КТП) — функция, характеризующая распространение релятивистского поля (или его кванта) от ощтого акта взаимодействия до другого. П. является решением классич, волнового ур-ния с 6-образной правой Частью, удовлетворяющим специфич. краевым условиям. Простейший П. ОЦх — у) скалярного поля ф(з ) описывает распространение скалярной частицы между точками пространства-времени х а у н может быть представлен в виде 4-мериого интеграла Фурье [c.145]

Функция Грина может быть найдена аналитически для многих случаев (цилиндрическая, сферическая, пологая оболочки плоские пластины различной формы в плане и др.). В этих случаях при помощи принципа суперпозиции решение исходной краевой задачи для оболочки переменной толщины записывается в форгу е четырехкратных (в более простых случаях двухкратных) интегралов. [c.262]

Функцию / (г, g) нетрудно вычислить, если воспользоваться тем, что в системе координат с оЬью z, направленной вдоль вектора относительной скорости g функция Грина G (г — г ) имеет особенно простую форму [c.278]

Решение легко найти, если воспользоваться хорошо известной функцией Грина (4яО )-g p (—x jWt) для простого диффузионного уравнения D d ujdx ) =- du dt. При этом надо учесть, что распределение концентраций, которое описывается уравнением [c.354]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...