Системы с разделяющимися переменными

Нулевой уровень интеграла площадей 1 = (X, р) = О системы (5.6) соответствует задаче Неймана о движении точки по сфере в квадратичном потенциале ( 1 гл. 3), для которой возможно сведение к натуральной двухстепенной гамильтоновой системе с разделяющимися переменными ( 7 гл. 1). В исходной системе (5.1) этому соответствует фиксированный уровень интеграла (5.5) [c.291]

ТО решить их столь же трудно, как и исходные канонические уравнения. Однако метод Гамильтона—Якоби очень удобен для получения приближенных решений в виде рядов для систем, близких к системам с разделяющимися переменными, или, как их чаще называют, для систем, близких к интегрируемым. [c.24]

Системы с разделяющимися переменными [c.70]

Каждая из этих функций 5 (д ) удовлетворяет тогда в этих переменных дифференциальному уравнению второго порядка. Наряду с постоянной энергией в решение входят в качестве параметров ещё 1—1 новых постоянных а ,, а . Всё, что в дальнейшем говорится о системе с одной степенью свободы, справедливо без каких-либо изменений также и для движения каждой отделённой координаты и для соответствующей собственной функции Пу, (д ) системы с разделяющимися переменными. В частности, это верно для радиального движения материальной точки под влиянием центрального поля сил. [c.154]

В системах более чем с одной степенью свободы мы ограничимся рассмотрением лишь тех задач, в которых уравнение, определяющее характеристическую функцию W, является уравнением с разделяющимися переменными (по крайней мере, для одной системы канонических переменных). Движение системы мы будем представлять как движение изображающей точки в многомерном фазовом пространстве (q, р). Будем говорить, что это движение является периодическим, если, проектируя изображающую точку на каждую плоскость (qi, / ,), мы получаем периодическое движение в обычном смысле слова (как для системы с одной степенью свободы). Но так как мы рассматриваем случай полного разделения переменных, то эти движения будут независимыми, и их можно легко исследовать. Согласно уравнениям канонического преобразования [c.318]

Из уравнений (8.3.6) видно, что для систем с разделяющими переменными полный интеграл уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби можно получить в квадратурах. Возникает такая необычная ситуация, что сопряженные переменные qk,Pk в каждой паре связаны непосредственно друг с другом без участия остальных переменных. Механическая система с п степенями свободы может рассматриваться как суперпозиция п систем с одной степенью свободы. Однако истинные уравнения движения такие [c.278]

Определяемые отсюда значения риг подставим во второе уравнение системы (6). Получим дифференциальное уравнение для q с разделяющимися переменными [c.195]

О переменных действие-угол для системы с п степенями свободы. Ограничимся лишь случаем, когда уравнение (13) п. 177, определяющее характеристическую функцию Гамильтона F, является уравнением с разделяющимися переменными. Тогда [c.379]

Решая последовательно систему уравнений (11), из которых первое является уравнением с разделяющимися переменными, а все последующие — линейные уравнения первого порядка, с учетом переменной х можно вычислить переходный процесс в системе при 3>-1 с любой степенью точности. [c.351]

Сделав подстановку у = xz во втором уравнении системы (11.16), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными [c.102]

Интегрирование системы уравнений (6) далеко не всегда бывает таким простым, как в приведенных в предыдущем параграфе примерах. Дифференциальные уравнения линий тока в этих примерах были уравнениями с разделяющимися переменными, а в об- [c.126]

Очень важным свойством переменных действия является их адиабатическая инвариантность. Это свойство заключается в том, что переменные действия сохраняют постоянные значения при достаточно медленном изменении параметров системы (изменения параметров за )время, сравнимое с периодами системы 7 г = 2я/(0 , весьма малы). Для доказательства этого утверждения рассмотрим систему, которая в каждый момент времени близка по свойствам к изученной выше обобщенно-консервативной системе с разделяющимися и периодически изменяющимися со временем переменными. Гамильтониан такой системы явно зависит от медленно меняющихся со временем параметров А., т. е. имеет вид [c.443]

Система (4.26) является замкнутой с разделяющимися переменными, т. е. распадается на две системы первые три уравнения решены в п. 3.3, последние два представляют собой 2 — 1 раз статически неопределимую систему. В формуле (4.26) — реактивный момент -й пары зубьев соединения относительно оси хх, Му1 — то же [c.151]

Если подставить выражения ( 1.1.19), ( 1.1.20) во второе уравнение системы ( 1.1.17), получим уравнение с разделяющимися переменными [c.152]

Если будут найдены функции у), А (а) и В а), к =1, 2,..., то задача сведется к интегрированию весьма простой системы (10.3) с разделяющимися переменными. [c.203]

Если движение по разным степеням свободы многомерной системы почти независимо, то удобным способом наглядного представления движения служат проекции поверхности сечения на плоскости (pi, ji), как показано на рис. 1.3, в (< ). Для регулярного движения с точно разделяющимися переменными pt, qi) площадь сохраняется в каждой плоскости (р,-, qi). При этом для каждой степени свободы существует свой интеграл движения и все проекции лежат на некоторой кривой в каждой из плоскостей pi, qi). Однако в общем случае при Л >2 даже для регулярной траектории пересечения, спроектированные на произвольную плоскость (р,-, qi), не лежат на кривой, а заполняют некоторый конечный слой, размер которого зависит от выбора переменных qi). В рассматриваемом случае пересечения лежат фактически на N—1)-мерной поверхности, проекция которой на любую из плоскостей (рг, qt) занимает область конечной площади. Примеры многомерного движения описаны кратко в п. 1.4в и подробно — в гл. 6. [c.34]

С математической точки зрения плоские задачи о динамическом распространении трещин с переменной скоростью сводятся к решению гиперболической системы уравнений (4.2) со смешанными граничными условиями, задаваемыми на плоскости (причем одно условие — сквозное), когда граница, разделяющая области задания смешанных условий, движется с переменной скоростью. [c.492]

Следовательно, каждая из новых координат является строго периодической функцией с частотой, равной одной из собственных частот. Поэтому координаты обычно называют главными координатами системы. Очевидно, они являются также разделяющимися координатами, а величины сой//2я представляют собой угловые переменные. [c.362]

Особыми аналитическими приемами, позволившими найти разделение переменных для ряда задач динамики твердого тела, включая неголономные системы, в совершенстве владел С. А. Чаплыгин. Известные работы С. В. Ковалевской [86, 87] также до сих пор остаются образцом непревзойденного аналитического мастерства. В двадцатом столетии техника точного интегрирования нахождения разделяющих преобразований была частично утеряна, а ее место заняла общая процедура интегрирования с помощью методов обратной задачи рассеяния и нахождений представлений Лакса. В этом подходе считается, что задача является решенной, если предъявлено коммутационное представление Лакса (см. [31]) со спектральным параметром, позволяющим в принципе получить общее решение в тэта-функциях. С точки зрения алгебраической геометрии здесь идет речь о возможной линеаризации потока на многообразиях Прима (Якоби) и, исходя из анализа полюсных разложений дивизоров), делается вывод о возможности представления решения в функциях Римана, Бейкера - Ахиезера и пр. [c.83]

Предположим, что по первой пли по второй причине линии тока во всех плоскостях ри—замкнутые. Тогда движущаяся частица жидкости возвращается в ту же самую точку, а затем движение повторяется. Мы имеем тогда периодическое движение. Это касается, однако, только траектории движущейся точки, спроектированной на плоскости qit, Pk в отношении же движения во времени периодичность не имеет места. Скорость, с которой точка начинает свой второй виток, не совпадает с первоначальной скоростью, потому что qk и ри в общем случае зависят от всех qi, pi и поэтому возвращения одной пары переменных к начальным значениям недостаточно для того, чтобы движение было периодическим. Однако движение содержит в себе п независимых периодов, и они охватывают неразделяющимся образом все переменные. Метод Делоне показывает, как путем изучения свойств двух основных функций — функции Гамильтона Н и производящей функции S—можно получить все частоты движения. В этом заключается суть метода. Соответствующее преобразование обнаруживает многопериодическую структуру данной системы с разделяющимися переменными и определяет частоты системы в явном виде. Этот процесс не требует ничего, кроме квадратур и разрешения уравнений относительно определенных переменных. [c.283]

Резюме. Делоне предложил замечательный метод изучения систем с разделяющимися переменными, удовлетворяющих дополнительному условию, согласно которому линии тока на разделившихся фазовых плоскостях (7, pii) — замкнутые кривые. Он ввел каноническое преобразование, позиционными координатами которого являются переменные действия Jk, определенные как площади, ограниченные линиями тока. Для движения, осуществляющегося в действительности, Jk являются константами, а сопряженные импульсы, взятые с обратным знаком,— угловые переменные со — линейно меняются со временем /. Частные производные Е по У,- дают п новых констант, являющихся частотами движения v,-. Каждое qk может быть записано в виде кратного ряда Фурье, содержащего все частоты V,- и все их гармоники. Поэтому такие системы называются многопериодными. [c.291]

Теорема Штеккеля полностью определяет класс уравнений Гамильтона— Якоби вида (1) с разделяющимися переменными. Однако, имея заданное уравнение, можно лишь в простых случаях ответить на вопрос, принадлежит ли оно к этому классу, так как трудность возникает при восстановлении функций д ) и (д .) по заданным выражениям А и П. Согласно (16) и (20), лело сводится к разысканию такой системы коэффициентов чтобы при заданных А удовлетворить системе уравнений [c.548]

Система уравнения (3.159) и (3.163) — (3.167) полностью характеризует изменения в соотношении концентраций промежуточных и конечного продуктов и является математической моделью процесса последовательных превращений, соответствующих рис. 3.5. Каждое уравнение этой системы цреобразуется в уравнение с разделяющимися переменными и соответствующим образом интегрируется. Прежде чем привести эти решения, необходимо рассмотреть возможные соотношения между значениями кинетических констант неконсервативности, входящих в эти уравнения. [c.133]

Система является обобщенно-консервативной и имеет циклическую координату -ф, поэтому положим Зо = ао1, З1 = ах ф. После подстановки в уравнение, получим в квадратных скобкгк выражение, зависящее только от 9. Распорядимся выбором 32 9) так, чтобы это выражение равнялось 2- Из уравнения с разделяющимися переменными находим [c.179]

Согласно сказанному вьш1е метод Ван-дер-Поля состоит в переходе исходных уравнений (8.9) [или (8.5)], записанных в стандартной форм к укороченным (усредненным) уравнениям (8.10) [или (8.7)]. Укороченнь уравнения (8.7) весьма просты - с разделяющимися переменными. Состо ниям равновесия укороченных уравнений отвечают предельные Щ1клы и ходной системы (8.1). Правомерность перехода к укороченным уравнени математически обоснована. Именно [c.180]

Р1,. .., Рп, то в шредингеровском представлении квантовой механики аналогичная система описывается уравнением Шредингера для волновой функции г1з( 1,. .., д , Рь . Рп, t). Установление соответствия между кваптовыми и классическими уравнениями на основе этого представления является затруднительным. Традиционным приемом в этом случае является рассмотрение квазиклассического приблиячепия, которое связывает волновую функцию с квазиклассическими траекториями. Однако эта связь является простой лишь для полностью интегрируемых систем, для которых осуществляется независимое квантование функций действия, соответствующих разделяющимся переменным, по правилам, отвечающим квантованию стационарных орбит по Бору — Зоммерфельду [247]. В случае - же систем, в которых в классическом пределе возможны стохастические движения, простого соответствия между стационарными волновыми функциями и классическими траекториями не существует. [c.384]

Вместе с тем нахождение разделяющих переменных в интегрируемой системе очень полезно для изучения ее динамики. Оно позволяет изучить решения, устроенные наиболее просто (случаи вырождения или классы Аппельрота особозамечательных движений волчка Ковалевской), провести бифуркационный (топологический) и качественный анализ [92, 170], явно построить соответствующий набор переменных типа действие-угол. Последнее особенно важно для анализа возмущенной ситуации, а также для целей квантования (например, в квазиклассическом приближении). [c.84]

Для периодических систем с полностью разделяющимися переменными очень удобно выбрать функции J (а) специальным образом. При этом под периодическими мы подразумеваем такие системы, в которых по каждой степени свободы либо р, и д, являются периодическими функциями времени одного периода, либо рс периодически зависит от г. В первом случае говорят о колебаниях, а во втором — о вращении. Периоды движения по каждой степени свободы не обязательно одинаковы. Если они не находятся в рациональном отношении, то движение называется квазиперио-дическим ). Для определения переменных действия как функций ое [c.35]

В качестве упругих элементов торцовых уплотнителей, разделяющих две среды, в конструкциях компрессоров часто используются сильфонные элементы. Точное. определение напряженно-деформированного состояния этих элементов позволяет обеспечить герметичность соединения, долговечность и надежность его эксплуатации. Существующие инженерные методики расчета сильфонов применимы лишь в узком диапазоне типоразмеров и не позволяют учесть особенности конструктивной формы и условий эксплуатации. Более того, для расчета толстостенных сильфонов они, как правило, не пригодны, поскольку не позволяют адекватно определить объемное напряженное состояние. По этой причине для расчета сильфонов была применена программа OMPASS, в которой были использованы объемные конечные элементы с переменным числом узлов на ребрах (квадратичные в окружном направлении и линейные по толщине). На рис. 4 в левом нижнем окне приведена расчетная схема сильфона по ГОСТ 21482-76 из стали 12Х18Н10Т с наружным диаметром 105 мм, внутренним - 75 мм, щагом 5,2 мм и толщиной трубки -заготовки 0,25мм. На рис. 4 в верхнем окне дана схема перемещений гофр от сдвиговой нагрузки, а в правом нижнем углу дана изометрическая проекция фрагмента деформированного и исходного сильфона. Расчетная схема включает 15010 узлов (42722 степеней свободы), 2304 объемных элемента. Матрица коэффициентов системы уравнений равновесия состав- [c.164]

Как показано выше, не все логические функции могут, быть реализованы с помощью пороговых логических элементов с одним линейным неравенством те из них, которые могут быть реализованы, называются пороговыми, или линейно-разделяемыми функциями. В целом существует 2 " логических функций п двоичных переменных (каждая из 2" входных строк таблицы истинности может иметь любой двоичный выход), но число пороговых функций обычно намного меньше — верхний предел их числа составляет (2 + )/л . Например, если п = 3, полное число функций равняется 256, верхнее предельное значение составляет 170, а фактическое число функций оказывается равным 404 [10]. Для п = 2 (простейший случай) можно легко показать, что 14 из 16 возможных булевых логических вентилей с двумя входами, включая И и ИЛИ, могут быть реализованы с помощью единственного порогового элемента таким образом, линейные неравенства пороговой логики можно рассматривать как более общий случай булевой логики. Поскольку любые комбинационные логические функции (с таблицей истинности из постоянных значений). можно реализовать на основе системы вентилей или элементов с не более чем двумя уровнями булевой логики (т. е. сигнал, в системе не должен проходить более двух последовательно соединенных логических вентилей, исключая вентиль НЕ), то оказывается, что то же самое справедливо для пороговой логики. Однако буле-вы логические схемы для сложных функций (например, 16-разрядный умножитель) обычно требуют более двух логических уровней, чтобы избежать соединений на одном и том же уровне неоправданно большого числа логических элементов [16]. Пороговая логика, в частности реализация пороговой лжики в оптике, может смягчить эти требования. Данная характеристика и пример на рис. 5.1 показывают, что пороговая логика имеет потенциальные преимущества, обеспечивая мень- [c.145]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...