Свойства возмущений первого порядка

Это свойство возмущений первого порядка впервые замечено Лапласом для больших планет солнечной системы, но, оче- [c.674]

Свойства возмущений первого порядка [c.118]

Рассмотрим, далее, виртуальные изменения (вариации) состояния нашей системы, под которыми понимают произвольные, но возможные, т. е. допустимые условиями задачи, изменения состояния. В данном случае, поскольку имеется тепловой контакт между частями системы, возможны вариации их внутренних энергий, но невозможны вариации энергии всей (изолированной) системы. Что же касается, например, объемов, то по условиям задачи их вариации невозможны ни у частей, ни у системы в целом. Поскольку система равновесная, невозможны никакие самопроизвольные изменения ее состояния. Следовательно, в отличие от действительно происходящих в системе изменений рассматриваемые виртуальные изменения могут не соответствовать термодинамическим законам и постулатам, которым должны подчиняться все действительно протекающие процессы. Иначе говоря, направление виртуальных изменений может совпадать с направлением любых действительных изменений в неравновесной системе, но обратное утверждение неверное. В рамках термодинамики вариации состояний или термодинамических переменных — это некоторый мысленный эксперимент над интересующей системой, в ходе которого определенные свойства ее считают спонтанно изменившимися по сравнению с их равновесными значениями и, далее, следят, как система реагирует (в соответствии с законами термодинамики) на такие внешние возмущения. Если же учесть микроскопическую картину явления, то становится ясным, что подобные изменения свойств действительно происходят в природе и без каких-либо внешних воздействий на систему с помощью флюктуаций макроскопических величин природа сама непрерывно осуществляет упомянутый эксперимент. Бесконечно малые первого порядка — виртуальные и действительные изменения термодинамических величин — мы будем обозначать символами б и d соответственно. [c.51]

Переход от системы уравнений второго порядка к системе уравнений первого порядка можно осуществлять разными способами, и в результате будут получаться, вообще говоря, различные эквивалентные системы. Среди них особенно простую и симметричную структуру имеет система канонических уравнений Гамильтона. Свойства этих уравнений лежат в основе метода Гамильтона-Якоби исследования движений механических систем, а также современной теории возмущений. Канонические уравнения получаются с помощью преобразования Лежандра. [c.626]

Так как из какого-либо полного решения уравнения в частных производных первого порядка выводятся все остальные полные решения, теорема, которую я здесь сформулировал, дает также решение другой интересной задачи, а именно по некоторой данной системе элементов, которые связаны с временем в возмущенном движении системой дифференциальных уравнений в канонической форме, найти все другие системы элементов, которые обладают тем же свойством. [c.292]

Для определения постоянных составляющих Uoo и Yoo могут быть использованы методы, рассмотренные в разд. 23.2. Предполагая, что на контур управления воздействуют только случайные возмущения с математическим ожиданием E(v(k) =0, Uoo и Yoo могут быть получены простым усреднением (метод 2 в разд. 23.2) перед началом работы адаптивной системы управления. Регуляторы, минимизирующие дисперсию, и регуляторы с управлением по состоянию не требуют дополнительных средств для компенсации смещения, так как последнее отсутствует. Однако, если возмущения имеют ненулевые средние (как бывает в большинстве случаев) и имеют место изменения задающей переменной w(k), следует учитывать величину постоянной составляющей, и для регуляторов, минимизирующих дисперсию, а также регуляторов с управлением по состоянию, не обладающих астатизмом, необходимо рассматривать задачу компенсации смещения. Простейшим способом решения этой проблемы является использование при оценивании параметров разностей первого порядка Аи(к) и Ау(к) (метод 1 в разд. 23.2). Смещение может быть исключено введением в модель оцениваемого процесса дополнительного полюса в точке z,= I путем добавления множителя /(z—1) и последующим расчетом регулятора для расширенной модели. Это тем не менее приводит к возникновению смещения при постоянных возмущающих воздействиях на входе объекта управления и не позволяет обеспечить наилучшее качество управления. Другая возможность заключается в замене у (к) на [у(к)—w(k)] и и (к) на Ац(к)=и(к)— —и(к—1) как при оценивании параметров, так и в алгоритме управления [25.9. Однако это приводит к ненужным изменениям оценок параметров при изменении уставок и, следовательно, к отрицательному влиянию на переходный процесс. Относительно хорошие результаты были получены при оценивании константы (метод 3 в разд. 23.2). Полагая Yoo=w(k), можно легко вычислить постоянную составляющую Uqo таким образом, чтобы смещение не возникало. Затем можно непосредственно использовать регулятор, не обладающий интегрирующими свойствами. [c.402]

Рассматривая геометрические аберрации третьего порядка как малые возмущения параксиальных траекторий, замечаем,, что аберрационные члены будут зависеть от различных факторов. Члены, обусловленные наклоном траектории, присутствуют всегда и растут с возбуждением линзы. Дополнительные-члены возникают из-за контурных полей, мультипольных компонент и изменений осевого электростатического потенциала. Мультипольные аберрации можно разделить на те же классы,, что и аберрации осесимметричных линз. Однако число коэффициентов аберрации больше вследствие более сложной природы распределений полей. Определение этих коэффициентов аберрации различно в разных публикациях в зависимости от предположений, принимаемых в конкретных ситуациях [37, 362]. К примеру, астигматизм первого порядка квадрупольных систем можно применить в ускорителях частиц, что в свою очередь требует отдельного рассмотрения для стигматических астигматических систем в первом случае определение подобно тому, которое используют для круглых линз, а во втором отклонение оценивается из линейности изображения. Чтобы в общем обеспечить единое представление электронно-ионных оптических свойств мультипольных линз, [363], можно применить метод характеристических функций (разд. 5.1). [c.575]

Можно надеяться, что в результате сходимость разложения теории возмущений окажется наилучшей. Мы будем в дальнейшем пользоваться таким оптимизированным псевдопотенциалом и увидим, что он имеет тот же вид, что и псевдопотенциал (2.23), где вместо Е подставлено значение энергии, полученное в первом порядке теории возмущений. Другой подход состоял в подгонке псевдопотенциала к какому-либо определенному свойству (об этом уже говорилось выше). Каждому из свойств соответствует несколько отличный псевдопотенциал, но, как оказалось, все они очень похожи друг на друга и на оптимизированный псевдопотенциал. Опыт показал, что метод псевдопотенциалов может быть очень чувствительным, но чтобы он был полезным в расчетах, он должен быть приближенным. [c.117]

В связи с этим в практических инженерных расчетах, в част-рости, в теории автоматического регулирования, большое распространение получили приближенные методы, одним из основоположников которых стал профессор Петербургского Технологического института И. А. Вышнеградский (1831—1895). В 1876 г. Ц. А. Вышнеградский впервые применил свой приближенный метод к задаче об устойчивости регуляторов прямого действия. Основной предпосылкой метода Вышнеградского было допущение, что свойства системы в отношении устойчивости установившегося ее движения обнаруживаются уже в тех малых возмущенных движениях, которые возникают около невозмущенного движения в течение небольшого промежутка времени вслед за моментом сообщения системе достаточно малого начального возмущения. На этом основании при решении вопросов об устойчивости движения в уравнениях возмущенного движения отбрасывались все члены выше первого порядка (относительно координат и скоростей) и по форме интегралов линеаризованных уравнений делались заключения об устойчивости невозмущенного движения. Совокупность методов исследования устойчивости на основании линеаризованных уравнений составляет содержание теории первого приближения. [c.425]

Суммирование диаграмм. Уравнение Дайсона. В большинстве задач квантовой статистики, как правило, нельзя ограничиться учетом нескольких первых членов ряда теории возмущений. Вместо этого приходится суммировать различные бесконечные последовательности членов, соответствующих так называемым главным диаграммам, вклад которых оказывается, в силу условий задачи, одинаковым по порядку величины. Замечательным свойством изложенной выше диаграммной техники для гриновских функций является тот факт, что суммированию какой-нибудь бесконечной (или конечной) совокупности членов ряда теории возмущений можно сопоставить своеобразное графическое суммирование диаграмм. Диаграмма, изображающая такую сумму, составляется из элементов, каждый из которых в свою очередь является результатом суммирования. Например, линии такой диаграммы могут изображать сумму какой-нибудь бесконечной последовательности членов теории возмущений для гриновской функции ( сумму диаграмм). Сопоставление диаграмме определенных выражений производится по тем же правилам, по каким вычислялись выражения по теории возмущений каждой линии диаграммы сопоставляется соответствующая ей сумма диаграмм и т. д. [c.120]

Это гиперболическое уравнение с характеристическими скоростями Со, определяемыми волновым оператором второго порядка. Однако если т] мало, то в известном смысле хорошее приближение должно обеспечивать волновое уравнение низшего порядка ф( + + оФж = О, а оно предсказывает волны со скоростью Оказывается, что волны обоих типов играют важную роль и существуют важные эффекты взаимодействия между ними. Волны высшего порядка несут первый сигнал со скоростью Со, а основное возмущение передается волнами низшего порядка со скоростью Яо-В нелинейных аналогах уравнения (1.16) это существенно отражается на свойствах ударных волн и их структуре. Все эти вопросы разбираются в гл. 10. [c.15]

На этом свойстве основывается теория возмущений. Бели производные малы, то по крайней мере на коротких промежутках времени также малы и изменения элементов, п в первом приближении можно считать ( ), (т]) и т. д. в правых частях (5) постоянными. Посредством интегрирования полученных таким образом уравнений, что не представляет никаких трудностей, находим возмущения первого порядка. Этот приближенный метод приводит к разложениям по степенял возмущающих масс. Правда, новые последования показали, что эти разложения в ряды не являются абсолютно сходящимися. Тем не менее как теория, так и опыт свидетельствуют, что ряды сходятся на конечных промежутках времени и пригодны для числовых расчетов. [c.254]

В данном А. М. Ляпуновым определении устойчивости предполагается, что возмущающих сил нет в том смысле, что возмущенные движения происходят под действием тех же внешних сил, которые учитываются при определении невозмущенного движения. Задача об устойчивости при возмущающих силах не имеет смысла, если последние ничем не стеснены. Если возмущающие силы меняются от случая к случаю так мало, что их изменение не влияет на линейные члены в правых частях уравнений возмущенного движения, возникает практически важная задача об устойчивости по первому приближению, независимо от членов выше первого-порядка в функциях Xs- Эту задачу Ляпунов разрешил своими теоремами об устойчивости по первому приближению. Для случая, когда в уравнениях (9.2) Psr = onst и невозмущенное движение устойчиво по первому приближению, Н. Г. Четаев (1946) выяснил те свойства функций Х в уравнениях (9.1), при которых проходит доказательство теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Он показал, что если для произвольного числа > О, как бы мало оно ни было, функции Х могут быть стеснены неравенствами j < Я, где X обозначает число, построенное по способу Ляпунова в доказательстве его теоремы об устойчивости, то невозмущенное движение будет устойчивым независимо от численных значений Хд. [c.51]

Функции ф(г) и ср(г, г ) определяются только свойствами жидкости, не возмущенной колебаниями, т. е. однородной и изотропной, в силу чего функция ф г) должна быть константой ф (/ ) = onst = ф, а ср(г, г ) зависит только от г—г [. ср (г, г ) = ср( г—г 1). Член первого порядка j-fU [c.17]

Займемся теперь поправками первого порядка к интенсивности (3.101), возникающими из-за использования вместо плоских волн псевдоволновых функции первого порядка. При их оценке можно опять, как и при вычислении оптических свойств, использовать псевдоволновую функцию непосредственно для вычисления матричных элементов. В соответствии с теорией возмущений следует просуммировать вклады от каждой грани зоны Бриллюэна. Каждую из этих поправок можно вычислить с помощью соответствующего усреднения по углам. Получающиеся поправочные множители имеют расходимость, возникающую вследствие обращения в нуль энергетических знаменателей. Поэтому такие поправки имеют смысл лишь вдали от особенностей. На фиг. 105 показан результат [c.384]

Уравнение, эквивалентное (3.33), (3.38), было предложено в работах [38, 39]. Оно отличается от уравнений, обычно использовавшихся в задачах наследственной упругости, тем, что соответствующий ему линейный оператор, содержащий старшие производные второго порядка, явно факторизуется, то есть может быть представлен в виде суперпозиции линейных операторов с производными не выше первого порядка. Это значительно облегчает построение и анализ его решений. Здесь мы пришли к данному виду уравнения, отталкиваясь от одноволнового уравнения для линейной волны, бегущей в одном направлении в среде, свойства которой формируют определенный закон дисперсии для этой волны. Этот путь естественным образом приводит к такой факторизуемой форме. Обратим внимание на то, что отношение члена второго порядка по Я к члену первого порядка в частотной области для уравнения (3.33) равно Я . Ясно, что в границах применимости модели распространения линейных волн, удовлетворяющих уравнению (3.33) или его многомерным (по пространственным переменным) аналогам, каким бы малым (в любом разумном смысле) не было значение Я, при достаточно малых со величина этого отношения может стать при а -1 < О сколь угодно большой, и пренебречь в (3.33) членами квадратичными по Я будет нельзя. Это может оказаться существенным для реальной физической системы тогда, когда соответствующие этим частотам длины волн попадают в диапазон масштабов фрактальности. Если в области низких частот эта модель утрачивает свою физическую адекватность, то это, прежде всего, означает, что решения уравнения (3.33) на достаточно больших временах теряют смысл для описания происходящих в ней процессов распространения возбуждений. Тем не менее, эти решения могут быть вполне адекватными для относительно малых времен, прошедших от момента начала возбуждения колебаний в некоторой точке среды, которой достигло возбуждение. Таким образом, при рассмотрении распространения переходных волн в первоначально невозмущенной среде, эта модель может описывать изменения её состояния в зоне конечной ширины позади переднего фронта возмущения, который перемещается со скоростью, обозначенной в (3.27), а в (3.33) и далее, для упрощения выкладок, принятой нами за единицу. [c.143]

Здесь ф1. и ф2 — функционалы по времени, которые, помимо Кь могут зависеть также от температуры, параметров внаиней среды, концентрации отдельных компонентов среды и т. п. Первое слагаемое в рравой части (6.4) характеризует мгновенную реакцию системы на внешнее возмущение (изменение К ), а второе характеризует последействие. Первое из них объясняется конечными пластическими (необратимыми) деформациями самого конца трещины, на расстояниях порядка радиуса кривизны конца поэтому мгновенное приращение длины трещины имеет порядок раскрытия трещины в ее конце. Второе слагаемое объясняется действием разнообразных физических и химических процессов в конце трещины (диффузия и массообмен, химические реакции, фазовые переходы и т. п.), приводящих к локальным разрывам видоизмененного материала с ухудшенными прочностными свойствами. Эти процессы могут быть весьма неожиданной природы, так как протекают в условиях максимально разрыхленной внешней нагрузкой структуры материала на свежей поверхности эти условия практически невозможно воспроизвести в опыте с большими кусками металла и на значительной площади. [c.311]

Поскольку поверхностная электромагнитная волна удерживается вблизи границы раздела, она будет преобразовываться в излучатель-ную волну утечки лишь при наличии возмущений или неоднородности на поверхности. Кроме того, поверхностную волну невозможно и возбудить, освещая непосредственно гладкую поверхность световым пучком. Для изучения свойств поверхностных волн были разработаны различные методы их возбуждения и регистрации, а именно методы линейного или нелинейного оптического возбуждения и регистрации на неоднородностях поверхности. Кроме того, используются призмы, расположенные с небольшим (порядка длины волны) зазором над поверхностью (см. рис. 3.6 и разд. 3.3.3). Последний метод известен как ослабленное полное отралсение. При этом для возбуждения поверхностной волны используется затухающая волна, возникающая на границе раздела среда — воздух в том случае, когда луч света в среде испытывает полное внутреннее отражение. Поглощение отраженной волны и приводит к ослабленному полному отражению. Первая из таких систем была предложена Отто. Она состоит из призмы (Р), отделенной от толстого образца среды (М) небольшим воздушным или вакуумным слоем (А) [так называемая конфигурация РАМ АТК, показанная на рис. 3.38,а]. Если воздушный слой достаточно тонкий, то затухающая в этом слое волна, вызванная полным внутренним отра- [c.235]

Решение (19.15) позволяет проследить эволюцию конечного возмущения, состоящего в обтекании угловой точки, по мере перехода перавповесного течения к равновесному. В неравновесном течении характеристики по-прежнему являются носителями возмущений, т.е., как и в совершенном газе, разделяют области течения с разными дифференциальными свойствами. Однако, в отличие от совершенного газа, амплитуда возмущения вдоль граничной характеристики не остается постоянной, а затухает на длине порядка характерной длины релаксации при переходе из области почти замороженного течения в область почти равновесного течения. Возмущение как бы уходит с первой характеристики веера, определяемой скоростью звука а , по мере удаления от угла и концентрируется в окрестности характеристики, определяемой скоростью звука ае, так что в предельном равновесном течении на бесконечном расстоянии от угловой точки первой [c.151]

Однако, эта теория имеет границы применимости, которые мы кратко сформулируем ниже. Во-первых, поскольку поле рассматривается в виде классических типов колебаний, обладающие вполне определенными амплитудой и фазой, то эффекты, обусло -ленные статистическими флуктуациями (например, такие ка с спонтанное испускание) из анализа исключаются ). Вследстпне этого теория не в состоянии предсказать предельную теоретическу ,> ширину линии моды лазера, а также не позволяет описать свойства когерентности поля. Во-вторых, теория применима только в случае слабого сигнала, так как связь между полем и средой описывается низшими порядками теории возмущений. Хотя теория и рассматривает эффекты насыщения, но они не проявляются вплот1> [c.226]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...