Материальные координаты. Координаты места

Материальные координаты. Координаты места [c.11]

После замены в этом представлении материальных координат координатами места в актуальной " -конфигурации (см. 1) выражению (1) придается вид [c.37]

Координаты материальной точки массы т обозначим в рассматриваемых системах соответственно через а , у, z и т], между этими координатами имеют место формулы перехода х = os 0)f — т sin d)t, [c.170]

Если в качестве материальных координат точки q принять ее декартовы координаты а в v-конфигурации, то место точки в отсчетной и актуальной конфигурациях будут определять векторы [c.14]

Вектор места г в отсчетной конфигурации здесь определен декартовыми координатами а в базисе С1, с , Сз представляющими здесь материальные координаты частицы [c.106]

Осесимметричная деформация круглого полого цилиндра. Поверхностное нагружение осуществляется равномерно распределенными по внутренней и наружной поверхностям цилиндра г = г , г = г-,) давлениями р,. Материальными координатами служат цилиндрические г, ф, г в отсчетной конфигурации. Для принятых условий нагружения следует принять радиальное перемещение зависящим только от г, а осевое — линейной функцией Место точки в актуальной конфигурации определяется выражением [c.206]

Материальными координатами служат координаты (декартовы, цилиндрические, сферические) в отсчетной конфигурации. Семейства Эриксена представляют задания координат места в актуальной конфигурации, как функций материальных координат, [c.285]

В ЭТИХ решениях преобразование отсчетной конфигурации в актуальную, иначе говоря, вектор места R, зависящий от материальных координат II некоторых постоянных, не зависит от р. Эти решения поэтому применимы для тензора напряжений (3). Различие возникает ка этапе определения поверхностных сил, реализующих рассматриваемое состояние [c.303]

В представлениях свободной и внутренней энергий принималось, что материал однороден, его свойства, единообразные во всем объеме, не зависят явно от материальных координат. Учесть неоднородность можно внесением в выражения (4.1) и (5) вектора места г(i/ , q , q ) в отсчетной конфигурации. Это не изменило бы формы полученных зависимостей, но осложнило их содержание. [c.415]

Независимых переменных четыре—три материальных координаты <7 , <7 , и время t. Конечная цель — определение век-тор-радиуса места К и температуры 0 (или энтропии 1 ), как функций этих переменных. Если она достигнута, то найдено напряженное состояние и энтропия (или температура). [c.419]

В 1—3 поясняются исходные понятия материальные координаты и координаты места, отсчетная и актуальная конфигурации, векторные базисы в них, тензоры, градиенты места. [c.496]

Если система не является замкнутой, т. е. если учитывается влияние на точки системы других материальных объектов, не входящих в нее, то, вообще говоря, при переходе от одной инерциаль-ной системы к другой структура равенств, выражающих законы и уравнения механики, может изменяться. Часто удается, однако, придать этим равенствам такой вид, чтобы при переходе от одной инерциальной системы к любой другой структура этих равенств сохранялась, хотя вид содержащихся в этих равенствах функций координат и скоростей точек может меняться. В таких случаях говорят, что форма записи законов или уравнений механики ко-вариантна по отношению к преобразованиям в классе инерциальных систем. Подобным же образом можно говорить о ковариантности законов и уравнений механики по отношению к иным классам преобразований систем отсчета. Разумеется, может оказаться, что и у незамкнутой системы имеет место не только ковариантность, но и инвариантность законов механики, но по отношению не к произвольным преобразованиям в классе инерциальных систем, а при каких-либо преобразованиях частного вида. [c.46]

Далее мы получим два закона сохранения, имеющие место при рассмотрении замкнутых систем. В связи с этим сделаем следующее общее замечание. Требование замкнутости системы означает, что все силы, действующие на материальные точки системы, зависят лишь от взаимного расположения точек и расстояний между ними. В связи с этим любые преобразования координат, сохраняющие взаимное расположение точек и расстояния между ними, не изменяют уравнения движения, т. е. не меняют вид лагранжиана. [c.291]

Решение. Рассмотрим мотоциклиста как материальное тело. Пусть мотоциклист составляет с вертикалью угол а, а расстояние от нижних точек шин до общего центра тяжести мотоциклиста с мотоциклом h. На мотоциклиста действуют активные силы и реакции связей вес G (приложен в центре тяжести), нормальная реакция стены N и сила трения скольжения тр (обе приложены в месте соприкосновения колес со стеной). Направим оси координат. Так как мотоциклист движется по окружности с постоянной скоростью, то необходимо добавить только нормальную силу инерции Р , приложенную в центре тяжести. Составим три уравнения кинетостатического равновесия [c.233]

Если ( , ц, ) — центр тяжести системы материальных точек, на которые действует только сила тяжести и которые связаны друг с другом так, что в направлениях осей координат возможны перемещения без изменения их относительного расположения, то будут иметь место уравнения (8) (если по-прежнему ось г направлена вертикально вниз) и одновременно [c.35]

Мы назовем эти деформации растяжениями в направлениях осей х, у, г. Они имеют ту особенность, что частицы, первоначально расположенные на оси, на ней же и останутся. Расширения, имеющие место в направлениях осей, мы назовем главными растяжениями] их величины суть — 1, Р2—1, Рз—1- После того как имело место это растяжение, вообразим, что тело вращается вокруг начала координат вместе с осями х, у, г. Тогда несмотря на это вращение координаты рассматриваемой материальной точки относительно этих осей не изменятся и останутся равными ж, у, г. [c.90]

Прибавим еще, что те координаты q, которые не входят в функцию Лагранжа, как раз и дают место этим интегралам английские авторы называют эти координаты игнорируемыми или циклическими. В дальнейшем (п. 45) мы узнаем причину названия игнорируемые здесь же для оправдания другого названия — цик-лические —заметим, что в случае одной материальной точки,отнесенной к цилиндрическим координатам, из указанного выше выражения живой силы следует, что функция Лагранжа — T U не будет зависеть от параметра 6 только тогда, когда поле действующих сил представляет круговую циклическую) симметрию относительно оси 2. [c.299]

Чтобы рассмотреть всю совокупность задач, которые содержатся в уравнениях (5), мы должны принять во внимание случай, когда в условия входит явно время тогда тоже имеют место уравнения (5). Чтобы получить представление о том, как время может входить в условия, предположим, например, что материальные точки связаны с подвижными центрами, движение которых дано связь эта такова, что центры действуют на материальные точки, не вызывая реакции. Но для этого предположения необходимо дать подвижным центрам массы, которые по сравнению с массами материальных точек бесконечно велики. В этом случае без дальнейших рассуждений берем для материальных точек уравнения (5) подвижные же центры сохраняют без изменения данные им движения. В самом деле, пусть М будет масса одного центра, принимаемая за бесконечно большую, р — одна из его координат тогда сила, действующая в направлении координаты р, пропорциональна М если мы назовем ее МР, то имеем, принимая во внимание связи системы. [c.307]

Циклические системы в строгом смысле слова (в дальнейшем мы будем их называть подлинными циклами) —т это такие системы, в которых хотя и имеют место любые движения, однако при том условии, что когда какая-либо материальная частица оставляет некоторое место пространства, всегда немедленно на это место вступает другая, совершенно такая же частица, со скоростью, численно равной скорости первой частицы и одинаково с ней направленной. Координата называется подлинно циклической, если система совершает циклическое движение при изменении одной этой координаты, в то время как другие координаты сохраняют неизменными свои значения. [c.470]

В обыкновенной механике этот случай будет иметь место в каждой системе, состоящей из конечного числа материальных точек или твердых тел,. между координатами которых существуют неизменяемые уравнения условий. [c.572]

Большой интерес представляет также другая зависимая переменная — орбитальная энергия движения материальной точки. С помощью параметров Си/ годографа скорости геометрическое место постоянных энергий можно изобразить прямыми линиями, как показано на рис. И. Параллельные прямые с углом наклона 45° представляют орбиты заданной энергии, в то время как прямые, проходящие через начало координат, соответствуют семействам орбит с постоянным эксцентриситетом. В настоящее время разрабатывается аналогичная диаграмма энергии, выраженная через параметры р иб годографа ускорения. [c.57]

Пусть, например, потенциальная энергия зависит от координаты X по закону, графически представленному на рисунке 6.16. Чтобы найти границы движения точки с энергией Е, проведем параллельно оси л прямую U = Е. Эта прямая пересекает график и х) в двух точках с абсциссами х и Х2. Так как материальная точка при своем движении может находиться только в тех местах, для которых U (х) Е, то она должна находиться на оси X между точками Х и Х2. В область правее х и левее Xi тело с энергией Е попасть не может. [c.151]

Из всех периодических движений важное место в физике и технике занимают колебания, т. е. такие движения, при которых материальная точка перемещается взад и вперед по отрезку прямой (или кривой) между крайними его точками (рис. 11.1). В зависимости от характера движения точки на отрезке колебания делятся на гармонические и негармонические. Гармоническими называют колебания, при которых дуговая координата движущейся точки изменяется во времени по синусоидальному или косинусоидальному закону (рис. 11.1) [c.313]

Пусть линия действия силы, действующей на материальную точку, в каждый момент времени проходит через начало координат некоторой неподвижной системы осей. Такая сила называется центральной. Тогда будет иметь место теорема. [c.218]

Рассмотрим систему N материальных точек Р (v = 1, 2,. N). Если система несвободна, то наложенные на нее связи предполагаются удерживающими и идеальными. Пусть бг — виртуальное перемещение точки Pv, т., — ее масса, w — ускорение в ииерциаль-ной системе координат, а F — равнодействующая всех активных сил, приложенных к точке Pv. Тогда имеет место общее уравнение динамики (п. 57) [c.226]

По установившейся терминологии называют лагранжевы-ми, — эйлеровыми координатами. Лучше сказать, что — материальные координаты, индивидуализируюш,ие точку и отличающую ее от других точек, а — координаты ее места в 1/-объеме. [c.15]

В общем случае изучение механических процессов в начально-деформированных телах необходимо проводить в рамках нелинейной теории упругости. Однако, множество процессов, происходящих в начально-деформированных телах, можно рассматривать в рамках линеаризованной теории наложения малых деформаций (возмущений) на конечные деформации (начальное состояние) в предположении, что возмущения малы. Традиционно [30, 41, 42] различают три состояния тела естественное (ненапряженное) состояние (ЕС), начально-деформированное состояние (НДС) и актуальное (возмущенное по отношению к НДС) состояние. При этом особое значение приобретает выбор системы координат, которая может быть связана либо с естественной конфигурацией (система координат Лагранжа или материальная система координат), либо с актуальной конфигурацией (система координат Эйлера) [30, 41, 42]. Линеаризованные уравнения движения существенным образом зависят как от выбора системы координат, так и от выбора определяющих соотношений, поскольку имеет место возможность определения напряженного состояния различными тензорами (Коши, Пиола, Кирхгофа и т.д.) и множественность их представления через меры деформации (Коши-Грина, Фингера, Альманзи) или градиент места. Более детально с особенностями постановки задач для преднапряженных тел можно ознакомиться в монографиях А. И. Лурье [41], А. Лява [42] и А. Н. Гузя [30]. [c.290]

Накопление опыта решения нелинейных задач при больших деформациях обязано применению полуобратного метода — метода, которым были достигнуты первые выдающиеся успехи и в линейной теории. На первом этапе процесса задаются предполагаемой формой осуществляемого преобразования R (г ( отсчетной неискаженной коифигурации в актуальную, содержащей подлежащие определению функции материальных координат, на втором —по этому заданию составляется выражение меры деформации, а по ней (из уравнения состояния материала) тензор напряжений (Коши Т или Пиола Р). Третий этап — по уравнениям равновесия в объеме и на поверхности находят распределения массовых н поверхностных сил, допускаемые предположенным заданием вектора места R. Требуется, чтобы так определяемые массовые силы соответствовали их заданиям, например, были постоянны (сила веса) или пропорциональны расстоянию от некоторой оси (центробежная сила). Чаще всего принимают к = 0, наперед предполагая, что напряженное состояние создается [c.134]

Задавшись выражениями вектора места К в актуальной коифигурации и тензора Р, содержащими некоторое число описывающих их функций материальных координат и постоянных параметров, следует составить по ним выражение функционала 1Г3. Эти функции и параметры далее разыскиваются из уравнений Эйлера вариационной задачи и диктуемых ею краевых условий. Этот прием двух аппроксимаций (К и Р) с успехом применяется в задачах линейной теории. Конечно, в нелинейной теории уравнения Эйлера для аппроксимирующих функций нелинейны. Трудности, связанные с представлением удельной дополнительной работы Эх (Р), конечно, сохраняются и при составлении функционала 1Г3. [c.146]

Геометрическое место положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета называется траекторией. По виду траектории движение точки делится на прямолинейное и криволинейное. Траектория точки может быть определена и задана заранее. Так, например, траектории искусственных спутников Земли и межпланетных станций вычисляют заранее, или, если принять движущиеся по городу автобусы за материальные точки, то их траектории (маршруты) также известны. В подобных случаях положение точки в каждый данный момент времени I определяется расстоянием (дуговой координатой) 5, т. е. длиной участка траектарии, отсчитанной от некоторой ее неподвижной точки, принятой за начало отсчета. Отсчет расстояний от начала траектории можно вести в обе стороны, поэтому отсчет в одну какую-либо сторону условно принимают за положительный, а в противоположную — за отрицательный, т. е. расстояние 5 — величина алгебраическая, она может быть положительной (5>0) или отрицательной (5< 0). [c.82]

Силы, зависящие только от координат материальной точки, к которой они приложены, называются силами, принадлежаш,ими силовому полю. Особое место среди них занимают силы [c.44]

Принцип Эйлера — Лагранжа для движения относительно центра масс. Допустим, что материальная система среди своих возможных перемещений имеет поступательные перемещения как твердого тела в направлении неподвижных осей Oxyz. В силу сделанных предположений имеют место законы о движении центра масс в направлении всех трех неподвижных осей координат [c.161]

Если система материальных точек находится под BoaMjr-щающим действием сил притяжения или отталкивания, которые зависят только от расстояния и которые направлены к неподвижным центрам или которые происходят в результате взаимодействий между двумя массами, то действие и противодействие между собою равны с другой стороны, если условные уравнения, связывающие координаты различных тел, не содержат в себе времени, то имеет место уравнение живых сил, а именно [c.537]

Примеры голодомяых систем. 1нсло степеней свободы го-лономноп системы, по определению, равно числу соответствующих (независимых) лагранжевых координат. На практике, когда внимание фиксируется на системе данной материальной структуры, всегда нетрудно непосредственно выяснить, представляет ли она собою голономную систему для этого достаточно исследовать, определяются ли ее конфигурации в произвольно взятый момент определенным конечным числом независимых параметров. Если это имеет место, то такое число непосредственно определяет число степеней свободы системы. Этот критерий мы применим к некоторым особенно простым типам голономных систем. [c.275]

Но этого еще недостаточно для того, чтобы привести доступные нам эксперименты к той схематической простоте, которая позволила бы выяснить характеристические свойства, присущие понятию о силе. Все тела обладают известным протяжением) мы видели при изучении кинематики, что даже в частном случае движения твердой системы кинематические элементы (скорости, ускорения, траектории) отдельных точек, вообще говоря, отличаются друг от друга. Поскольку мы здесь предполагаем сделать общие индуктивные выводы о характере. сил путем анализа их динамического эффекта, совершенно ясно, что указанное многообразие одновременных кинематических особенностей неизбежно должно маскировать явления и даже отвлекать наше внимание от возможного схематического изображения всего процесса в целом. Чтобы элиминировать. это многообразие усложняющих обстоятельств, целесообразно ограничиться сначала телами настолько малыми (по сравнению с размерами области, в которой происходит движение), чтобы положение тела можно было определить без значительной погрешности геометрической точкой. 13сякое тело, рассматриваемое о этой точки зрения, принято называть материальной точкой. Это название не только не противоречит нашим наглядным представлепяям о конкретных явлениях, но, как было уже указано в кинематике (II, рубр. 1), соответствует уже установившимся взглядам так, например, положение судна на море обыкновенно определяют долготой и широтой места но в действительности эти координаты определяют только одну геометрическую точку на земной поверхности, которую мы отолсествляем с нашим судном в силу его незначительных размеров по сравнению с размерами земли точно так же, чтобы привести пример, еще лучше соответствующий приведенному выше определению, мы изображаем все звезды точками на небесной сфере, хорошо зная, как велики их размеры по сравнению с телами на земле. [c.300]

Функция у, конечно, содержит, кроме координат п точек, также и координаты V точек, и выражения, содержащие последние, играют в выражении силовой функции роль медленно изменяющихся параметров, поскольку V точек движутся медленно однако это не имеет места, пока движение остается неварьированным. Поэтому во время неварьированного движения функция У координат п материальных точек не содержит явно входящего времени это одно только и предполагается в 36. Действия, производимые [c.477]

Координаты Ei характеризуют пространственное положение материальных частиц в произвольный момент времени. Изолинии, вдоль которых ,= onst, можно рассматривать как непрерывное, упорядоченное геометрическое место пространственных точек л, куда попадают материальные частицы т в момент времени t. Каждая пространственная точка hbN находится на пересечении изоповерхностей Е, = onst. Поэтому эйлеровы координаты обычно называют пространственными координатами. [c.23]

Лагранж в историческом обзоре, которым он начинает Динамику , указывал, что закон площадей имеет место для любой системы материальных точек, взаимодействующих любым обра ом и находящихся под действием внешних сил, направленных к неподвижному центру, независимо от того, будет ли система совершенно свободна или же она будет двигаться вокруг центра сил. Лагранж подчеркнул при этом, что, принимая три взаимно перпендикулярных плоскости в качестве плоскостей проекций, мы получаем три закона площадей в виде дифференциальных уравнений первого порядка, свя- зываюпщх время и координаты точек системы, и в этих уравнениях собст-венно, и заключается природа изложенного выше принципа . [c.127]

Скорость точки. Рассмотрим движение материальной точки М по отношению к системе ортогональных осей Oxyz. Геометрическое место последовательных положений точки в этой системе назовем траекторией точки. Положение точки в пространстве можно задать ее координатами х, у, z, которые при движении материальной точки будут меняться в зависимости от времени, так что [c.47]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...