ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Примеры странных аттракторов из "Регулярная и стохастическая динамика " Наименьшая размерность фазового пространства, в котором возможен странный аттрактор, равна трем, как в модели Лоренца, описанной в 1.5. Еще более простая система была рассмотрена Рёслером [350], и мы опишем ее ниже. Интересные свойства двумерного отображения со странным аттрактором будут рассмотрены на примере отображения Хенона [187]. [c.416] Результат моделирования этой системы на аналоговой вычислительной машине для х = 5,7 представлен на рис. 7.3, а [368], где показана проекция странного аттрактора на плоскость X, Y (ср. рис. 1.18, б). Рассмотрим сечение аттрактора по линии (0,1), как показано на рис. 7.3, а. Тогда последовательные значения в этом сечении определяются приближенно одномерным необратимым ) отображением, представленным на рис. 7.3, б. Таким образом, хаотическое движение на аттракторе Рёслера приближенно описывается отображением для X. [c.417] Переход от трехмерного потока к одномерному отображению является приближенным. Поэтому кривая на рис. 7.3, б должна иметь конечную толщину, связанную с тонкой структурой слоя в сечении У = О, который фактически содержит бесконечно много отдельных листов. Однако для этого и многих других странных аттракторов скорость сжатия фазового объема (7.1.8) столь велика, что при любом моделировании все листы кажутся слившимися в один. Поэтому, вообще говоря, одномерное отображение представляет основные особенности поведения исходного потока ). [c.417] Ниже показана спектральная плотность мощности для Z t) а) i = 2,6 б) М- =3,5 в) д = 4,1 г) li = 4.23 o) М- = 4,30 е) [i 4,60. [c.418] Переход к хаотическому движению через бифуркации удвоения периода является, как мы увидим, характерным для широкого класса диссипативных систем как отображений, так и потоков. При этом зависимость бифуркаций от параметра и форма спектра оказываются универсальными вблизи перехода. Эти вопросы будут расслютрены в 7.2 и 7.3. [c.419] Аттрактор Лоренца устроен более сложно (рис. 7.5,6). [c.419] Он состоит из двух листов, которые растягиваются и делятся на две части, причем правый край каждого листа соединяется с левыми краями обоих листов. [c.419] Можно представить себе и другие топологические структуры странных аттракторов. [c.419] Хотя аттрактор Рёслера топологически проще аттрактора Лоренца, одпако соответствующее ему одномерное отображение (рис. 7.3,6) имеет области, где производная 1X +1/с1Хп с1. Как показывается в 7.2, в этом случае доказать хаотичность движения нелегко. Для аттрактора же Лоренца аналогичная производная всюду больше единицы. Доказано, что такие отображения являются хаотическими. [c.419] НОСТЬ ). Это подобие соответствует структуре тнторова множества, которое будет описано в п. 7.1в. Экспоненциальная расходимость близких траекторий, подтверждающая стохастичность движения на аттракторе, численно получена в работах [99, 124, 375]. [c.421] Странный аттрактор существует не для всех значений а в интервале а аасад. Имеется много узких участков, в которых движение является периодическим с периодами 3, 4, 5. .. и испытывает бифуркации удвоения периода жения рассматриваются в 7.2. [c.421] Вернуться к основной статье