Простые и странные аттракторы

Простые и странные аттракторы [c.410]

Оставшиеся рисунки иллюстрируют дальнейшие возможные изменения фазового портрета. На рис. 20д показан момент образования -критического седло-узла его исчезновение приведет к рождению странного аттрактора. На рис. 20 е изображено первое простое касание неустойчивого и устойчивого многообразий точки Q. В этот момент и при дальнейшем изменении параметров, приводящем к рождению гомоклинических точек транс-версального пересечения, аттрактор в кольце является странным. На рис. 20 ж уже произошла бифуркация удвоения периода точки N и возникла устойчивая двоякопериодическая траектория (замкнутой инвариантной кривой не стало). При дальнейшем изменении параметров может реализоваться каскад [c.51]

Уравнение Дуффинга (29) при (5 = 0 всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. При > О уравнение (29) является аналогом уравнения Дуффинга во времени с учетом диссипации и, следовательно, возможно суш ествование стохастических аттракторов. Действительно, при (5 > О происходит разрушение инвариантных линий, ограничиваюш их стохастичность вблизи сепаратрисы, и фазовые траектории могут уходить от нее достаточно далеко и попасть в область притяжения устойчивого фокуса или цикла. Таким образом, как показано с помогцью аналогового моделирования [17], при выполнении условия (35) и (5 > О траектория блуждает в окрестности сепаратрисы, пока не попадет на какой-либо аттрактор, простой или странный (стохастический). [c.380]

Данная глава посвящена рассмотрению некоторых нелинейных процессов в классических сложных физических системах. Речь идет, фактически, об открытых системах, через которые могут протекать потоки энергии и информации (негэнтропии). На простейшем примере конвекции жидкости показано, как может возникать неустойчивость, приводящая при превышении надкритичности к сложному нелинейному поведению, в частности, к странному аттрактору. [c.317]

Макроскопические величины, такие как скорость, плотность, температура и концентрация химических веществ, являются непрерывными функциями точки, т.е. физическими полями. Поэтому формально такие поля имеют бесконечное число степеней свободы. Однако при появлении порядка или развитии структур возбуждается только конечное число степеней свободы. Особенно хорошо это видно на примере ячеек Бенара или вихрей Тейлора. Поэтому системы с упорядочением часто можно рассматривать как системы с конечным числом степеней свободы, они допускают моделирование (по крайней мере, численное) простыми динамическими системами. Напомним, что именно на примере описания конвекции жидкости были найдены странные аттракторы. [c.341]

Экспериментальные результаты, полученные этим методом, приведены на рис. 4.20, где сравниваются простое и двойное отображения Пуанкаре для задачи с двумя возбуждающими частотами. Простое отображение размыто, а двойное сечение выявляет структуру, подобную фрактальной, характерной для странного аттрактора. [c.152]

Помимо разделов, традиционно входящих в программы курсов по теории колебаний и теории волн, в книге содержится совсем новый материал, который до настоящего времени практически не излагался в монографической и, тем более, в учебной литературе. Это, в частности, анализ стохастического поведения простых систем, обсуждение связи гидродинамической турбулентности со стохастическими автоколебаниями и их математическим образом — странным аттрактором, рассмотрение основных идей и феноменов теории самоорганизации — нового раздела теории нелинейных колебаний и волн. [c.10]

Жесткий режим возникновения стохастических автоколебаний. Один из механизмов возникновения странного аттрактора при непрерывном изменении параметра проиллюстрируем на конкретном примере — системе Лоренца. Э. Лоренц обнаружил детерминированное непериодическое течение [23] в простой диссипативной системе с трехмерным фазовым пространством. Эта система, пришедшая из гидродинамики, как сейчас выяснилось, имеет многочисленные иные приложения [7], и ее динамика подробно исследована с помощью качественных и численных методов. [c.483]

В то же время наличие бесконечного (или даже просто очень большого) числа степеней свободы в системе делает проблему выяснения механизма или природы стохастичности в каждом конкретном случае весьма сложной, хотя бы потому, что в таких системах может существовать большое число различных нелинейных режимов, которые реализуются при близких начальных условиях. Действие в этой ситуации даже слабого шума приведет к очень сложному и запутанному движению системы, статистические характеристики которого будут слабо зависеть от статистики действующего шума. Такие движения наблюдаются в экспериментах, в частности гидродинамических. Мы в этой главе их обсуждать не будем и сосредоточим внимание на случайном движении детерминированных распределенных систем, в частности на механизмах возникновения гидродинамический турбулентности, математическим образом которой является странный аттрактор. [c.493]

В п. 2 рассматривается простейший и весьма наглядный пример, когда странный аттрактор обнаруживается на фазовой плоскости в некотором смысле — это исключительный случай, потому что, как правило, странные аттракторы возможны при условии, что фазовое пространство системы имеет размерность не менее трех. [c.237]

В 7.4 отмечалось, что одной из основных целей изучения диссипативных систем является гидродинамическая турбулентность. Другая чрезвычайно интересная область связана с турбулентностью в химических реакциях. Закон действующих масс, опреде-ляюший временную эволюцию однородной химической системы,, приводит к нелинейным дифференциальным уравнениям первога порядка ). Каждому веществу соответствует одно уравнение, так что для М веществ получается УИ-мерный поток типа, рассмотренного в 7.1. Поэтому неудивительно, что мы встречаем здесь все-виды движения, описанные в гл. 7, включая простые и странные аттракторы. [c.494]

Установившемуся движению диссипативной системы отвечает аттрактор — множество траекторий, к к-рому притягиваются все близкие траектории. Ста-тич., периодич. или квазипериодич. режимам отвечают простейшие аттракторы состокние равновесия, перно-дич. траектория и тор соответственно. Сложному непе-риодич. режиму отвечает странный аттрактор. С фи л. точки зрення, диссипативность системы означает, что все движения с достаточно большой анергией затухают. [c.626]

Механизм проявления устойчивости привычен и ясен, возможно, благодаря внедрению в наше сознание интуиции, опирающейся на теорему Брауэра и принцип сжатых отображений Банаха. Асимптотическая устойчивость всегда влечет за собой устойчивые равновесия или устойчивые периодические движения. Асимптотически устойчивое ограниченное движение — это либо устойчивое состояние равновесия или устойчивое периодическое движение, либо движение, асимптотически приближающееся к одному из них. Механизм проявления неусто11чивоста много сложнее и непривычнее. Для того чтобы его понять, нужно прежде всего отбросить представление о физической реали -зуемости движения как о требовании его устойчивости — сохра нения близости невоэмущенной и возмущенной фазовых траекторий. Близость траекторий может не сохраняться, более того, траектории могут локально экспоненциально разбегаться. Отдельные фазовые траектории при этом физически пе реализуемы, но они реализуемы как некоторая совокупность движений, обладающих определенной общностью. Представить себе все это не просто, и, возможно, поэтому геометрический образ, состоящий из таких фазовых траекторий, получил название странный аттрактор — странное притягивающее множество. [c.44]

Несмотря па сложность и необычность такого образования, получившего название странного аттрактор , условия его возникновения очень просты сочетание глобального сжатия с локальной неустойчивостью. Конечно, остается неясным, возможно ли такое сочетание, но если оно возможно, то неизбеншо влечет за собой существование странного аттрактора. [c.44]

В предыдущей главе были рассмотрены простейшие тпповыв ситуации, приводящие к существованию сложных нетривиальных сеДловых инвариантных множеств /. Если такое сложное инвариаптное множество / еще и притягивающее, то оно — странный аттрактор, обладающий свойством локальной неустойчивости, по устойчивый в целом. Наряду с таким статическим изучением сложных седловых множеств / представляют интерес и исследования, выясняющие, как они возникают в динамике — при изменении параметров. Сочетание статического и динамического подходов позволяет не только полнее исследовать стохастические и хаотические движешя, но во многих случаях облегчает их обнаружение и изучение. [c.162]

Принципиально новая ситуация, касающаяся непрерывной зависимости решений от параметров, возникла в связи с развитием теории странных аттракторов [29]. Хотя теория аттракторов сравнительно далеко продвинута только для достаточно простых динамических систем [176], первоначальные сомнения в том, что она применима в гидродинамике, были рассеяны как прямыми экспери-мептальпыми подтверждениями [93, 198, 201], так и теоретически, когда было обнаружено развитие хаотической динамики сразу после потери равновесия состояния покоя при возникновении смешанной тепловой и концентрационной конвекции [154]. В построенных примерах непрерывная зависимость решений от параметров нарушается уже не при отдельных их значениях, а на множестве значений параметров положительпой меры. [c.13]

Странные аттракторы. Первые простейшие моделп (см. гл. 2), в которых исследовались ус.ювия появ.1епия стохастичности, уже были не гамильтоновыми. Однако наиболее интенсивное изучение диссипативных систем началось после работы Лоренца [200]. Работа была посвящена анализу возникновения турбулентности в процессе термоконвекции в так называемом конечномерном приближении ). Численный анализ, проведенный Лоренцем, показал, что прп некоторых условиях в модели возникает хаос. Как и полагается, переход к нему (т. е. к турбулентности) происходит через ряд бифуркаций решения (их исследование см. в [201]). Однако, если можно так выразиться, хаос имеет весьма необычную структуру. Опишем ее следующим образом. [c.250]

Новая область явлений возникает в диссипативных системах, фазовый объем которых не остается постоянным, а сокращается со временем. Конечное состояние в этом случае представляет собой движение на некотором подпространстве, называемом аттрактором, размерность которого меньше размерности исходного фазового пространства. Изучение регулярного движения в таких системах восходит к Ньютону и в дальнейшем было связано с развитием теории обыкновенных дифференциальных уравнений. На этой ранней стадии было выяснено, что траектория может притягиваться к таким простым аттракторам, как неподвижные точки, замкнутые траектории и торы, на которых устанавливается, соответственно состояние равновесия, периодическое и квазипериоди-ческое движение. И только сравнительно недавно, в пионерской работе Лоренца [283], было показано, что и в диссипативных системах встречается хаотическое движение. Лоренц обнаружил такой аттрактор в модели, описываемой системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Рюэль и Тэкенс [355 ] использовали для аттрактора с хаотическим движением термин странный аттрактор ). Топология странных аттракторов весьма примечательна. Она характеризуется масштабной инвариантностью ), при которой структура аттрактора повторяется на все более мелких пространственных масштабах. Такие структуры, называемые фракталами, обладают любопытным свойством дробной размерности, промежуточной между размерностью точки и линии, линии и плоскости и т. д. [c.19]

Уравнения (1.5.1), приводящие к возникновению странного аттрактора, зависят обычно от некоторого параметра (аналогичного величине возмущения в гамильтоновых системах), изменение которого меняет характер движения. На примерах модели Хенона— Хейлеса и ускорения Ферми мы видели, что в гамильтоновых системах при увеличении возмущения траектории из регулярных становятся стохастическими. Подобно этому, и в диссипативных системах при изменении параметра возможен переход от периодического движения к хаотическому на странном аттракторе. Во гао-гих случаях такой переход происходит путем последовательного удвоения периода движения вплоть до некоторого критического значения параметра, за которым структура аттрактора изменяется и движение становится хаотическим. Дальнейшее увеличение параметра может привести к обратному процессу или к появлению простого аттрактора другой симметрии. Еще одна интересная особенность таких систем заключается в том, что обычно можно найти поверхность сечения, на которой движение сводится приближенно к необратимому одномерному отображению. Необратимость означает здесь многозначность обратного отображения. Такие отображения возникают во многих физических задачах и будут подробно рассмотрены в 7.2. [c.76]

В первом параграфе этой главы обсуждаются основные свойства диссипативных систем, такие, как сжатие фазового объема и регулярное движение на простых аттракторах. Затем вводится понятие странного аттрактора со стохастическим движением. В 1.5 уже приводился пример странного аттрактора. Здесь же обсуждаются два других примера диссипативных систем со странными аттракторами система Рёслера и отображение Хенона. Особое внимание обращается на те свойства хаотического движения, которые связаны с возможностью перехода к одномерному отображению, а также с геометрической структурой странного аттрактора. Эта геометрия описывается в терминах канторовых множеств дробной фрактальной размерности. Обсуждаются способы вычисления такой размерности и ее связь с показателями Ляпунова. [c.410]

Наименьшая размерность фазового пространства, в котором возможен странный аттрактор, равна трем, как в модели Лоренца, описанной в 1.5. Еще более простая система была рассмотрена Рёслером [350], и мы опишем ее ниже. Интересные свойства двумерного отображения со странным аттрактором будут рассмотрены на примере отображения Хенона [187]. [c.416]

Численные данные для отображения Хенона показывают, как мы видели выше, что структура аттрактора повторяется на все более и более мелких масштабах. Ее можно сопоставить с канторовым лгаожеством, свойства которого позволяют значительно лучше понять природу странного аттрактора. Рассмотрим вначале размерность кантор она множества. Для этого нам понадобится общее определение фрактальной размерности. Затем мы рассмотрим простой пример канторова множества и найдем его размерность. И наконец, обсудим некоторые методы вычисления и измерения фрактальной размерности странных аттракторов, уделяя основное внимание ее связи с показателями Ляпунова. Наше изложение следует частично обзорам Треве [411 ] и Отта [324]. [c.422]

Стационарное хаотическое движение. Нужно подчеркнуть, что условие пересечения сепаратрис (7.3.38) является локальным критерием стохастичности и применимо только вблизи невозмущенной сепаратрисы. Поэтому такой критерий ничего не говорит о появлении странного аттрактора, который представляет стационарное хаотическое движение в большой области фазового пространства. Уравнение Дюффинга без диссипации (б = 0) является гамильтоновым и всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Мы знаем, что хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. Однако при б>0 все инвариантные кривые разрушаются и траектория, хаотическая вблизи сепаратрисы, может уйти далеко от нее и захватиться устойчивым фокусом или предельным циклом. Такое поведение наблюдал Холмс [195] при аналоговом моделировании уравнения Дюффинга ). Поэтому единственное, что можно ожидать при выполнении условия пересечения сепаратрис (7.3.38), — это нерегулярное блуждание траектории в течение некоторого времени, пока она не попадет на какой-либо аттрактор, простой или странный. [c.463]

Модель Рюэля—Тэкенса исследовалась численно на примере простого двумерного отображения [100]. Были обнаружены переходы от устойчивого фокуса к предельному циклу, затем к двухчастотному движению и, наконец, к странному аттрактору. В этой связи важно отметить, что в отличие от модели Лоренца с тремя модами в модели конвекции Рэлея—Бенара, использующей 14 мод, также обнаружен квазипериодический аттрактор на некоторой двумерной поверхности в 14-мерном фазовом пространстве [98]. [c.480]

Все рассмотренные выше методы вычисления фрактальной раз мерности странных аттракторов требуют использования мощные Ш1фровых микро- или мини-компьютеров. Однако с точки зрения экспериментатора естественно спросить, нельзя ли измерять фрактальные размерности динамических систем непосредственно, используя аналоговые устройства так же, как мы измеряем другие динамические свойства, например скорость и ускорение. В общем случае для динамической системы с многими степенями свободы ответ неизвестен но в некоторых простых задачах фрактальная размерность двумерного отображения Пуанкаре может быть измерена оптическими методами (см. [102]). В основе такого подхода лежит оптическая иитерпреташм корреляционной функции (6.2. Схема, иллюстрирующая этот подход, представлена иа рис. 6.17. Напомним, что вычисление корреляционной функции включает подсчет числа точек в кубе или сф , описанных вокруг каждой точки фрактального множества. Оптический метод использует параллельную обработку информации, позволяющий находить число точек в окрестности всех точек фрактального множества сразу. Свет, идущий от одной пленки, создает на другой пленке освешен ный кружок. Если каждая пленка представляет собой точную копию сечеиия Пуанкаре странного аттрактора, то полный световой поток, испускаемый второй пленкой, пропорционален корреляционной функции. Изменяя расстояние между пленками на рис. 6.17, мы [c.244]

Что такое периодические автоколебания, мы хорошо знаем (см. гл. 14,16). Стохастические автоколебания — это неупорядоченные, случайные движения (неконсервативных динамических систем, совершающиеся под действием неслучайных источников энергии. Математическим образом стохастических автоколебаний в фазовом пространстве является странный аттрактор, о котором мы говорили в начале главы. Добавим здесь, что термин странный , придуманный математиками Рюэлем и Такенсом в связи с очень сложной, канторовской [11], структурой аттрактора, сейчас ассоциируется просто со сложным неупорядоченным поведением траекторий на аттракторе. [c.470]

Другие примеры гиперболических странных аттракторов. -В. Н. Белых [12] рассмотрел отображение, имеющее гиперболический аттрактор и не сводящееся, ни в каком смысле, к од-ломерному. Этот пример также возник при исследовании конкретных динамических систем, возникающих в физике, — так называемых дискретных систем фазовой синхронизации. Для наглядности мы рассмотрим простейшую ситуацию, когда соответствующее отображение кусочно линейно и имеет место свойство 6). [c.203]

Траектории странного аттрактора могут порождаться (при надлежащем выборе параметров) очень простыми дифференциальными уравнениями. Простейший из известных примеров — аттрактор Ресслера. Его дифференциальные уравнения содержат лишь одну нелинейность и имеют вид [c.56]

Тот факт, что достаточно простые динамические системы, наряду с циклами, демонстрируют очень сложное и нерегулярное поведение, был, по-видимому, установлен более двадцати лет тому назад в классической работе Е. Лоренца. Однако лишь с 1971 г., когда понятие странный аттрактор , введенное Рюэлем и Такен-сом, было связано с моделью Лоренца, появилась надежда, что такие, например, сложные явления, как турбулентность, могут быть о бъяснены с помощью концепции странного аттрактора . [c.271]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...