Примеры предельных точек

На рис. 1.11, а изображена система, состоящая из двух жестких стержней, соединенных шарниром. Зависимость между силой Р и вертикальным перемещением и точки ее приложения имеет вид кривой, показанной на рис. 1.11,6. (Считая Н I, нетрудно получить аналитическое выражение этой зависимости). Точки l и Сз — типичные примеры предельных точек. [c.18]

Примеры предельных точек. Поясним введенное понятие предельной точки на примерах. [c.104]

Для полутраектории Ь (или Ь ), имеющей вид спирали, наматывающейся на предельный цикл, очевидно, все точки этого предельного цикла являются предельными (в двух последних примерах предельная точка не являлась точкой соответствующей полутраектории). [c.45]

Поэтому она согласно определению является как ш-, так и а-предельной точкой I (в рассматриваемом случае — у(1 ) = ц при любом я). Траектория, стремящаяся к состоянию равновесия (как в случае узла и фокуса, так и в случае седла), имеет своей единственной предельной точкой это состояние равновесия. Для полутраектории (или ), имеющей вид спирали, наматывающейся на предельный цикл, очевидно, все точки этого предельного цикла являются предельными. Очевидно, в двух последних примерах предельная точка не являлась точкой соответствующей полутраектории. [c.399]

Свет, идущий от нескольких точек источника, может упасть на любую точку изображения. Пусть Ei и Ег — векторные амплитуды света, упавшего в точку Р из двух различных точек источника. Здесь встретятся два предельных случая, которые будут проиллюстрированы на примере двух точек источника. [c.45]

Если бы структура представляла собой идеальный трехмерный кристалл, то вследствие наличия трансляций а Tib все молекулы совместились бы точно. Взяв центр одного из атомов или вообще любую другую фиксированную точку каждой молекулы за начало координат, мы могли бы изобразить размещение этих точек вдоль осп графиком рис. 62, а. Пусть теперь в нашем агрегате молекул имеются некоторые сдвиги, однако такие, что все же существует тенденция занимать некоторое положение преимущественно. Функция сдвига t(z), описывающая статистику размещения молекул в этом случае, изображена на рис. 62, б. Ниже мы подробнее будем анализировать функции подобного рода и связанные с ними дифракционные свойства агрегатов ценных молекул. Наконец, если сдвиги совершенно произвольны и равновероятны, то график функции сдвига t(z) будет иметь всюду постоянную величину (рис. 62,е). Именно этот случай можно назвать чистым сдвигом. Такое размещение, в отличие от периодического размещения (рис. 62,а), можно характеризовать операцией бесконечно малого переноса Хао- Эта операция является примером предельных операций симметрии, описывающих бесконечно малые движения или повороты. [c.91]

Рассмотрим такой пример. На картине задана перспектива прямой АВ (рис. 404), предельная точка Р которой находится за рамкой картины. Требуется через заданную перспективу точки 3 провести прямую ММ, параллельную АВ. Для этого построим треугольник 1—2—3 произвольной формы, одну вершину которого расположим на линии горизонта в точке 2, а две другие на прямых АВ и ММ. На прямой АВ возьмем произвольную точку и проведем через нее две прямые, параллельные сторонам 1—2 и 1—3. В результате на линии горизонта получим точку 2ь Из точки 2г проведем прямую, параллельную прямой 2—3, до пересечения с прямой, проведенной из точки параллельно прямой 1—3, получим точку 51. Таким образом, получим два подобных треугольника 1—2—5 и —2 —51. Центром подобия их является точка Р, общая для всех прямых, параллельных прямой АВ. Соединив прямой точки 5 и 5ь получим прямую ММ, параллельную прямой АВ. [c.258]

Рассмотрим теперь примеры 1, п. 14. Полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия как в случае узла или фокуса, так и в случае седла (примеры 3, 4, 5) ), имеет своей единственной предельной точкой это состояние равновесия. В примере 4 все траектории, имеющие вид спиралей и расположенные внутри замкнутой траектории (предельного цикла) = 1, имеют единственную сс-предельную точку — состояние [c.104]

Замечание. Если незамкнутая траектория Ь имеет в качестве своих предельных точек только состояния равновесия, то сколь угодно близко от нее могут проходить замкнутые траектории. Так, в примере 10 1 сколь угодно близко к незамкнутой траектории петле (вхо-кривую типа восьмерки) проходят замкнутые [c.116]

Однако установление всех возможных типов траекторий, аналогичное теории Пуанкаре — Бендиксона (гл. 2), для случая и > 2 значительно сложнее. У динамической системы на плоскости, если траектория L имеет незамкнутую предельную траекторию Lo, то Lo среди своих предельных точек может иметь только состояния равновесия. В динамических системах числа измерений ге > 2 возможна бесконечная цепочка траекторий, обладающих тем свойством, что все они отличны от состояния равновесия и каждая траектория Lj+i является предельной для Li. Пример такой динамической системы с неаналитической правой частью см. [96]. Вопрос о возможности такой же ситуации в аналитической системе остается открытым. [c.468]

Предельная точка траектории I может как принадлежать самой траектории Ь, так и не принадлежать ей. Поясним это на примерах тех полутраекторий, которые встречались в рассмотренных выше частных случаях динамических систем. Всякое состояние равновесия является своей единственной предельной точкой (как (о-, так и а-предельной). Все точки замкнутой траектории, очевидно, также являются ее О)- и а-предельными точками. Действительно, соответствующее замкнутой траектории I движение [c.399]

Чувствительность может быть увеличена путём понижения резонансной частоты мембраны, увеличения напряжения Е , уменьшения зазора А или же уменьшения удельной массы с (мембраны). Толщина мембраны взята в нашем примере почти предельно тонкой, так что о не можег быть сколько-нибудь значительно уменьшено. Взять Е больше, чем это позволяет пробивное напряжение для зазора А, нельзя. Понижая резонансную частоту мы тем самым сокращаем рабочий диапазон частот микрофона, что также является нежелательным. [c.392]

Может создаться впечатление, что такое явление связано со специфическими свойствами предельной точки, но нетрудно построить пример и для случая потери устойчивости в виде точки бифуркаций (рис. 55,а), где также два смежных узла интегрирования лежат вблизи устойчивых ветвей кривой состояний равновесия, а в промежутке между ними система теряет устойчивость. [c.156]

Еще один пример предельного цикла представлен на рис. 1.12.13, который надлежит рассматривать в пространстве размерности 3 и выше. Примером многообразия может служить тор (рис. 1.12.14). В этом случае между каждым элементом поверхности и элементом плоскости можно установить взаимно однозначное соответствие, сопоставив каждой точке элемента тора точку элемента плоскости, и наоборот. Тор можно полностью покрыть элементами, которые частично налегают один на другой. [c.51]

Практически процесс пополнения неполного пространства сводится к добавлению к пространству предельных точек последовательностей Коши этого пространства (конкретнее, можно пополнить пространство, построив классы эквивалентности последовательностей Коши, так что если и — класс эквивалентности, то и = lim м", где м" б Т). В качестве важного примера рас- [c.110]

Значения верхних и нижних предельных отклонений проставляют в миллиметрах со своими знаками непосредственно после номинальных размеров. Если оба отклонения имеют разные абсолютные значения, то их помещают одно над другим (верхнее над нижним) и пишут меньшими цифрами, чем те, которые приняты для номинальных размеров. Так, размер штифта D = 20 мм с отклонениями, вычисленными в примере 4.1, на чертеже запишем следующим образом [c.39]

Типовые примеры графического изображения допусков, отклонений, номинальных и предельных размеров и других параметров точности отверстия и вала показаны на рис. 4.4, а. Эти схемы построены на основе изложенного принципа. Масштаб при построении таких схем выдержать нельзя, так как допуски на обработку деталей в сотни и тысячи раз меньше номинальных размеров. В примере 4.4 для О — 22 мм ТО = 21 мкм, что составляет менее 1/10000. Поэтому горизонтальные линии, определяющие предельные размеры 0 ,ах, Отш. и тах. проводят нэ ПРОИЗВОЛЬНЫХ расстояниях ОТ нижней ли- [c.42]

Пример 7. Для условия примера 6 определить приращение температуры в точке окончания процесса наплавки 0 (рис. 6.12,6) спустя 25 с после прекращения наплавки, учитывая, что к моменту окончания процесс достиг предельного состояния. [c.179]

Примеры. 1. Пусть два однородных шара одинакового диаметра, но разной плотности падают свободно в воздухе. Найдем отношение их предельных скоростей. Для рассматриваемых шаров величины с и 6 одинаковы, а массы и разные одной и той же будет и плотность воздуха р. Тогда формула (22) дает [c.359]

Начнем с примера, приведенного в предыдущем параграфе, и рассмотрим задачу о распространении тепла в бесконечном тонком прямолинейном стержне при отсутствии подвода (отвода) тепла в точках боковой поверхности стержня. Указанная задача математически имеет вид (4.63). Функция ф (х), задающая начальное условие, определена и ограничена на всей числовой оси (—оо, +оо) будем считать ее кусочно-непрерывной. Искомое решение w х, i) должно удовлетворять уравнению (4.63) в открытой области А —оо <х< + оо, 0< <+с 1 и непрерывно примыкать к предельной функции ф (х), т. е. [c.140]

Пример 20.6.2. На деталь, представленную на рис. 20.6.7, действует нагрузка по симметричному циклу Ртах = = 1000, Н, Ршш = —1000 Н. Кроме этого, в точке А приложена сосредоточенная нагрузка, для которой статические предельные напряжения равны 0в = 700 МПа, От = [c.358]

При указанном подходе, естественно, возникает вопрос об однозначности возникающего предельного рещения (дальше мы вернемся к этому вопросу на примере сосредоточенной силы, расположенной внутри пространства). Вначале же отметим один дефект решения при задании сосредоточенной силы. Это решение обладает такой особенностью, что перемещение в точке приложения сосредоточенной силы бесконечно, в то время как перемещения во всех остальных точках ограничены и убывают по мере удаления от особой точки. Поэтому будет существовать такая зона, в которой решение в смещениях окажется неоднозначным в том смысле, что две различные точки в процессе деформирования переходят в одну, что лишено физического смысла ). [c.299]

Поскольку точка р устремляется к началу координат при п- -оо, то 1/Р(р, )-> 1/г(р) и вследствие условия (6.6) получаем, что фи— фо. Аналогичным образом доказывается равенство фи—>Фо. Если же условие (6.6) снять, то удается построить примеры [82], из которых следует, что предельный процесс может привести к другим решениям. Заметим, что условие (6.6) автоматически выполняется, если известно, например, что все массовые силы имеют одно и то же направление. [c.301]

В главе 1 построены обобщенные формы метода, обеспечивающие единообразие процесса продолжения решения в регулярных и предельных точках множества решений. Показано, что проблема выбора параметра связана с решением линеаризованных (жстем зфавнений традиционным методом исключения и что она не возникает при использсжании для этого метода ортогонализации. Показано также, как строить процесс продолжения решения, чтобы линеартзованные (жстемы были максимально обусловленными, и как выбирать оптимальный в этом смысле параметр продолжения. Здесь, рассмотрены примеры применения метода к таким модельным задачам, как пологая арка и трехстержневая ферма. [c.5]

Здесь мы рассмотрим примеры применения разработанных в 1.1, 1.2 обобщенных форм метода продолжения решения. Наиболее эффективно эти формы работают, когда множество К решений нелинейной задачи является петлеобразной к1Жвой. Как видно из рис. 1.9, при построении кривой К продолжением по параметру Р мы столкнемся с трудностями при приближении к предельной точке В. /> [c.43]

Наконец, следует сделать замечание о той конкретной вероятностной схеме, которая используется при переходе от интегральной Я-теоремы к локальной. При хаком переходе из факта, показывающего, что в некотором множестве (в нашем примере — множестве точек с данной ординатой) подавляющее большинство элементов обладает некоторым признаком (в нашем примере — являются точками минимума), делается вывод, что обнаружение на опыте элемента с этим признаком подавляюще вероятно. Но для этого, очевидно, необходимо, чтобы внутри множества существовало соответствующее распределение вероятностей, например, чтобы все элементы были одинаково вероятны. (Предельные частости, которые в некоторых случаях согласно теории коллектива, могут рассматриваться как вероятности, в случае рассматриваемой — заранее заданной, реальной в смысле 13 — последовательности, без дополнительных предположений не.имеют никакого отношения к понятию вероятности.) Однако легко видеть, что именно такое распределение не может получить математически корректного определения. Действительно, в нашем примере рассматриваемое множество элементов представляет собой дискретное бесконечное множество точек бесконечно простирающейся Я-кривой, обладающих данной ординатой. Элементам же бесконечного дискретного множества, как подчеркивал С. Н. Бернштейн [20], мы не можем приписать равных вероятностей без того, чтобы не притти в противоречие с основным постулатом теории вероятностей, лежащим также в основе применения понятия вероятности к опыту. Этот постулат состоит в условии равенства суммы вероятностей единице — условии позволяющем предложениям истинным сопоставлять вероятность равную единице, а предложениям ложным — вероятность нуль. Исходя из предположения равновозможности, мы не могли бы приписать элементам нашего множества ни равного нулю (так как при этом и полная вероятность была бы равна нулю, тогда как в действительности заведомо осуществилась одна из точек), ни отличного от нуля значения вероятности. [c.117]

Пример 14.7. В случае, если бы требовалось определить для данных предыдущего примера предельный расход, отвечающий перекошу в полунапорное движение, то из таблички в тексте (стр. 437) можно получить Смаке = >52-1,5 = 4,19 а глубина перед [c.446]

В случае ai < fi < оа (типичном для рассматриваемого класса объектов) корневые годографы представляют собой отрезки действительной оси на рис. 4.17,5. Значения начальных и предельных точек на этом рисунке соответствуют численному примеру, тфиведенному выше /J = 2,83 [c.172]

При нек-рых ограничениях возможны более простые подходы. Исследование устойчивости равновесия упругих систем, загруженных потенциальными силами, может быть проведено энергетич. методом, основанном па теореме Лагранжа—Дирихле, согласно к-рой в ноложении устойчивого равновесия суммарная потенц. энергия упругой системы и внешних сил принимает минимальное значение, а в по-ло-кении неустойчивого равновесия — максимальное. Т. о., задача сводится к исследованию свойств функционала суммарной потенциальной энергии, что можпо заменить последовательным рассмотрением смены форм равновесия при и шенении параметров системы. В окрестности точки разветвления, наряду с исследуемой формой равновесия, существуют нек-рые смежные формы. При переходе через эту точку происходит потеря устойчивости. Переходу через предельную точку соответствует скачкообразный переход от одной формы равновесия к другой. Типичный пример — нрощелкивание топкой упругой оболочки, сжатой осевыми силами. Метод в теории У. у. с., основанный на рассмотрении точек разветвления и предельных точек, наз. статическим [I, 2]. [c.276]

В примере 8 отличная от состояния равновесия траектория, входяхцая в состав петли , имеет состояние равновесия и своей а-, и своей ю-предель-ной точкой. В примере 11 при р, > О (рис. 24, а) траектории, от.пичные от состояния равновесия, лежащие внутри петель , имеют состояния равновесия (фокусы) своими (О-предельными точками, а своими сс-иредельнымп точками — все точки петель . Рассмотрение предельных точек траекторий в примере И, лежащих вне восьмерки , также не представляет затруднений. [c.104]

В случае бесконечного числа особых траекторий это может не быть справедливым. С другой стороны, точки со (а)-орбитно-неустойчивых траекторий могут быть (О (а)-регулярны. Простым примером этого может служить сепаратриса на рис. 342. В мпожество N всех предельных точек входят траектории /,, и L (состояние раниовесия Oj — седло, состояние равиовесия [c.556]

Пример предельного использования эф кта гравитационного захвата — эста( ный полет станций к планетам-гигантам Солнечной система в американских прогр аммах сВояджер-1 и сВояджер- . Гравитационный захват использован в проекте размещения энергетических установок в либрационных точках системы Солнце— Земля. [c.132]

Прн этом p==q kp = q), а точка q на основанАи следствия 1.5 является точкой покоя. Так, в примере 1.1 никакоо движение, кроме покоя, не имеет ш-предельных точек, а точка покоя О является а-предельной для всех этих движений. В примере 2.1 точка О является ш - предельной для всех движений, однако а-предельных точек эти движения, за исключением покоя, не имеют. В примере 3.6 точка О является ( -предельной для движения, происходящего по отрицательной полуоси ОХ и а-предельной для движения, происходящего по положптельнбй полуоси ОХ. [c.33]

Состояния конструкций или деталей, когда их эксплуатация считается невозможной, опасной или нежелательной, носят названия предельных состояний. Наступление текучести, потеря устойчивости, появление течи, образование трещины в детали — все это примеры предельных состояний. Чаще всего наступление предельного состояния свюывают с появлением в металле, детали или элементе конструкции какого-то явления или процесса. Но в некоторых случаях в качестве предельных состояний принимают момент, когда достигается определенный количественный уровень того или иного параметра, например пропй балки заданной величины, определенное удлинение металла при ползучести и т.д. [c.24]

Потерю давления в клапане находят по его характеристике Рк = f (Qk) при ( к = ф-2(2 тах/2. Так как эта характеристика задается графически, уравнение (3.40) также удобно решать графически. Пример такого решения, соответствующий схеме рис. 3.14, показан на рис. 3.16, где точка А пересечения линии Дртах предельного запаса давления с линией р суммарных потерь определяет Qiiman при заданном [c.298]

Пример 18-3. Определить температуру всех точек теоретического цикла ГТУ с подводом теплоты при р = onst и цикла ГТУ с предельной регенерацией (рис. 18-17), а также к. п. д. этих циклов, если известно, что Л = 25° С, степень повышения давления в компрессоре р = = 5, температура газов перед соплами турбины [c.294]

Последний случай соответствует периоду выравнивания температур после достижения предельного состояния. Пример был иллюстрирован определением приращения температуры в точке А, принадлежащей пластине. Аналогично вычисляют приращения температуры для точек массивного тела и стержня при этом il53 и ijji, а также ЛГпр берут по формулам (6.22) и (6.30). [c.178]

Пример 8. На стальной лист толщиной 18 мм наплавляют валик, мощность источнкка <7 = 4000 Вт, скорость его перемещения и = 3,6 м/ч = 0,1 см/с, теплофизические коэффициенты Х= 0,04 Вт/(см-К), а = 0,09 см /с. Рассчитать приращение температуры предельного состояния в точках Л и В, находящихся на верхней и на нижней плоскостях на расстоянии 20 мм позади источника теплоты по оси его движения. [c.188]

Посадки устанавливают сочетанием полей допусков отверстия и вала. Для унификации деталей и инструмента наиболее рациональным является такой способ образования посадок, когда одна деталь (отверстие или вал) в различных поса.тках имеет постоянное расположение поля допуска, а требуемая посадка обеспечивается подбором расположения поля допуска другой детали соединения (соответственно вала или отверстия). Деталь, имеющая постоянное расположение поля допуска, называется основной. В связи с этим различают посадки в системе отверстая и в системе вала. В посадках в системе отверстия при одном н том же квалитете и одном и том же номинальном размере прехщльные отклонения отверстий одинаковы для любых посадок, а различные посадки достигаются изменением предельных отклонений валов. В посадках в системе вала различные виды посадок обеспечиваются изменением предельных отклонений отверстий. Примеры расположения полей допусков в этих системах показаны на рис. 8.7. Если применяется посадка, в которой ни одна из деталей не является основной, то посадка называется внесистемной. [c.97]

Деполяризация рассеянного света. Иной результат получается в том случае, когда молекула рассеивающей среды анизотропная. Если в первом случае было безразлично, как орнеитирована молекула по отношению к направлению электрического вектора падающего света, то во втором случае оно имеет существенное значение. В зависимости от ориентации молекулы по отношению к возбуждающему полю направление индуцированного колеблющегося диполя может совпадать с направлением электрического поля света (возбуждающего поля). В качестве примера рассмотрим предельный случай — полную анизотропию, т. е. модели так называемой жесткой налочки где поляризуемость во всех направлениях, кроме одного, совпадающего с осью палочки , равна нулю (а = а, [c.316]

Синтез механизма заключается в поиске оптимальной совокупности значений его внутренних параметров. С этой целью критерии оптимальности выражают целевыми функциями, в основе которых лежат математические модели механизмов, представленные таким образом, что при оптимальной совокупности внутренних параметров механизмов, соответствующей наилучшему значению выходных параметров, целевые функции имеют экстремальное значение. Примерами подобных функций являются зависимости, применяемые при подборе чисел зубьев рядовых и планетарных зубчатых передач (см. гл. 14). Если среди всех показателей качества выделить один критерий, наиболее полно отражающий эффективность проектируемой машины или механизма, то выбор оптимальной совокупности внутренних параметров механизма производится по целевой функции, формализующей этот частный критерий. Такая операция называется оптимизацией по домини-рующ ему критерию. Остальные критерии при этом лишь ограничивают область допускаемых решений. Оптимизация по доминирующему критерию при всей простоте постановки задачи обладает тем недостатком, что остальные выходные параметры находятся обычно в области предельных значений. [c.313]

Наконец, следует сделать заключение о раскрытии в конце трещины. Ясно, что для реальных материалов в результате пластического течения раскрытие больше нуля и может считаться как постоянной материала, так и величиной, зависящей от внешней нагрузки. Причем рассчитанные примеры показали, что и в том, II в другом случае расхождение между критическими состояниями невелико (линии 2 и 5 на рис. 18.1, 18.3, 18.4). Более того, начиная с некоторого значения размера трещины, предположение о нулевом раскрытии практически также не изменяет критическое состояние. Отсюда можно сделать вывод, что принятие той или иной гипотезы о степени постоянства раскрытия в конце трещины можно скорее обосыовать удобством расчета, нежели соображениями его точности. К этому можно добавить, что детали деформации, отражающиеся на раскрытии в малой окрестности конца трещины, сильно зависят от размера зерна, его анизотропии и неоднородности (а также и от других причин), что вносит в эксперимептальное измерение раскрытия некоторую долю не-определенности, позволяющую относиться к результатам непосредственного измерения малых значений раскрытия в конце трещины с известной осторожностью [51]. Поэтому при хрупком разрушении достаточно знать плотность работы разрушения измеренную па образцах с достаточно большой трещиной, и техническую прочность Оо гладкого образца (в отсутствие трещины). Этих параметров достаточно для построения области предельного состояния тела с трещиной и с ограниченной прочностью при = 0. [c.143]

Пример 13.6. Материальная точка массы m иг падает в воздухе без начальной скорости. Сопротивление воздуха S=k mgv Н, где-f — алгебраическое значение скоростн, — коэффициент пронорциональностп. Найти скорость точки по истечении t секунд после начала падения, а также предельную скорость. [c.252]

Кстати, о терминологии. В литературе наряду с термином предельное напряжение применяют опасное напряжение . Одинаково ли они удачны Предпочтительнее все-таки предельное напряжение . Действительно, когда мы говорим о том, что какое-то явление пли событие опасно, это слово не ассоциируется, скажем, с неизбежной гибелью. Ведь, если мы видим плакат Не разрешайте детям играть на мостовой—это опасно для жизни , мы верим сказанному, но отнюдь не считаем, что каждый ребенок, выбежавший на проезжую часть, обязательно попадает под машину. Но если напряжение достигло предела прочности, то нет никаких сом нений в возникновении трещины, начинается разрушение, это предельное, а не опасное состояние. Не знаем, в какой мере этот пример будет способствовать утверждению высказанного мнения, но по самому духу языка термин предельное лучше соответствует сушестпу вопрос.з. [c.77]

Если интервал а,Ь) бесконечен, т.е. а = - 00, й = 00, то требования к функциям для удовлетворения условия (22.41) необходимо уточнить. Если при. V - - 00 и х- (Ю функции стремятся к нулю, то соблюдение условий (22.41) очевидно. Однако представляется вероятным, что имеется и другой класс функций, которые в определенном смысле удовлетворяют условию (22.41), хотя и не стремятся к нулю при X -> со. Возьмем в качестве примера функции при всевозможных вещественных значениях параметра к. Они являются осциллирующими функциями при X -> -> 00 и не стремятся к определенному пределу. Не стремится к определенному пределу и произведение при к ф к хотя при к = к предельные значения равны 1 и условие (22.41) соблюдается. При к ф ф к предельное значение произведения функций при X 00 определяется как среднее значение по бесконечному интервалу, начинающемуся со сколь угодно большого значения х, и если при этом значении произведение стремится к нулю, то в соответствующем векторном пространстве оператор эрмитов. Для функций е это условие имеет вид [c.147]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...