Основные граничные задачи. Единственность решения

Основные граничные задачи. Единственность решения. 1. Основными граничными задачами мы будем называть задачи, вполне аналогичные задачам, формулированным в 20 для случая трех измерений, а именно следующие ) [c.134]

Таким образом, теоремы единственности решения указанных задач доказаны. Необходимо отметить, что из равенства нулю компонентов малой деформации, как это вытекает из формулы (3.26), не следует Цг=0. Поэтому при решении первой основной граничной задачи мы можем получить для проекции перемещения щ различные значения, отличающиеся друг от друга только жестким перемещением всего тела, не влияющим на напряженное или деформированное состояние тела. Во второй и третьей основных граничных задачах указанного различия не будет, ибо на всей поверхности во второй задаче или на части поверхности в третьей задаче будут заданы перемещения. [c.86]

Основные граничные задачи статики упругого тела. Единственность решения. Вернемся к основным уравнениям статики упругого тела ( 18), которые мы теперь перепишем так [c.70]

Приятие регулярного решения. Единственность регулярного решения. 1. В 40 при постановке основных граничных задач и при доказательстве единственности решения мы предполагали, что компоненты и, V смещения и компоненты Хх, Yy, Ху напряжения непрерывны вплоть до границы L области S. То же предположение мы сделали в 41. [c.149]

В 40 были доказаны теоремы единственности решений основных граничных задач в предположении, что компоненты смещения и напряжения непрерывны вплоть до границы. [c.150]

Неоднозначность решений уравнения колебаний. Когда граничная задача математической физики относится к области, содержащей бесконечно удаленную точку, необходимо особо рассмотреть вопрос О поведении решения на бесконечности исследовать асимптотический характер решения в зависимости от пространственных координат. В условиях задачи обычно нет непосредственных указаний относительно этого характера, и он должен быть определен из косвенных соображений в соответствии с физическим содержанием вопроса, причем забота о том, чтобы принятый на бесконечности характер решения обеспечивал единственность искомого решения, является важнейшей. Ясно, что условие, обеспечивающее единственность, само, вообще говоря, не является единственным, и задача состоит в выборе этого условия наиболее целесообразным образом, и прежде всего так, чтобы решения с заданным характером на бесконечности существовали. Формулы Грина и им подобные, в частности в теории упругости формулы Бетти, служат средством, позволяющим делать этот, выбор однако после того, как из физических соображений или на основании указаний, которые черпаются из формул Грина, мы остановились на том или ином асимптотическом характере решения, необходимо доказать, что такое решение действительно существует и является единственным. Подобный выбор асимптотического характера решения граничных задач для уравнения мембраны (скалярное уравнение колебаний), основанный на применении формулы Грина, был сделан впервые в 1898 г. А. Зоммерфельдом и вошел в литературу под названием условия излучения-, доказательство суи<е-ствования и единственности решений основных граничных задач колебаний, удовлетворяющих условию излучения Зоммерфельда, было дано автором в 1933—1934 гг. [136, в, д]. [c.58]

Здесь мы распространим модель Зоммерфельда, а затем и наше доказательство единственности и существования на основные граничные задачи теории упругости [13г]. Рассмотрим сначала простейший случай бесконечное пространство, подверженное воздействию точечно-сосредоточенной силы. Мы знаем, что в этом случае решение уравнения (1.1 ) выражается матрицей фундаментальных решений Г(аг, у). При построении этой матрицы с помощью формул (1.28) из двух теоретически равноправных знаков в показателе степени в выражении [c.59]

Интегральные уравнения граничных задач. Теоремы существования и единственности. Рассмотрим первую и вторую основные граничные задачи с постановкой этих задач мы познакомились в 2 гл. II. Правда, здесь речь идет уже о построении решения системы уравнений (8.4). Разыскивая решение первой задачи в виде потенциала двойного слоя первого рода, а решение второй — в виде потенциала простого слоя первого рода, получим на основании [c.265]

Заметим, что если граничная поверхность 2 простирается до бесконечности, то проведенное выше рассуждение о поведении гармонических функций в бесконечности недействительно. В этих случаях требуется отдельное специальное аналогичное исследование, в частности, это необходимо для плоских задач, в которых поверхности 2 — бесконечные цилиндры. Однако и в этом случае требование об исчезновении скорости при удалении от внутренних границ области в бесконечность и требование об однозначности потенциала гарантируют единственность решения рассматриваемых основных краевых задач. [c.173]

Следует указать, что принятое изложение метода подобия не является единственно возможным. Широко используется и другой, на первый взгляд более простой способ, основанный на принципе размерностей ). Этот метод в явной форме не пользуется дифференциальными уравнениями и соответствующими им граничными, начальными и другими возможными условиями единственности решений этих уравнений, но требует достаточно глубокого понимания сущности явлений, без чего нельзя правильно выбрать основную систему физических параметров, описывающих явление, и указать, какие из них в постановке рассматриваемой конкретной задачи являются заданными наперед, а какие зависящими от них. В основе теории размерности лежит П-теорема ). [c.372]

Исследовать единственность решения основных гранично-контактных задач для уравнения установившихся термоупругих колебаний. [c.122]

В этой главе рассмотрены различные основные и смешанные граничные задачи статики и-гармонических колебаний классической теории упругости для конечных и бесконечных областей, ограниченных несколькими замкнутыми поверхностями. Построены соответствующие тензоры Грина и доказаны теоремы существования и единственности решений указанных задач. [c.422]

Вернемся теперь к вопросу о единственности решения наших основных задач. Пусть какая-либо из них допускает два решения с одинаковыми граничными и начальными условиями и одинаковыми объемными силами. Составим разность этих двух решений (ср. 20). Полученное новое решение и, V, V)) будет удовлетворять тем же уравнениям, что и два данных, но при отсутствии объемных сил кроме того, в случае первой задачи будем иметь [c.84]

Легко показать, что задача, соответствующая граничным условиям (1), не может допускать двух различных решений. Действительно, вспомним, что для доказательства единственности решения основных задач главную роль играло равенство нулю (на контуре) выражения [c.478]

Таким образом, обобщенные аналитические функции решают вторую основную задачу для областей к = -- 0, 1,. . ., п) при значении упругой постоянной Xi=l. Теорема единственности справедлива и в этом случае (см. конец п. 1 33). Решение граничной задачи (38.17) определено с точностью до слагаемых (33.7) и имеет вид [c.363]

Обоснования 1 и 2 никак нельзя применить непосредственно. Как мы видели в. VII. 3, нежелательна безоговорочная единственность решения смешанной граничной задачи, поэтому не подходит никакое слишком сильное дополнительное условие, приводящее к ней. Одна из основных задач теории конечных упругих деформаций состоит в том, чтобы вывести критерий неустойчивости, поэтому никакое чересчур сильное условие, обеспечивающее устойчивость всех решений, не подходит для того, чтобы принять его в качестве общего. Что же касается обоснования 3, то уже для того только, чтобы дать его формулировку, имеющую термодинамический характер, требуются дополнительные понятия, которых нет в чисто механической теории. Поэтому тем более ничего нельзя доказать в теории упругости на основе термодинамики, хотя в действительности имеются достаточные основания рассматривать, что мы и будем делать позднее в этой книге, теорию, которая опирается на. специальные предположения о влиянии изменения температуры, равно как и изменения формы. [c.315]

Оставляя в стороне вопрос о доказательстве существования решения, докажем теорему единственности, при этом мотивировка остается той же, что и для статической задачи в 8.4. Ход доказательства остается в основных чертах тем же самым. Предположим, что одним и тем же начальным условиям (13.1.2) и граничным условиям удовлетворяют два различных решения системы (13.1.1) и (8.4.2) —(8.4.4), а именно, щ, a -j. Тог- [c.430]

Функции ф (г) == о, я (г) = 2/яс, очевидно, решают вторую основную задачу для при граничном условии (26) самое же общее решение на основании теоремы единственности мы получим, прибавив к ф (г) любую постоянную с , а к -ф (г) — постоянную хсй (см. 34, формула (13) и сказанное после нее). [c.379]

Вигнер и Зейтц [12] рассматривали щелочные металлы, причем основное внимание они уделяли наинизшему состоянию в зоне, т. е. состоянию с к = 0. Для него волновая функция есть просто функция Блоха ио (г), обладающая полной симметрией решетки. В этой задаче оказалось удобным разбить кристалл на атомные ячейки таким образом, чтобы ячейка, относящаяся к каждому атому, содержала все точки пространства, находящиеся ближе к данному атому, чем ко всем остальным. Из соображений симметрии непосредственно следует, что в простых структурах нормальная составляющая градиента ио (г) на границах всех атомных ячеек обращается в нуль. Тогда для заданного потенциала задача сводится к решению уравнения на собственные значения внутри единственной ячейки с хорошо определенными граничными условиями на ее поверхностях. В качестве потенциала Вигнер и Зейтц взяли потенциал свободного иона, т. е. тот же потенциал, который должен был бы фигурировать в расчете атомных состояний. В свете того, [c.95]

Во-первых, чем полнее и подробнее осноЕшые уравнения и граничные условия, тем больше информации можно получить об изучаемом процессе. Наиболее подробными основными уравнениями обычно являются дифференциальные. Более того, большинство задач, для которых мы не можем найти полные аналитические решения, описывается одним или несколькими дифференциальными уравнениями в частных производных. Таким образом, к задачам такого рода более всего подходит фракционный анализ. Следует подчеркнуть важность исследования всех уравнений и граничных условий для получения единственного решения. [c.78]

Для области с кусочно-прямолинейными границами Г. И. Положий [1—3] изучал третью основную задачу теории упругости. Так принято иногда называть задачу о соприкасании с жестким профилем, когда на границе среды задаются нормальные смещения и касательные напряжения (см. 128). В граничных условиях этой задачи, после их надлежащего преобразования, при старших производных искомых функций появляется коэффициент, содержащий кривизну контура в качестве множителя. Бла-годаря этому в случае контуров, состоящих из отрезков прямых, задача существенно упрощается и приводится к двум последовательно решаемым граничным задачам теории аналитических функций. Этим путем Г. Н. Положий построил решение задачи в случае, когда граница области, конечной или бесконечной, представляет собой полигональный контур довольно общего вида. При решении задачи автор сформулировал некоторые физические условия, касающиеся порядка роста напряжений вблизи углов, при которых теорема единственности решения остается справедливой. [c.595]

Несмотря на нелинейный характер основной системы уравнений в большинстве случаев удается доказать существование и единственность решения приведенных выше систем уравнений при соответствующих граничных условиях. Эти исследования проводились для конкретных типов задач. Во всяком случае, для систем (2.176), (2.177), (2.181а) и (2.1816) они известны. Сложнее обстоит дело с вязкой жидкостью (газом). [c.408]

Здесь в состоянии 2 за ударной волной можно считать известными все основные величины, т. е. 112, р2 и Р2 (теорема 5.5). Поэтому для / О снова получаегся конически автомодельная краевая задача (см. 13) с граничным уеловием на контактной характеристике х = О, имеющая единственное автомодельное решение. Здесь (г/, р)-диаграмма и конфигурация на плоскости событий будут такими, как показано на рис. 7. Характерными элементами решения являются падающая па стенку и отра.женная от стенки ударные волны. [c.181]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...