Неоднозначность решений уравнения колебаний

Неоднозначность решений уравнения колебаний. Когда граничная задача математической физики относится к области, содержащей бесконечно удаленную точку, необходимо особо рассмотреть вопрос О поведении решения на бесконечности исследовать асимптотический характер решения в зависимости от пространственных координат. В условиях задачи обычно нет непосредственных указаний относительно этого характера, и он должен быть определен из косвенных соображений в соответствии с физическим содержанием вопроса, причем забота о том, чтобы принятый на бесконечности характер решения обеспечивал единственность искомого решения, является важнейшей. Ясно, что условие, обеспечивающее единственность, само, вообще говоря, не является единственным, и задача состоит в выборе этого условия наиболее целесообразным образом, и прежде всего так, чтобы решения с заданным характером на бесконечности существовали. Формулы Грина и им подобные, в частности в теории упругости формулы Бетти, служат средством, позволяющим делать этот, выбор однако после того, как из физических соображений или на основании указаний, которые черпаются из формул Грина, мы остановились на том или ином асимптотическом характере решения, необходимо доказать, что такое решение действительно существует и является единственным. Подобный выбор асимптотического характера решения граничных задач для уравнения мембраны (скалярное уравнение колебаний), основанный на применении формулы Грина, был сделан впервые в 1898 г. А. Зоммерфельдом и вошел в литературу под названием условия излучения-, доказательство суи<е-ствования и единственности решений основных граничных задач колебаний, удовлетворяющих условию излучения Зоммерфельда, было дано автором в 1933—1934 гг. [136, в, д]. [c.58]

НЕОДНОЗНАЧНОСТЬ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ 61 [c.61]

Как показывают характеристики на рис. 8.19, свободным колебаниям виброударной системы свойственна неоднозначность решений. Одним и тем же значениям параметров системы и возму-ш,ения соответствуют два различных режима свободных колебаний системы и соответственно два различных значения величины О). На рис. 8.19 в качестве примера отмечены две точки а и б, для которых = 1, а = 0,75. На рис. 8.20, а и б построены соответствуюш,ие законы движения обеих частей системы. Согласно третьему уравнению (8.38) величинам > 1 всегда соответствует значение Хс > О, величинам < 1 соответствует Хс < 0. Другими словами, в первом случае массы mi и m2 в моменты соударений смеш,ены в одну и ту же сторону от среднего положения, во втором случае в разные стороны. [c.297]

Напомним, что форма колебаний (собственный вектор) определяется неоднозначно как решение однородной системы линейных алгебраических уравнений (12.44) при со = сод,. [c.433]

Полученный здесь результат аналогичен результату исследования нелинейных случайных колебаний, описываемых уравнением Дуффинга. Как показано в гл. 5, при узкополосных случайных воздейстйиях также получаются неоднозначные решения, отра-жаюш,ие явление затягивания амплитудно-частотных характеристик и перескока отдельных реализаций с одной устойчивой ветви на другую. Статистическое истолкование полученных результатов нуждается в дополнительных пояснениях. [c.204]

Устойчивость вынужденных колебаний нелинейной системы. При гармоническом возбрхдении механической системы с нелинейной характеристикой восстанавливающей силы в некотором диапазоне частот решение задачи о вынужденных колебаниях неоднозначно — одному и тому же значению частоты возбуждения соответствуют несколько значений полуразмахов колебаний (см. с. 28), т. е. несколько разных режимов движения. Некоторые из этих режимов неустойчивы. При анализе устойчивости различных режимов коэффициенты уравнений первого приближения оказываются периодическими функциями времени (см. с. 39) для системы с одной степенью свободы уравнения первого приближения обычно приводятся к уравнению типа Хилла (или в частном случае к уравнению Матье), Задача устойчивости периодического режима движения нелинейной системы сводится к оценке свойств решений этого уравнения (см. т. 1). [c.41]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...