ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные граничные задачи. Единственность решения из "Некоторые задачи математической теории упругости Изд5 " Первая основная задача (задача 1). Найти упругое равновесие при заданных внешних напряжениях, приложенных к границе Ь области 8. [c.134] Во всем дальнейшем (если противное не оговорено) мы будем считать, что все рассматриваемые контуры — гладкие линии. [c.134] Если область 5 бесконечна, мы будем считать, что напряжения в бесконечно удаленной части плоскости удовлетворяют условиям 36, т. е. остаются ограниченными. [c.134] Так как, далее, постоянная С (напомним, что Г = + 1С) не влияет на распределение напряжений, мы будем обычно полагать (7 = 0. [c.134] Кроме указанных задач, важную роль играет основная смешанная задача, в которой задаются смещения на одной части границы и напряжения, приложенные к другой части. В случае смешанной задачи для бесконечной области мы будем считать, что, как и в задаче II, дополнительно заданы значения X, У, Г, Г. В главе VI мы рассмотрим еще некоторые задачи иного типа. [c.134] При доказательстве мы будем считать, что компоненты напряжений и смещений, соответствующих рассматриваемым решениям, непрерывны вплоть до границы L (см. также замечание в конце п. 3 настоящего параграфа). [c.135] Значит, и Хх, Уу, Ху, составленные для разности двух решений, равны нулю, т. е. оба решения тождественны в том смысле, что дают одинаковые напряжения и деформации. [c.136] Мо = еу + а, Уо = ех + р, соответствуюш ими произвольному жесткому перемеш ению тела в плоскости Оху. В случае задачи II и смешанной и этой разницы быть не может, так как смеш ения в обоих решениях должны быть одинаковы вдоль всего контура или части его. [c.136] во всех рассматриваемых случаях X = У = 0. Кроме того, величины Г, Г, соответствуюш,ие разности двух решений, равны нулю, так как по заданию они одинаковы для обоих решений, если считать в случае задачи I, что мнимая часть Г равна нулю, на что мы имеем право, так как она не влияет на напряжения. [c.136] Таким образом, если применить формулу (4) сперва к области, заключенной между Ь и Ьн, и затем увеличивать Е беспредельно, то интеграл в левой части будет стремиться к интегралу, взятому по границе Ь, и, значит, интеграл правой части будет также стремиться к пределу, который по обычному определению будет представлять собой интеграл, распространенный на бесконечную область 5. [c.137] теоремы единственности для первой и второй основных задач будут доказаны при несколько иных, чем в настоящем параграфе, предположениях. [c.137] О случае многосвязных областей будет сказано в 41а, п. 1. [c.137] К такой же математической задаче может быть сведена и наша первая основная задача (см. следующий параграф). [c.138] Применение функций комплексного переменного дало за последнее время возможность получить решение как первой, так и второй основных задач для областей, ограниченных произвольным числом замкнутых контуров. Решена также основная смешанная задача и ряд других важ-,ных общих задач. Некоторые из упомянутых общих результатов будут изложены в главе V о других будут даны краткие указания. [c.138] Здесь же отметим только, что в случае конечной области первая основная задача имеет, разумеется, решение только тогда, когда главный вектор и главный момент заданных внешних усилий, приложенных к границе L области, равны нулю. [c.138] НОМ возрастании радиуса, но в совокупности они могут дать конечные главный вектор и главный момент, ибо они распределены вдоль окружности, длина которой возрастает беспредельно. Главные вектор и момент внешних усилий, приложенных к совокупности границы L и окружности, всегда равны нулю. [c.139] Возвраш аясь к упомянутым обш им решениям основных задач, заметим, что именно в силу своей обхцности эти решения часто оставляют многого желать в смысле практических применений. Поэтому приходится искать частные методы решения, дающие возможность практически вычислить решения для более или менее обширных классов областей, важных с точки зрения приложений. Таким методам посвящена большая часть глав III — VI этой книги. [c.139] Вернуться к основной статье