Г-пространство. Теорема Лиувилля

Г-пространство. Теорема Лиувилля [c.299]

Рассмотрим интервал времени от it = О до t = Iq. Траектории, выходящие в момент = О из точек области U , заполняют в течение этого времени цилиндр q с основанием f/o- Аналогично, траектории, начинающиеся в момент г = О в точках области U, образуют за время (О, t ) цилиндр С с основанием и. Если обозначить через R трубку, образуемую траекториями, начинающимися в Рц и оканчивающимися в Р, то согласно теореме Лиувилля область R С — будет иметь тот же объем (меру в пространстве 2и), что и i , так что С будет иметь тот же обт.ем, что и С . Полагая = О, видим, что интеграл [c.452]

Из (60.11) следует, что функция распределения p(p,q,t) остается постоянной вдоль динамических траекторий в Г-пространстве. Это утверждение называется теоремой Лиувилля. Здесь мы называем динамическими траекториями линии, параметрические уравнения которых qk = qk (t),Pk=Pk(t) получаются ИЗ уравнений движения (60.9). [c.303]

Доказательство этой теоремы, основанное на свойстве несжимаемости газа изображающих точек — теореме Лиувилля, — почти очевидно. Будем рассматривать такие макроскопические системы, для которых гиперповерхности постоянной энергии в Г-пространстве замкнуты и фазовый объем состояний с энергией, не превышающей Е, конечен и равен Г( ). Для реальных физических систем это условие практически всегда выполняется. Выделим внутри Г( ) малый элемент фазового объема у <кГ( ) и допустим, что за единицу времени из этого объема вытекают изображающие точки, причем некая конечная доля этих точек Uy никогда не возвращается в объем у. При этом мы немедленно приходим к противоречию, так как за достаточно большое время t фазовый объем, занимаемый этими точками Uyt, станет больше Г( ) —у, что невозможно вследствие несжимаемости газа изображающих точек. Следовательно, все фазовые траектории, исходящие в начальный момент из объема у (за исключением, может быть, части траекторий, начальные точки которых образуют множество меры нуль), с течением времени должны снова и снова возвращаться в объем у, и макропроцессы так же, как и микропроцессы, казалось бы, должны быть строго обратимыми. [c.544]

Теорема Лиувилля. Теорема (1838 г.). Произвольно выделенный в момент to объем а фазового пространства, ограниченный контрольной поверхностью S, не изменяется при движении [c.479]

Подобные соотношения существуют и в классической механике. В виде примера можно указать на уравнение фазовой траектории системы с одной степенью свободы, связывающее обобщенную координату и ее производную по времени Известно, какое значение для аналитической механики и теоретической механики имеют понятия фазовых координат и фазовых пространств и соотношения, выражающиеся интегральными инвариантами, например, теоремой Лиувилля и др. Но оказывается область подобных соотношений, независимых от силовых воздействий, может -быть значительно расширена. Такие соотношения можно назвать автономными связями. Приведем в виде примера автономные связи, сопутствующие движению одной точки. Рассмотрим для этой цели основные характеристические векторы движения г — радиус-вектор точки [c.14]

Теорема Лиувилля. Состояние системы определяется точкой в фазовом пространстве. Пусть Мо — ограниченная область фазового пространства, Mt — область, в которую переходит Мо при отображении (25.20) Го, Г — объемы этих областей. Покажем, что [c.260]

Это уравнение, представляющее собой формулировку теоремы Лиувилля, показывает, что плотность в Г-пространстве ведет себя как несжимаемый поток. [c.608]

Отсюда следует, что всякая классическая конфигурация, которая удовлетворяет принципу запрета Паули в момент времени г = О [т. о. содержит не более одного электрона с определенным спином в единице объема в области импульсного пространства йр = = (2лй) /7], будет удовлетворять этому принципу п во все последующие моменты времени. Подобный результат можно было бы доказать и исходя из чисто классических соображений, как прямое следствие теоремы Лиувилля. См. гл. 12. [c.65]

Поскольку полуклассические уравнения движения для каждой зоны имеют каноническую гамильтонову форму, теорема Лиувилля ) утверждает, что с течением времени области в шестимерном гр-пространстве могут претерпевать лишь такую эволюцию, которая сохраняет их объемы. Однако вектор h к отличается от р лишь на добавочный вектор, который не зависит от р, поэтому любая область в гр-пространстве имеет тот же объем, что и соответствующая область в г/Ь-пространстве ). Это доказывает теорему Лиувилля в том виде, как она используется в гл. 12 и 13. [c.385]

Пусть М любое измеримое (в смысле Лебега) множество точек фазового пространства Г данной механической системы. В естественном движении этого пространства множество М через промежуток времени i переходит в некоторое другое множество М. Теорема Лиувилля утверждает, что мера множества М, совпадает, при любом 1, с мерой множества М. Другими словами, мера измеримых множеств является инвариантом естественного движения пространства Г. [c.13]

В приведённом выше определении ДС инвариантная мера играет не меньшую роль, чем сама группа преобразований замена меры может резко изменить свойства системы. Если задано лишь нек-рое семейство преобразований пространства X, то возникает вопрос о существовании хотя бы одной, прежде всего вероятностной, инвариантной меры. Иногда он решается относительно просто. Так, по теореме Крылова — Боголюбова всякое непрерывное преобразование компактного метрич. пространства обладает вероятностной инвариантной мерой, а по Лиувилля теореме мера Лебега (фазовый объём) инвариантна относительно любой гамильтоновой системы (хотя, в последнем случае мера всего пространства бесконечна, на гиперповерхности постоянной энергии может индуцироваться конечная мера). Иногда вероятностная инвариантная мера единственна. Это имеет место, напр., для каскада, порождённого поворотом окружности Г д =Рг(х- -сс), где а — иррациональное число, В др. случаях существует бесконечно много инвариантных вероятностных мер. Одна из пробле.м Э. т.— изучение инвариантных мер, принадлежащих како-.му-либо заранее выбранному классу. Пример такого класса— все инвариантные меры с фиксиров, совокупностью множеств меры О (такой же, как у заданной, не обязательно инвариантной меры) другой пример—инвариантные меры, удовлетворяющие вариационному принципу (см, ниже). [c.626]

Так как в пространстве Г уравнения движения непотенциальной системы имеют гамильтоновую форму, то здесь справедлива теорема Лиувилля [16, 26] для непотенциальных систем в обычной формулировке, согласно которой фазовый объем остается постоянным при эволюции системы. То есть если в начальный момент времени фазовые (характеристические) точки [Яй, Ро ) непрерывно заполняли некоторую область начальных значений соо в обобщенном фазовом пространстве, а в момент времени 1 они заполняют область со , то соответствующие фазовые объемы равны между собой [c.171]

Наш подход должен показать, что формулировки Чемберса и Больцмана—Фукса являются результатом выражения одних и тех же физических аргументов в двух различных системах координат. С этой целью мы напомним некоторые хорошо известные положения статистической физики, начиная с теоремы Лиувилля для газа, состоящего из невзаимодействующих частиц в пространстве (г, р). Эта теорема, которая является уравнением непрерывности в этом пространстве, гласит, что плотность /(г, р) [c.146]

В сплу теоремы Лиувилля X = dX и, кроме того, X пмеет в фазовом пространстве координаты 91, дг, , Рп, а точка X — фазовые координаты g + q,dt, 92-Ь< 2Й ,. .., Pn + Pndt. Поэтому получаем ш(Х, г г) = = ш(Х, г), т. е. [c.179]

Одними из первых методом функций Ляпунова были решены задача Эйлера об устойчивости прямолинейной формы равновесия тонкого стержня постоянного сечения, находящегося под действием продольной постоянной нагрузки (Н. Г. Четаев, 1946) и задача об устойчивости круговой формы однородной гибкой нерастяжимой нити в отсутствие внешних сил (П. А. Кузьмин, 1948—1949). В обеих задачах введено счетное множество обобщенных координат системы, причем для второй из названных задач рассматривается обоснование перехода от конечного числа переменных к бесконечному введением гильбертова пространства. Построением функции Ляпунова была также решена задача об устойчивости эллипсоидов Маклорена вращающейся гравитирующей жидкости по отношению к конечному числу переменных, характеризующих простое, по Лиувиллю, движение жидкости (В. В. Румянцев, 1959). Применение теоремы Ляпунова о неустойчивости позволило строго доказать неустойчивость вихревых цепочек Кармана (Г. В. Каменков, 1934 Н. Е. Кочин, 1939). [c.30]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...