ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Фазовое пространство и теорема Лиувилля из "Теория и приложения уравнения Больцмана " И если сила, отнесенная к единице массы, не зависит от скорости, то (d/dli) - Хг = О, т. е. divZ = О, как указано выше. [c.19] Подстановка выражения (3.15) в уравнение (3.13) снова приводит к (3.5), т. е. к уравнению Лиувилля (3.2). В частно-и, при divZ = 0 получается уравнение (3.7). [c.21] В предыдущих разделах мы рассмотрели случай материальных точек, которые непрерывно взаимодействуют одна с другой согласно уравнениям движения (1.1). Часто бывает удобно рассматривать предельные случаи, в которых между точками происходят только дискретные взаимодействия с конечными импульсами (жесткие столкновения) при этом силы не могут быть описаны обычными функциями и с уравнением Лиувилля нужно обращаться иначе. Предельный случай жесткого столкновения полезен, так как он дает более наглядное представление об эволюции системы и служит хорошим приближением для интенсивных сил отталкивания, с которыми реальные молекулы взаимодействуют на близких расстояниях. Эти соображения приводят к концепции газа из твердых сфер, т. е. системы многих биллиардных шаров , которые не взаимодействуют на расстоянии и сталкиваются по законам упругого удара. Диаметр сфер о эквивалентен радиусу действия сил взаимодействия реальных молекул. Фактически газ из твердых сфер можно представлять как систему материальных точек, которые не взаимодействуют, если расстояние между ними больше а, и взаимодействуют с формально бесконечной центральной силой отталкивания, когда это расстояние становится в точности равным а, так что большее сближение невозможно. [c.23] Другой пример мгновенного взаимодействия рассматривается в том случае, когда предполагается, что молекула упруго отражается жесткой стенкой. Эта модель менее реальна, чем модель твердых сфер, потому что жесткая стенка имеет макроскопические размеры и безусловно обладает весьма сложной структурой на микроскопическом уровне. В гл. III будет подробно показано, что эта структура не допускает упругого столкновения с регулярной геометрической поверхностью, изображающей стенку в макроскопическом описании. [c.23] Несмотря на это, для иллюстративных целей полезно рассмотреть случай абсолютно упругих отражений на жесткой стенке. [c.23] Подставляя это значение в (4.5) и (4.6), приходим к формулам (4.3). [c.25] После скалярного умножения на п получаем п — 2) = = —п-( , — а подстановка этого результата в (4.3) приводит к соотношениям (4.11). [c.26] Заметим теперь, что в обоих случаях (взаимодействие со стенкой и столкновение двух твердых сфер) составляюш ие скоростей подвергаются линейному преобразованию, описываемому матрицей А (3 X 3 или 6Х6) элементы которой зависят от п. В обоих случаях сравнение прямых и обратных преобразований (уравнения (4.1) и (4.10) (4.3) и (4.11)) показывает, что обратная матрица А равна А, т. е. А — единичная матрица. Следовательно, квадрат определителя матрицы А (который является просто якобианом /1 линейного преобразования) равен единице, так что /1 = +1. [c.26] Нетрудно видеть, что фактически /1 = —1. Действительно, в первом случае можно использовать в качестве переменных нормальную составляющую скорости, которая при столкновении меняет знак, и составляющие вдоль двух осей в касательной плоскости, которые остаются неизменными, откуда и следует этот результат. [c.26] Чтобы показать, что 2 = —1, достаточно рассмотреть случай отражения точки от неподвижной стенки, так как столкновение между двумя твердыми сферами сведется к этому случаю преобразованием переменных х = 72(х + х ), г = х —Х2, = 7 (х[х ), г ==х —х, если заметить, что х — х соответствует жесткому движению, а г - г эквивалентно отражению от неподвижной стенки. [c.27] Рассмотрим сначала случай отражения материальных точек от плоской стенки при этом отображение, создаваемое движением, не деформирует бесконечно малую область пространства, но изменяет ее ориентацию (см. рис. 3 достаточно рассмотреть плоскую картину, поскольку изменения происходят в плоскости сдовательно, в этом случае 2 — —1. [c.27] Чтобы показать это, заметим, что можно рассмотреть преобразование, которое происходит в плоскости (плоскости движения). Так как законы отражения зависят только от ориентации касательной к кривой, от которой происходит отражение, то якобиан будет содержать производные первого порядка от единичного вектора касательной, т. е. самое большее вторые производные от преобразованных координат по исходным. Следовател р-но, границу можно заменить соприкасающейся окружностью в этом случае якобиан, т. е. отношение объема бесконечно малой области после столкновения к объему соответствующей области до столкновения, вообще говоря, мог бы быть любой конечной безразмерной функцией радиуса этой окружности и угла падения. Но он не может зависеть от радиуса, поскольку невозможно образовать безразмерную функцию, содержащую единственную длину следовательно, якобиан должен быть одни1М и тем же для любого значения кривизны, т. е. он должен быть равен величине /1 = —1, как при отражении от плоской стенки (что соответствует предельному случаю бесконечно большого радиуса). [c.28] Простая оценка средней длины свободного пробега I твердой сферы получается в предположении, что другие сферы покоятся. Окружая каждую из них сферой радиуса, равного диаметру частиц а, движущуюся сферу можно представлять точкой (рис. 5). Тогда, если 5 проходит в среднем между двумя столкновениями расстояние /, это означает, что в цилиндре с основанием и высотой I находится только одна молекула, а именно 5ь т. е. [c.29] Рассмотрим материальную точку, движущуюся вдоль некоторой оси между двумя жесткими стенками. [c.29] Чтобы перейти к случаю движения с отражением, достаточно рассмотреть движение без отражения, разрезать полосу о + Д на куски длины 21 и затем помещать их поочередно на часть полосы между —/ и / и ее зеркальное отражение относительно оси л . При этом отражение переводит точку (/, ) в — ) а (—/, —I) в (—/, ). Таким путем можно получить распределения, соответствующие t = 2т, Зт, 4т, 5т , 6т (изображенные на рис. 6) и т. д. [c.31] С течением времени при движении область становится все уже и уже и, наконец, распадается на слои. Действительно, к некоторому моменту времени точки со скоростью о + ДЕ отразились /г- - 1 раз, в то время как точки со скоростью еще не отразились /г-й раз (см. рис. 7). [c.31] Случай движения материальной точки в двух- или трехмерном пространстве значительно сложнее, поскольку для него отсутствует геометрическое представление фазового пространства. [c.31] При отражении от искривленной поверхности возникают дополнительные эффекты рассеяния, особенно если поверхность выпуклая и имеет малый радиус кривизны. Этот случай особенно важен, так как он соответствует столкновению между двумя твердыми сферами как было указано в конце разд. 4, рассматриваемую сферу можно заменить точкой, сталкивающейся со сферической поверхностью радиуса а, равного диаметру твердых сфер (которые считаются одинаковыми). [c.33] ТОЛЩИНЫ полос, образующих фазовую область нашей системы, будет величиной порядка после тысячи столкновений, т. е. [c.34] Борель, которому принадлежат эти соображения [5, 6], добавил следующее интересное замечание. До сих пор мы предполагали, что неопределенность содержится только в начальных данных, в то время как дифференциальные уравнения движения точно известны и разрешимы. Это означает не только то, что нам точно известны законы взаимодействия между любыми двумя частицами, но также и то, что мы включаем в дифференциальные уравнения движения силы, действующие на частицы нашей системы со стороны любых других масс Вселенной и способные существенно изменить движение. [c.34] Вернуться к основной статье