Методы разложения по малому параметру

Наиболее просто выполнить решение методом разложения по малым параметрам (Пуанкаре). [c.297]

Следует отметить, что при. малых значениях м приближенное решение уравнения (3.7) может быть найдено при помощи хорошо известного метода разложения по малому параметру. [c.99]

Рассмотрим более детально обтекание непроницаемой пластины, когда (7 = 0. Пусть известно решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям (4а) и (4 при (7 = 0. Будем искать решение уравнения (3) методом разложения по малому параметру при условиях [c.103]

Аналогичным методом разложения по малому параметру основных решений и коэффициентов линейной системы уравнений можно получить коэффициент интенсивности напряжений около внутренней эллиптической трещины из решения М. А. Садовского и Е. Штернберга [138]. Система линейных уравнений [138], [c.194]

Методы разложения по малому параметру [c.126]

Прежде чем перейти к изложению методов разложения по малому параметру для полного уравнения Больцмана, рассмотрим некоторые качественные особенности таких разложений на примере модельного уравнения (8.22) главы II. [c.126]

МЕТОДЫ РАЗЛОЖЕНИЯ по МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ [c.127]

Методу разложения по малому параметру можно придать несколько более геометрически наглядный вид i). Запишем безразмерное уравнение Больцмана в интегральной форме (7,4) главы II [c.159]

Метод разложения по малому параметру, представляющему собой величину, обратную числу Фруда, был применен О. М. Киселевым (1964) для решения задач об истечении струи из вертикальной стенки и о вихре в ограниченной массе тяжелой жидкости. [c.28]

Что же касается возможности построения доказательства существования уединенных волн с помощью метода разложения по малому параметру, то было установлено Жерменом, что получающиеся ряды являются расходящимися и могут служить лишь для получения асимптотических формул [102]. Эти формулы дают возможность, однако, выявить главные черты изучаемого волнового движения. [c.643]

Информация о полях скорости и давления, необходимая для решения задач о распределении и превращении веществ в реакционных аппаратах, часто может быть получена из рассмотрения чисто гидродинамической стороны проблемы. Огромное разнообразие реальных течений жидкости, подчиняющихся одним и тем же уравнениям гидродинамики, обусловлено множеством геометрических, физических и режимных факторов, определяющих область, тип и структуру течения. Классификацию течений для описания их специфических свойств можно произвести различными способами. Например, широко распространена классификация течений по величине важнейшего режимно-геометрического параметра — числа Рейнольдса Ке течения при малых числах Рейнольдса [178], течения при больших числах Рейнольдса (пограничные слои [184]), течения при закритических числах Рейнольдса (турбулентные течения [179]). Следует заметить, что такая классификация имеет важный методический смысл, поскольку определяет малый параметр, Ке или Ке , и указывает надежный метод решения нелинейных гидродинамических задач — метод разложения по малому параметру. Не отрицая плодотворность такой классификации течений, в данной книге будем исходить не из математических и вычислительных удобств исследователя гидродинамических задач, а из практических потребностей технолога, рассчитывающего конкретный аппарат с почти предопределенным его конструкцией типом течения реагирующей среды. В этой связи материал по гидродинамике разбит на две главы. В первой из них рассматриваются течения, определяемые взаимодействием протяженных текучих сред со стенками аппарата или между собой течения в пленках, трубах, каналах, струях и пограничных слоях вблизи твердой поверхности. Во второй главе рассматривается гидродинамическое взаимодействие частиц различной природы (твердых, жидких, газообразных) с обтекающей эти частицы дисперсионной средой. [c.9]

В такой системе обычно есть дополнительные малые параметры, связанные с количественным различием параметров (размеров, массы, скорости и др.) брауновской частицы и молекул. Для данной функции Гамильтона системы, исходя из уравнения Лиу-вилля, записывают уравнение для функции распределения объединенной системы, которое затем формально решается путем разложения по малому параметру (например, методом теории [c.39]

Следует отметить, что этот метод позволяет исследовать параметрический резонанс любого порядка в зависимости от числа учитываемых членов разложения по малому параметру. Для упрощения выкладок в настоящей работе принято первое приближение (6.3), которое позволяет исследовать основной резонанс и определить нижнюю границу динамической неустойчивости исследуемой системы. Так как при широкополосном спектре возмущений избежать возникновения основного параметрического резонанса невозможно, то такой подход является оправданным, а резонансы более высокого порядка для системы со случайными возмущениями в известной степени теряют смысл. Считаем, что время корреляции возмущений Xf, t) и y t) значительно меньше времени релаксации Тр амплитуды или фазы системы. Если время наблюдения за системой значительно превышает (но не превышает величины l/Po)i то можно применить стохастические методы на основе замены реального процесса возмущений x t) и г/о (О [c.233]

Для сильно Н. и. методы, использующие разложение по малым параметрам, неприменимы. Лишь результаты экспериментов могут указывать на возможность экстраполяции асимптотич. разложений и служить основой альтернативных подходов. [c.254]

Тем не менее, метод решения системы (86.7) с помощью разложения по малому параметру г /(о оказывается недостаточным. Чтобы понять причину этого, введем три характерных времени эффективную длительность столкновений г о го /V, среднее время между столкновениями г [c.480]

Для решения задачи (2.27), (2.28) воспользуемся методом малого параметра, который заключается в том, что решение задачи V ищется в виде асимптотического разложения по малому параметру [c.105]

Этот прием соответствует нулевому приближению в решении задачи асимптотическим методом, когда искомые функции представляются в виде асимптотического разложения по малому параметру е = max Л// [c.114]

Метод Гильберта разложения по малому параметру [c.132]

МЕТОД ГИЛЬБЕРТА РАЗЛОЖЕНИЯ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ 143 В виде [c.143]

В предыдущих главах были рассмотрены некоторые методы решения уравнения Больцмана, основанные на его линеаризации и разложениях по малому параметру, разложениях типа Гильберта и Чепмена — Энскога. Процедура линеаризации обычно применялась вместе с использованием кинетических модельных уравнений. Однако можно показать, что модельные уравнения способны аппроксимировать не только линеаризованное уравнение Больцмана, ыо также и его решения (гл. 6) следовательно, метод гл. 7 можно считать точным до тех пор, пока использование линеаризованного уравнения Больцмана оправдано. [c.219]

Следуя методу малого параметра, будем искать амплитуды возмущений ф и 0 и критическое число R в виде разложений по малому параметру ik [c.103]

Широко известный метод возмущений сводится к приближенному нахождению собственных векторов и собственных значений матрицы где — невозмущенная матрица — матрица возмущения б — малый параметр возмущения. Собственные векторы и собственные значения матрицы М ищутся в виде разложений по малому параметру 6, причем в нулевом приближении собственные векторы и собственные значения совпадают с решениями для невозмущенной матрицы. [c.159]

В замкнутой форме собственные значения и собственные функции оператора (6.2) найти не удается, поэтому приходится применять приближенные методы. Первый шаг выделение из Н некоторого разумного нулевого приближения и малого оператора возмущения. Ввиду особенностей операторов (1ар и и оператор возмущения оказывается неоднозначным и его можно представить в виде разложения по малому параметру, отношению к(т1М) / где В — средняя вращательная постоянная, со — сред- [c.172]

Так как невозможно найти в замкнутой форме собственные значения и собственные функции оператора (2.2), то приходится применять приближенные методы. Первым шагом в этом направлении является выделение из Н некоторого разумного нулевого приближения оператора возмущения. Ввиду особенностей операторов и и 1ар оператор возмущения оказывается неоднородным и его можно представить в виде разложения по малому параметру Борна—Оппенгеймера л= (т/Л1) /4 = (В/(о ) /2, где В — средняя вращательная постоянная, со — средняя основная частота, т — масса электрона, М — средняя масса ядер в молекуле. Разложение оператора Н достигается разложением операторов Ха и И [c.29]

Простейшим методом возмущений по малому параметру < 8i > является метод, основанный на разложении в ряд поля ф(г). Этот ряд легко получить, если перейти от (2.4) к интегральному уравнению [c.19]

Используя (13) и свойства корней кубического многочлена, нетрудно показать, что такое пересечение происходит с положительной скоростью, т. е. dRexi/ iR R=R, > 0. Остальные собственные значения матрицы остаются в левой полуплоскости. Поэтому, согласно бифуркационной теореме Хопфа (см., например, [167]), в окрестности R = Rj рождаются замкнутые орбиты с периодом Т ж 2л/ . Исследование условий устойчивости замкнутых орбит, сформулированных в теореме Хопфа, в данном случае потребовало бы проведения громоздких и утомительных вычислений. Для достижения цели воспользуемся методом разложения по малому параметру AR = R — R p, применяемым в гидродинамике, и получим приближенное уравнение для квадрата амплитуды колебаний. К динамическим системам такой метод применяется, например, в [162]. [c.143]

Из этого уравнения интеграл V, удовлетворяющий граничным условиям при г1)=0,г1) = д, я1) = сх>, может быть найден методом разложения по малому параметру. Но для доказательства существования периодических установившихся волн, что и составляет главный предмет исследования Дюбреиль-Жакотэн, выгодно уравнение и граничное условие подвергнуть новому преобразованию. [c.729]

ВОЗМУЩЕНИЙ ТЕбРИЯ — метод решения задач, ос-Е0ваппы11 на разложении по малому параметру (е), позволяющий вслед за решением невозмущонной задачи, соответствующей нулевому значению малого параметра, находить путём последовательных итераци решение возмущённой , отвечающей е=т О. При этом возмущенном является любое малое отклонение от упрощённой задачи, допускающей точное решение. [c.302]

Для решения ур-нип (1) в статич. неоднородных иолях, в к-рых характерный масштаб неоднородности значительно превышает ларморовский радиус р< <Я/ у/Г , развит приближённый метод, основанный на разложении по малому параметру руЯ/Я. В это.ч случае ДЗЧ можно представить как вращение с медленно меняющимся радиусом i) = [v вокруг перемещающегося центра лар.моровской окружности (г) (г)—р(0, наз. ведущим цент-р о м. Такое приближение наз. дрейфовым, а ур-ние, описывающее плавное перемещение ведущего центра, имеет вид [c.56]

Метод П. а. можно также применить для суммирования асимптотич. разложений, имеющих нулевой радиус сходимости. В этом случае П. а. следует использовать в комбинации с др. методами, улучшающими сходимость исходного ряда, напр. с методом преобразовааия Боре-ля. Разработана много алгоритмов для машинного вычисления П. а., что существенно для разл. приложений. Метод П. а. применяют к задачам статистич. механики, физики твёрдого тела, физики элементарных частиц, теории критич. явлений, квантовой механики — ко всем задачам, где имеется разложение по малому параметру. [c.520]

Применение метода малых возмущений к задачам ламинарного йограничного слоя. Если скорость вне пограничного слоя и свойства воздуха, зависящие от температуры, можно представить в виде разложения по малым параметрам ег(е1 0), то задачи пограничного слоя во многих случаях можно решать методом малых возмущений. Суть метода заключается в возмущении известных решений уравнений пограничного слоя при этом разложение в ряды выполняется по определенному параметру. [c.103]

В случае разрезов конечных размеров наиболее эффективным образом Является метод асимптотических разложений искомого решения уравнений (465) по малым и большим волновым числам. Разложение по малым параметрам k и приводит к цепочке стандартных граничных задач статической теории упругости с объемными силами, определяемыми предыдущим приближением. При больших волновых числах (малый параметр при старшей производной) вблизи фронта трещины возникает пограничный слой, где требуется точный анализ задачи для полубеско-нечного разреза вне пограничного слоя решение по аналогии с геометрической оптикой строится элементарно. Склеивание асимптотических разложений при малых и больших частотах позволяет получить эффективное решение для всей области частот. [c.144]

Это наводит на мысль о двух типах методов возмущений один для Кп О, другой для Кп оо. Последний мы кратко обсудим позже ( 3 гл. 8), а первый будет предметом ближайшего рассмотрения. Можно ояшдать, что разложение по малому параметру для Кп -> О позволит завершить задачу, начатую в 3 гл. 2, т. е. доказать, что в случае плотного газа макроскопическое юписание возможно, и определить пределы его применимости. Ясно, что подобный переход от микроскопического описания к макроскопическому должен быть очень сингулярным, так как он основан на замене интегро-дифференциального уравнения для одной неизвестной, зависящей от 7 переменных, системой дифференциальных уравнений для 5 неизвестных, зависящих от 4 переменных. [c.116]

Из этого условия следует, что величина Е = сод2 мала, а это, в свою очередь, дает возможность использовать асимптотические методы Н, Н, Боголюбова и Ю. А. Митропольского [10], развитые в работах [114, 115, 116] для параметрических систем с флюктуирующими параметрами. Эти методы позволяют исследовать параметрический резонанс любого порядка в зависимости от учета членов разложения по малому параметру. Для того чтобы исследовать основной параметрический резонанс, необходимо учитывать члены только первого порядка. Ограничимся исследованиями основного параметрического резонанса, так как в приложениях он играет главную роль. [c.190]

В середине шестидесятых годов А. А. Ильюшин и П. М. Огиба-лов [73] развивали методы описания нелинейной вязкоупругости, в которых нелинейная зависимость между тензорами напряжений и деформаций представляется в виде аддитивных добавок к линейным интегральным операторам типа Вольтерры. Поправки носят характер малых параметров и выбираются так, чтобы обеспечить сходимость решений, построенных разложениями по малым параметрам. [c.35]

Среди нелинейных задач У. т. наиболее важны задачи б), рассмотрение к-рых приводит к постановке вопроса об устойчивости равновесия унругнх тол, т. е. об отыскании тех условий, при к-рых решение задачи У. т. перестает быть единственным. Теория устойчивости стержней, пластинок и оболочек разработана весьма детально для решения соответствующих задач широко применяются приближенные методы. Задачи У. т. с физич. нелинейностью весьма трудны н продвинуты пока относительно слабо известны нек-рые классы решений, найденных нолу-обратным методом, численные решения для одномерных задач и разложения по малому параметру, если нелинейность выражена не очень сильно. [c.262]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...