Граничные условия для моментных уравнений

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ МОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 123 [c.123]

В четырех равенствах (20.16.5) при каждом (s) входят две произвольные функции ф (S), содержащиеся в приближении (s) простого краевого эффекта (считается, что при помощи формул вида (20.13.7) величины Tl Js+i). S Ms+i) выражены через величины с индексом, не превосходящим s). Исключив 1рг(5), получим два равенства, содержащих безмоментное и чисто моментное напряженное состояние (s). Они составят совместные граничные условия для главных уравнений безмоментного итерационного процесса [c.303]

Как и в методе моментов, вместо отыскания функции распределения, зависящей от семи переменных t, х и %, задача свелась к отысканию системы функций от четырех переменных t п х. Однако уравнения, получающиеся в методе дискретных координат, всегда обладают простым линейным дифференциальным оператором, в то время как в методе моментов, как правило, получаются квазилинейные уравнения. В методе дискретных координат не возникает трудностей с установлением граничных условий для получающихся уравнений (ср. 5 настоящей главы). Правые же части моментных уравнений часто (особенно для максвелловских молекул) проще, чем в методе дискретных скоростей. В обоих методах, в принципе, могут быть использованы одни и те же аппроксимирующие функции. Пусть функция распределения представлена через моменты аппроксимацией [c.219]

Формально безмоментная теория вытекает из общей моментной при А -> О, если ограничиться внешним разложением в методе сращивания ( 7.5). Внутреннее разложение соответствует уравнениям краевого эффекта [20]. В общем случае нагружения оболочки граничные условия для безмоментной теории являются результатом сращивания. Отметим, что расщепление решения на безмоментное и краевой эффект не всегда происходит важно, в частности, допускает поверхность изгибания или нет. Не имея возможности углубляться в эти сложные вопросы, ограничимся представлением о безмоментной оболочке как о материальной поверхности, состоящей из точек без вращательных степеней свободы. [c.230]

На примере цилиндрической оболочки мы убедились в том, что при плавно меняющейся нагрузке в большей части оболочки можно пренебречь изгибом и напряжениями от изгибающих моментов но сравнению с равномерно распределенными по толщине напряжениями от усилий Гар. Моментное напряженное состояние реализуется только в зоне краевого эффекта, протяженность кото-рой оценивается характерным линейным размером к = УНк. Для оболочки положительной гауссовой кривизны этот результат носит совершенно общий характер, схема расчета таких оболочек строится следующим образом. Сначала находится усилие в оболочке, которую представляют как тонкую, нерастяжимую мембрану, совершенно не сопротивляющуюся изгибу. Эта задача решается с помощью одних только уравнений статики и, собственно говоря, не относится к теории упругости. Соответствующая теория называется безмоментной теорией оболочек. Решение, найденное по безмоментной теории, как правило, не позволяет удовлетворить всем граничным условиям, поэтому вблизи границы рассматривается краевой эффект, связанный с изгибом. Ввиду малости области краевого эффекта, уравнения теории оболочек для этой области принимают относительно простую форму. Для вывода уравнений безмоментной теории нам понадобятся некоторые сведения из теории поверхностей, которые предполагаются известными и сообщаются для справки. [c.423]

Последовательность решения задач с использованием теории краевого эффекта состоит в следующем. Вначале находят силы и перемещения в оболочке по безмоментной теории. Сила Т и перемещение и определяются только этими зависимостями. Нормальное перемещение и окружная сила составляются из двух слагаемых. Из уравнения (9.6.11) определяют Wg. Изгибающий момент и перерезывающую силу находят по зависимостям (9.6.12). Все моментные части сил и перемещений выражаются через константы С и С- . Их определяют из граничных условий или условий сопряжения. Если оболочка имеет несколько участков, для каждого сопрягаемого края записывается решение вида (9.6.11) со своими коэффициентами к. Из условия равенства нормальных перемещений, углов поворота нормали, изгибающих моментов и перерезывающих сил находят все искомые значения констант. [c.154]

Уравнение (9.8.11) при решении задачи должно быть дополнено граничными условиями. На каждом граничном контуре для осесимметричного случая моментной оболочки необходимо удовлетворение трех граничных условий по три компонента вектора известны в конце и начале интервала интегрирования или заданы их линейные комбинации. Общее решение уравнения (9.8.11) [c.171]

Первые два из них надо рассматривать как граничные условия, которые должны быть учтены при определении безмоментного напряженного состояния (s) и чисто моментного напряженного состояния (s) или, что то же, основного напряженного состояния (s). Два последних равенства (20.11.4) образуют систему алгебраических уравнений для определения произвольных функций простого краевого эффекта (s). [c.295]

Отсюда смещения в безмоментной теории подчиняются системе дифференциальных уравнений четвертого порядка, которая может быть написана, если подставить в уравнения (2.3) усилия Tf, Тг, 5, выраженные через деформации, а тем, в свою очередь, через смещения. Не будем, однако, этого делать, поскольку всегда удобнее расчленять решение на два последовательных этапа — определение усилий из системы (2.3) и определение смещений из системы (2.4). Следовательно, для смещений в безмоментной теории получаются дифференциальные уравнения вдвое более низкого порядка, чем в общей (моментной) теории оболочек, откуда следует, что и число краевых условий, которыми можно распоряжаться, в первой теории будет вдвое меньше числа краевых условий во второй теории. В безмоментной теории на каждом краю оболочки может быть задано лишь два граничных условия. [c.87]

Пусть моментные уравнения, для которых отыскиваются граничные условия, построены с помощью аппроксимирующей функции [c.123]

Возникает вопрос, сколько и каких условий нужно поставить для данной задачи при данных моментных уравнениях на каждом из участков границы. Очевидно, нельзя взять число условий просто равным числу моментов или порядку уравнений. Хорошо известно, например, что граничные задачи для уравнений Эйлера ставятся по-разному при до- и сверхзвуковых скоростях. Поэтому невозможно дать какой-либо универсальный рецепт. Необходимо для каждой аппроксимации функции распределения, для каждой новой системы моментных уравнений исследовать возможные постановки граничных задач. Так как моментные уравнения в подавляющем большинстве случаев сложнее уравнений Эйлера или Навье—Стокса, то легко представить сложность такого исследования. [c.123]

В общем случае моментные уравнения могут не иметь решения при таких граничных условиях. Возникает естественный вопрос, при какой приспособленной аппроксимирующей функции граничная задача оказывается корректной для дифференциальных моментных уравнений, соответствующих этой функции ). [c.125]

Во всяком случае справедливо следующее утверждение. Для аппроксимирующей функции типа (2.7) или (4.4), приспособленной к граничным условиям и дающей точное решение уравнения Больцмана в свободномолекулярном пределе, получающаяся граничная задача является корректной для соответствующих этой функции моментных уравнений независимо от их выбора. При этом, конечно, предполагается, что при заданных микроскопических граничных условиях уравнение Больцмана имеет решение и что аппроксимирующая функция не вносит в интеграл столкновений особенностей, несвойственных этому интегралу. К числу функций, удовлетворяющих поставленным условиям, относится, например, обобщенное двухстороннее максвелловское распределение (5.4). [c.125]

Таким образом, решение задач устойчивости моментного напряженного состояния многослойной анизотропной оболочки приводится к интегрированию двух систем дифференциальных уравнений (2.45) и (2.53). К этим системам уравнений должны быть присоединены граничные условия, которые для системы (2.45) имеют обычный вид, а для системы (2.53) однородны и на основании (2.52) вытекают из граничных условий начального напряженного состояния. При этом необходимы будут также полученные ранее представления [c.365]

Если мы будем пренебрегать рассмотрением расщепляющих сил и пожелаем определить только юле усилий и моментов, то система из пяти уравнений (которую мы ниже получим для искомых компонент усилий и моментов) будет недостаточна для определения шести функций, входящих в выражения (12.17 а, Ь, с). Поэтому необходимо из этих выражений исключить одну из искомых функций, но так, чтобы полученная система была корректна относительно заданных граничных значениях пяти физических краевых условий моментной теории нормальных и касательных усилий, перерезывающих сил, изгибающих и крутящих моментов. [c.112]

Нелинейный анализ граничных условий для моментных уравнений одноатомного газа при произвольной функции рассеяния выполнен в [17]. На основе принципа сочетания физической и математической замкнутости постановки задачи сделан вывод о необходимости в обндем случае согласования функции рассеяния V с представлением f через моменты. Исследованы форма и характер этой связи, указан широкий класс функций рассеяния, допускаюнхих замкнутую постановку задачи при разложении / по полиномам Эрмита в полном пространстве скоростей. Для структурных газов граничные условия изучаются в работах [П1.44, П1.46, П1.55, П1.56, П1.59 ]. [c.458]

Детальное исследование этой задачи получено Альмротом [6.24], который рассмотрел граничные условия 51 —54, С1 —С4 в диапазоне изменения параметров Rjh = 10 Ю , LIR = = 0,07-f-3,2. Уравнения Доннелла решались методом конечных разностей. Показано, что учет моментности докритического состояния в случаях 51, 52 не сказывается на величине критической нагрузки как и для безмоментного исходного состояния, была получена величина k = 0,5. В остальных шести случаях критическая нагрузка снижалась. Величины k для случаев 54, 53, С4, СЗ, С2, С1 равнялись соответственно 0,863—0,874, 0,805—0,849, 0,907- 0,930, 0,908—0,917, 0,907—0,0930, 0,906— 0,913. Таким образом, наибольшее снижение нагрузки достигало двадцати процентов. Число волн п, соответствующее минимуму нагрузки, равнялось двум в случаях 51, 52, в остальных случаях /1 = 8-ь 85. При этом п растет с увеличением R/h и почти не реагирует на изменение L/R. [c.112]

Излагаются методы эффективного построения этих решений и много внимания уделяется обстоятельствам, при которых решения существуют и единственны. Эти вопросы в безмоментной теории решаются нетривиально. Общая линейная краевая задача моментной теории оболочек единообразна она заключается в интегрировании эллиптической системы уравнений с выполнением в каждой точке края (или краев, если область многосвязна) четырех граничных условий. Она всегда имеет единственное решение. Однако при переходе к описанной выше безмоментной краевой задаче картина становится весьма пестрой, так как тип уравнений, подлежащих интегрированию, может оказаться любым (эллиптическим, гиперболическим и параболическим). Различными по своему характеру оказываются и краевые задачи безмоментной теории это могут быть задачи типа Дирихле, задачи типа Коши, а также задачи, не предусмотренные существующей классификацией. К тому же может существовать несоответствие между типом краевой задачи безмоментной теории и типом уравнений, для которых ее надо решать. Например, задачу Дирихле иногда приходится решать для гиперболического уравнения, а задачу Коши — для эллиптического. Все это приводит к тому, что теоремы существования и единственности для краевых задач безмоментной теории формулируются далеко не единообразно и в них вопрос не всегда решается положительно. Однако такая ситуация не свидетельствует о принципиальной порочности самой идеи выделения в самостоятельное рассмотрение краевой задачи безмоментной теории. Каждая из описанных выше странностей краевых задач безмоментной теории свидетельствует об определенных особенностях искомого напряженно-деформированного состояния оболочки. Для широкого класса задач это будет показано в части IV. [c.174]

Строгие решения дифференциального уравнения продольного изгиба известны лишь для простейших задач. Поэтому инженерам приходится часто довольствоваться лишь приближенными решениями. Идя навстречу такого рода запросам, Энгессер предложил метод ) вычисления критических нагрузок способом последовательных приближений. Чтобы получить приближенное решение, он рекомендует задаться некоторой формой изогнутой кривой, удовлетворяющей граничным условиям. Эта кривая является вместе с тем и эпюрой изгибающих моментов, из которой, пользуясь методом моментных площадей, мы имеем возможность вычислить прогибы. Из сравнения вычисленной таким путем кривой прогибов с первоначально принятой можно получить уравнение для определения критического значения нагрузки. Чтобы прийти к лучшему приближению, Энгессер принимает вычисленную кривую как новое приближение для упругой кривой продольно изогнутого стержня и повторяет расчет, аналогично проделанному такой прием воспроизводится несколько раз. Вместо того чтобы оперировать с аналитическим выражением для первоначально принятой упругой кривой, можно исходить из ее графического представления и последовательные приближения находить графическим методом ). [c.358]

Моментные уравнения, получаемые с помощью аппроксимирующих функций (2.7) или (4.4), являются в общем случае неоднородными квазилинейными дифференциальными уравнениями первого порядка. Зависящая от интеграла столкновений неоднородная часть уравнений представляет собой алгебраическую функцию искомых моментов. Тип системы уравнений, а следовательно, и характер соответствующей этой системе граничной задачи, очевидно, определяются дифференциальными частями моментных уравнений, получающихся из дифференциального оператора уравнения Больцмана. Очевидно, что дифференциальная часть моментных уравнений одинакова при любых числах Кнудсена. По предположению аппроксимирующая функция при определенном выборе ВХ0ДЯИ1ИХ в нее моментов дает точное решение уравнения Больцмана при Кп = оо. т. е. когда правая часть равна нулю. Следовательно, входящие в нее моменты должны точно удовлетворять любой системе однородных (без интегральной части) моментных дифференциальных уравнений, полученных с помощью этой аппроксимирующей функции. При этом граничные значения моментов выбираются так, чтобы аппроксимирующая функция точно удовлетворяла микроскопическим граничным условиям. Но так как при Кп = со однородная система моментных уравнений при этих граничных условиях имеет решение, то и для неоднородной системы (т. е. при произвольном числе Кнудсена) справедлива та же постановка граничной задачи, что обосновывает сделанные выше утверждения. [c.125]

Важной проблемой для моментных методов является выбор граничных условий, которым должны удовлетворять решения моментных уравнений. Особых трудностей не возникает для методов, основанных на кусочно непрерывных функциях от , если разрывы расположены так, что они имеют место на границах при —0. В случае аппроксимации функции распределения непрерывными функциями типа (2.2) мы сталкиваемся с той трудностью, что граничные условия выражают функцию распределения вылетающих с поверхности частиц через функцию распределения падающих поэтому из граничных условий можно получить соотношения только для полупространственных моментов. [c.393]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...