Криволинейные координаты. Кривые и поверхности

Заключают книгу приложения А и Б. В них для удобства читателя приведены необходимые для чтения книги сведения по криволинейным координатам, кривым и поверхностям. [c.8]

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ [c.5]

Отнесем оболочку к ортогональной криволинейной системе координат = а, = Р, х = 2, х . Первые две координаты (а, р) системы представляют собой криволинейные координаты на срединной поверхности соответствующие им координатные линии являются линиями главных кривизн. Третья координатная линия—кривая, касательная к которой направлена по нормали к поверхности, параллельной срединной, и в совокупности с двумя первыми образует ортогональную систему криволинейных координат. Однако при решении инженерных задач [c.362]

В случае декартовой системы координат все пространство можно себе представить состоящим из множества бесконечно малых параллелепипедов, ребра которых параллельны осям координат. При преобразовании координат. точек этого пространства к криволинейным координатам эти параллелепипеды, исказившись, обратятся в бесконечно малые ячейки с кривыми гранями и ребрами, образуемыми координатными поверхностями и линиями. Преобразование координат точек, конечно, не изменяет метрики пространства, и последнее остается прежним евклидовым пространством. [c.83]

Гаусс, однако, стал на путь исследования поверхности при параметрическом ее задании и тем положил начало современной ди-ференциальной геометрии. Каждая пара значений параметров и V таким образом определяет точки на поверхности в этом смысле параметры и можно рассматривать как своеобразные координаты точки поверхности это и есть гауссовы координаты . Если возьмем плоскость в трехмерном пространстве и в ней установим систему декартовых координат, то таковые, конечно, можно будет рассматривать как гауссовы координаты этой плоскости. Координатными линиями при этом будут служить параллельные прямые. Но вообще координаты линии (т. е. линии, на которых тот или иной параметр сохранит постоянное значение) будут кривыми гауссовы координаты суть криволинейные координаты на поверхности. [c.380]

Выбранную систему ортогональных криволинейных координат, совпадаюш.ую с линиями тока жидкости и семействами ортогональных им кривых, называют естественной системой координат. Удобство этой системы координат заключается в то.м, что в ней уравнения движения предельно упрощаются. Известный недостаток применения естественной системы координат, как и переменных Лагранжа, связан с тем, что эта система заранее не известна и должна определяться в процессе решения путем последовательных приближений. В рассматриваемом случае течения газа в турбомашинах выбор первого приближения облегчается тем, что известны граничные координатные поверхности, а промежуточные поверхности могут быть сразу заданы с достаточной точностью. [c.280]

Кривые, касательные к которым везде совпадают с асимптотическими направлениями, называются асимптотическими линиями поверхности. На торсовых поверхностях имеется одно семейство асимптотических линий — прямолинейные образующие. Выберем систему криволинейных координат так, чтобы ы —линия была асимптотической. Тогда L = 0, и, следовательно, в соответствии с формулой (1.1) [c.158]

Фрезерование криволинейных поверхностей, состоящих из участков прямых и дуг различных кривых и радиусных сопряжений на деталях типа автоматных копиров, производится в полярной системе координат на горизонтальном поворотном столе. [c.241]

Кроме того, криволинейные координаты и V функционально связаны между собой, так как принадлежат определенной кривой, прочерченной на поверхности фронта. Запишем эту зависимость [c.185]

Ортогональные криволинейные координаты на поверхностях нулевой гауссовой кривизны. Поверхность нулевой гауссовой кривизны определяется как геометрическое место касательных к произвольной пространственной кривой. Если указанную поверхность отнести к линиям кривизны (к, р) и предположить, что то уравнения Гаусса—Кодацци (2) перепишутся следующим образом [c.235]

Равенством (1.1.2) не только определяются геометрические свойства поверхности, но и дается способ задавать точки на ней, так как каждой паре численных значений параметров (а , соответствует определенная точка (или точки) на поверхности. Допустим, что параметр сохраняет постоянное значение = аю> а изменяется. Тогда уравнение (. 1.2) определит пространственную кривую, лежащую на рассматриваемой поверхности. Такие линии называются аа-линиями, так как они характеризуются тем, что на них изменяется только параметр Совокупности всех значений а , заключенных в определенном интервале, будет соответствовать семейство аа-линий. Так же можно ввести и понятие о семействе а -линий (примеры поверхностей, отнесенных к криволинейной системе координат, приведены в 10.21, 11.28, 13.6, 13.7, 14.9). [c.12]

Обмер криволинейных очертаний поверхностей. В ряде случаев при составлении эскизов приходится определять форму криволинейных очертаний элементов деталей, затем путем обмеров получить данные для их построения для кривых, очертания которых выполняются дугами, определить их радиусы для парабол и других кривых —координаты характерных точек и т. п. [c.230]

Многие детали имеют криволинейные очертания. В таких случаях форму и размеры контура этих деталей можно определить измерением координат его точек с помощью рейсмаса (рис. 389, а). При определении координат точек рейсмас и измеряемую деталь устанавливают на гладкой ровной поверхности (разметочной плите). Перемещая стержень 1 рейсмаса по линейке 2 вверх или вниз и приводя его острый конец в соприкосновение с какой-либо точкой кривой, можно определить координаты этой точки. Приняв за начало координат нижнее нулевое деление линейки рейсмаса, можно по ее шкале найти координаты Б, Б] VI Б2, Х10 шкале стержня — координаты А, А и А2. Более точно координаты точек могут быть определены с помощью штангенрейсмаса, который снабжен нониусом (рис. 389, б). [c.223]

Так как прп переходе по оси 5 через фокус величина Ч изменяется непрерывно, то при сходе со стенки сосуда поверхность струи соприкасается с этой стенкой. Что касается кривизны контура струи в этом месте, то, как показал Кирхгоф, опа равна бесконечности, т. е. радиус кривизны контура струи в этом месте равен нулю. С нашей точки зрения, эту теорему можно доказать так. Из формулы (7) ( ледует, что кривые Ь = onst, и г = onst, образуют на плоскости (.г-, /), к которой мы относим теченп - жидкости, изотермическую сеть. Первый дифференциальный параметр Л функций 6 и 8 может быть с помощью криволинейных координат 9 и ф, которым соответствует первый дифференциальный параметр v, представлен в таком виде [c.504]

Поскольку идз зависят только от д и у, их можно рассматривать как криволинейные координаты в плоскости, перпендикулярной оси Z. Кривые в этой плоскости, на которых и постоянны, являются образующими координатных поверхностей = onst и 2 = onst, полученных движением этой плоскости в направлении, перпендикулярном ей. Эти координатные поверхности имеют форму цилиндров. [c.564]

Рассмотрим оболочку нулевой кривизны и отнесем ее срединную поверхность к криволинейным координатам, в которых кривые = onst и aj = = onst являются линиями кривизны. В этом случае ( 11.28) справедливы формулы [c.423]

Это показывает, что на поверхности вихрей, совпадающей с поверхностью тока, отрезки линий тока между двумя ортогональными кривыми между собой равны. Так как вдоль всех кривых 2 скорость VI будет постоянна, то получаем еще такой результат линии токов и ортогональные кривые на поверхности вихря, совпадаюгцей с поверхностью тока, суть линии деформации элемента площади на этой поверхности, 33. Мы сделаем еще одно небольшое исследование несжимаемого течения, при котором перманентные ускорения, рассматриваемые как скорости, не дают изменения объема, и ограничимся при этом только разбором плоского течения. Относя движение к системе криволинейных координат соответствующих линиям токов и ортогональным линиям, выражаем слагаемые перманентного ускорения по этим линиям помощью формул (35) [c.138]

Эта ф-ла содержит только радиус кривизны (1 ребра возврата Ь и не содержит радиуса кручения. Следовательно, если ваять две кривые и у к-рых кривизна определяется бдной и той же ф-ией от длины дуги, а кручение различно, то развертывающиеся поверхности. У и 8. касательных к этим кривым будут конечно различны, но длина любой линии на 1 или на 8. вычисляется по одной и той же ф-ле (8), и следовательно дуги соответствующих линий (между одними и теми же значениями криволинейных координат и, V) равны. Такое преобразование поверхностей называется изгибанием (см. Поверхности), а сами поверхности — налагающимися. Т. о. если менять кручение кривой , сохраняя кривизну неизменной, то поверхность 5, образованная ее касательными, изгибается. Уменьшая непрерывно кручение, мы можем привести его к нулю кривая Ь станет плоской кривой все ее касательные расположатся в ее плоскости и развертывающаяся поверхность обратится в плоскость следовательно всякая развертывающаяся поверхность налагается на плоскость. Это свойство ее характеризует всякая поверхность, налагающаяся на плоскость, — развертывающаяся поверхность. В частности может получиться конус или цилиндр. Конусом называется поверхность, образованная движением прямой линии, все время проходящей через одну точку. Здесь ребро возврата свелось к одной точке — вершине конуса. Цилиндром называется поверхность, образованная движением прямой линии, к-рая все время остается параллельной самой себе. Здесь ребро возврата сводится к бесконечно удаленной точке. Самое название развертывающейся поверхности объясняется ее свойством развертываться на плоскость подобно тому, как можно развернуть на плоскость цилиндр или конус. Так же, как конус состоит из двух полостей, описанных двумя частями прямолинейной образующей по одну и по другую сторону от вершины, так и всякая развертывающаяся поверхность разбивается ребром возврата на две части. При развертывании на плоскость эти две полости складываются так, что часть плоскости (внешняя часть кривой Х ) покрывается дважды, а другая часть (внутренняя часть кривой остается свободной. Напр, при развертывании на плоскость развертывающейся поверхности, образованной касательными к винтовой линии, ребро возврата, как кривая постоянной кривизны и кручения, переходит в кривую постоянной кривизны и кручения, равного нулю, т. е. в окружность касательные к винтовой линии переходят в касательные к окружности при этом внутренняя часть круга остается свободной, а внешняя покрывается два раза. Чтобы сделать модель такой поверхности, надо взять два листа бумаги, начертить на одном из них окружность и, разрезая оба листа одновременно до пересечения с окружностью, вырезать затем на том и другом листе внутреннюю часть круга. Если теперь по краям разреза вцоль окружности склеить два листа бумаги и, удерживая один конец окружности в точке разреза на столе, другой прилегающий) конец поднять над столом, то дуга окружности [c.51]

Если X и у — обычные декартовы координаты на фазовой плоскости, то фазовые траектории суть прямые линии. На фазовой плоскости мы имеем континуум убегающих движений. Если же х и у — ортогональные криволинейные координаты на торе (например, х — азимут меридиональной плоскости, а у — полярный угол с вершиной на оси тора), то фазовые траектории для той же системы дифференциальных уравнений образуют либо континуум замкнутых кривых (если а ш Ь соизмеримы), т. е. континуум периодических решений, либо континуум траекторий, всюду плотно заполняющих поверхность тора (если а к Ь не. соизмеримы), т. е. континуум так называемых квазипериодических решений. Этот пример показывает значение природы фазового пространства, его связности, для картины поведения фазовь1Х траекторий. Общие законы поведения, определяемые одним и тем же уравнением интегральных кривых, будут различны в случае плоскости и тора. [c.288]

Движение инструмента относительно детали. Назовем теорети ческую форму обработанной поверхности детали (без учета мик-ронеровностей и других отклонений) номинальной поверхностью. Введем обозначение Я/7д — номинальная поверхность детали. НПц может быть описана в пространстве двумя параметрами криволинейными координатами точки А[ д) и (п)] (рис. 11.17), рр — радиус кривизны кривой ВС сечения номинальной поверхности любой плоскостью Р. В общем случае уравнение ЯЯд в параметрическом виде будет иметь вид г = п), где г — радиус-вектор криволинейной поверхности детали. [c.98]

В технике находят широкое применение криволинейные поверхности, имеющие системы конических кривых окружностей, эллипсов, гипербол, парабол, а также прямых линий. Эти линии имеют несложные математические уравнения, поэтому поверхности с системой таких линий легко задаются на чертежах. По таким чертежам проще составить программу для изготовления деталей с этими поверхностями на станках-автоматах с программным управлением. Для изделий с иными математическими поверхностями на чертежах задают дополнительные условия в виде записей уравнений всей поверхности или ее частей. Уравнення поверхности позволяют более точно строить и рассчитывать необходимые сечения, касательные и нормали, определять координаты точек, а также проводить другие исследования, необходимые при проектировании и программировании. [c.226]

Поверхности с профильной направляющей (осуществление которой в станке сложно) получаются обычно методом копирования производящей фрезы и направляющей шаблона посредством щупа, с заменой относительного движения фрезы и заготовки по криволинейной направляющей - его составляющими — по двум взаимно перпендикулярным прямолинейным направляющим, а для замкнутых контуров чаще по прямолинейной п круговой направляющим (в полярной системе координат). Для поддержания постоянства Vф геометрическая сумма скоростей обоих слагающих движений должна сохраняться постоянной v = = УфВта и w = i ()sa однако при углах подъёма кривой <45° для упрощения конструкции копировальных станков часто (особенно при чисто механических устройствах) одно из слагающих движений — прямолинейное или круговое — осуществляется с постоянной скоростью Vk = onst. Станки с отдельными на каждое слагающее движение копирами и щупами, связанными в своём движении и определяющими пути и скорости, из-за сложности изготовления таких копиров применяются только в массовом производстве. [c.398]

Координатные поверхности = onst и o j = onst в пересечении дают пространственную кривую, которую можно назвать -линией, так как вдоль нее изменяется только параметр ос . Аналогично определяются а - и aj-линии. Таким образом, можно также говорить, что равенством (1.8.1) точка определяется как результат пересечения трех пространственных кривых, в связи с чем описываемая система координат называется криволинейной, переменные 2, 3 называются параметрами этой координатной системы. [c.23]

На рис. 3, а приведено распределение давления вдоль поверхности модели с криволинейной образующей (К = 70 мм). По вертикальной оси отложено давление р, отнесенное к давлению в невозмущенном потоке, по горизонтальной - расстояние отсчитываемое от точки сопряжения конуса с криволинейной поверхностью = х/ 3) где X - продольная координата. Па рис. 3, б показаны полные давления в сечении, где начинается фокусировка волн сжатия (ж° = 1.9). По горизонтальной оси отложено давление торможения за прямым скачком отнесенное к давлению торможения в невозмущенном потоке, по вертикальной - расстояние г] в мм по нормали к стенке. Рис. 3, в, г, д дают тенлеровские фотографии течения. Значки 1 на рис. 3, а дают экспериментальные значения давления, полученные на моделях А и Б при К = 0.5 10 , когда есть развитый отрыв. В этом случае имеющаяся на модели А щель располагается в отрывной зоне, не влияя на распределение давления. Полные давления показаны на рис. 3, б кривой 1. Область постоянного полного давления, равного давлению на стенке, соответствует зоне обратных токов. Зона отрыва (рис. 3, в) имеет прямолинейную границу, которая должна совпадать с линией максимальных градиентов плотности. Сопоставление полей полного давления с результатами обмера зоны отрыва на фотографиях показывает, что четко видимая граница близка к разделительной линии, используемой в модели отрывного течения [1. [c.164]

Разработка программы работы фрезерного станка при 4 езерова-нии сложного профиля детали (рис. 1.28) заключается в составлении программы движения узлов станка в соответствии с размерами и формой обрабатываемой криволинейной поверхности детали, размерами режущего инструмента и принятыми режимами резания. При этом требуется дать координаты опорных точек траектории относительного движения центра фрезы и обрабатываемой детали, а также определить параметры кривых, соединяющих эти точки. [c.48]

Растяжение и изгиб средней поверхности оболочки. Мы будем, вообще, предполагать, что средняя поверхность оболочки является в ненапряженном состоянии кривой поверхностью, а кривые а = onst., p= onst, совпадают с линиями кривизны. В случае плоской пластинки аир мож но считать обыкновенными декартовыми координатами или какими-либр криволинейными ортогональными координатами. Для сферической оболочки, аир могут быть обыкновенными сферическими координатами. Уравнения (7) — (10) имеют место в ненапряженном состоянии. Когда оболочка подвергается деформации, кривые, которые были линиями кривизны, обра-j зуют два семейства кривых, лежащих на искаженной средней поверх ности и пересекающихся друг с другом под углом, который может несколько] [c.542]

Пример 5.3. Пнструмент для упрочнения деталей, ограниченных поверхностями сложной формы (рис. 5.19), содержит корпус, в котором закреплена рабочая часть 1 с криволинейной образующей 2 исходной инструментальной новерхности И. Образующая 2 выполнена в виде кривой линии с монотонно изменяющейся кривизной. Кривизна образующей но ее длине изменяется с постоянной иптепсивпостью. Координаты текущей точки образующей 2 в полярных координатах определяются по формуле [c.313]

В результате решения задачи синтеза глобального формообразования известны наивыгоднейшие траектории формообразования сложной поверхности детали и наивыгоднейшие траектории врезаний-выводов инструмента. Для упрощения последующей разработки управляющих программ для системы ЧПУ металлорежущим станком удобно так изменить исходную параметризацию поверхности детали, чтобы найденные траектории формообразования (и траектории врезаний-выводов инструмента) служили одним семейством новых координатных линий на поверхности детали, а ортогональные ему кривые - вторым семейством криволинейных (гауссовых) координат на Д. Вьшолнение такой репараметризации позволяет совместить координатные линии со строками формообразования, что способствует уменьшению объема вычислений при воспроизведении траекторий формообразования системой ЧПУ металлорежущим станком. Это одна из причин, подтверждающая целесообразность изменения исходной параметризации поверности детали. [c.504]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...