Деформация при упругом растяжении и сжатии. Закон Гука

Деформации при упругом растяжении и сжатии. Закон Гука [c.26]

ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ОСЕВОМ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ. ЗАКОН ГУКА. МОДУЛЬ ПРОДОЛЬНОЙ УПРУГОСТИ [c.22]

Закон Гука, записанный в виде формул (4.16) — (4.19), определяет взаимосвязь между напряжением и деформацией в одном и том же направлении, т. е. в направлении приложения внешней силы. Такая запись носит название элементарного закона Гука. Однако деформация может возникать и в направлениях, отличных от направления приложения силы. В этих случаях закон Гука в элементарной форме уже недостаточен и необходимо воспользоваться обобщенным законом Гука. В самом деле, при одноосном растяжении цилиндрического образца происходит не только его удлинение в направлении приложенной силы, но и сжатие образца в поперечных направлениях, т. е. имеет место трехосная деформация. Поперечная деформация при упругом растяжении или сжатии характеризуется коэффициентом Пуассона V, равным отношению изменения размеров в поперечном направлении к их изменению в предельном направлении. Для большинства твердых тел значения v лежат между 0,25 и 0,35. Из рис. 4.10 следует, что [c.124]

ДЕФОРМАЦИЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ. ЗАКОН ГУКА. МОДУЛЬ УПРУГОСТИ [c.278]

Зависимость напряжение — деформация резино-текстильных конструкций не линейна, деформации не полностью обратимы, но на отдельных участках этой зависимости можно все же допускать, что материал следует закону Гука [17]. К тому же, эта нелинейность существенно сказывается лишь в начальной части кривых (е = 0,010,02), где для описания могут быть применены уравнения типа (2.8). При этом для семейств кривых весьма удобно показатели степени этих уравнений принимать одинаковыми и тогда различными будут лишь коэффициенты. В работе [16] приведена аналитическая зависимость а —е для образцов резинотканевых конструкций, модули упругости растяжения и сжатия этих образцов при малых деформациях (табл. 2.2) и модули образцов [c.67]

Заметим, что работа упругой силы выражается полученным равенством не только в рассмотренном нами частном случае. Эта формула относится в равной мере ко всем случаям упругой деформации, в которых упругая реакция подчиняется закону Гука F = сх, где X—перемещение точки приложения реакции, отсчитанное от положения этой точки при недеформированном состоянии тела, ас — постоянный коэффициент. Сюда относятся растяжение и сжатие прямолинейного бруса, изгиб балки и т. п. [c.375]

Известно, что закон Гука справедлив, пока напряжение не превышает определенной величины, называемой пределом пропорциональности, а в некоторых случаях расчеты на прочность приходится проводить при более высоких напряжениях, с учетом пластических деформаций. Кроме того, и в пределах упругости зависимость между напряжениями и деформациями у ряда материалов нелинейна, т. е. не подчиняется закону Гука. К таким материалам относятся чугун, камень, бетон, некоторые пластмассы. У некоторых материалов, подчиняющихся закону Гука, модули упругости при растяжении и сжатии различны. Поэтому в последнее время расчеты на прочность во всех указанных случаях приобретают все большее значение. [c.346]

Расчеты на прочность с учетом пластических деформаций будут рассмотрены в гл. 19. Здесь ограничимся лишь определением нормальных напряжений при изгибе балки прямоугольного поперечного сечения, материал которой не следует закону Гука на протяжении всего процесса нагружения, причем зависимости между напряжениями и деформациями различны при растяжении и сжатии. Рассмотрим также случай изгиба при различных модулях упругости для растяжения и сжатия. Опыты показывают, что и в указанных случаях гипотеза плоских сечений справедлива. [c.346]

Если материал изотропен, то цилиндр, растягиваемый в направлении его оси, остается цилиндром. Вообще, кроме деформации е в направлении растяжения, будет происходить деформация в поперечном направлении. Пусть некоторый отрезок, лежащий в поперечном сечении, имел до деформации длину Ъ, длина его после деформации будет Ь + АЬ и относительная поперечная деформация е = Ab/b. При растяжении е положительно, а е отрицательно, поперечные размеры образца уменьшаются. При сжатии картина получается обратная. У изотропного материала величина е одинакова для всех направлений в поперечном сечении, поскольку предпочтительного направления нет. Если деформация упруга и подчиняется закону Гука, то, как оказывается, отношение поперечной деформации к продольной постоянно [c.47]

В классической линейной теории упругости рассматривают обычно изотропное тело, упругие свойства которого одинаковы по всем направлениям. В этом случае при одноосном растяжении или сжатии независимо от направления закон Гука, связываюш,ий напряжения и деформации, имеет вид [c.6]

При одноосном растяжении или сжатии зависимость между относительной упругой деформацией в и напряжением а выражается законом Гука [c.113]

Расчет частей машины и сооружений на прочность требует знания соотношений между компонентами тензора напряжений, при которых начинается разрушение материала или, по меньшей мере, в нем возникают пластические деформации (наступает текучесть). Эти соотношения приводятся в различных гипотезах прочности , основанных на тех или иных допущениях об основном факторе, определяющем начало разрушения или появления текучести [65, 59]. При этом материалы, находящие себе применение в технике, делят, как правило, на класс хрупких и класс пластических материалов. Первые нередко удовлетворительно упруги при деформировании вплоть до разрушения и часто обладают разными временными сопротивлениями при простом растяжении и при простом сжатии Вторые, напротив, имеют, как правило, одинаковые временные сопротивления при испытании на растяжение и на сжатие. Вместе с тем, такие материалы перестают подчиняться закону Гука уже задолго до разрушения, обнаруживая свойство текучести, т. е. большого деформирования без заметного увеличения усилий, действующих на материал. Напряжение, соответствующее появлению текучести, называемое в дальнейшем пределом текучести, оказывается для большинства материалов одним и тем же при испытании как на растяжение, так и на сжатие. Было построено несколько гипотез прочности хрупких тел. Наиболее удовлетворительной из них, по-видимому, является гипотеза Мора, предложенная им в 1894 г. Что же касается гипотез прочности пластических тел, то здесь следует упомянуть три гипотезы, которыми пользуются в практических расчетах. [c.50]

Известно, что закон Гука остается справедливым для резины как при малых, так и при больших деформациях сдвига, но при деформации другого вида этот закон справедлив только при небольшой ее величине. Однако для обеспечения достаточной долговечности допускаемые напряжения при длительной работе резиновых упругих элементов муфт устанавливаются, исходя из малых деформаций. Поэтому при выполнении условия а < [а] можно считать закон Гука приближенно справедливым для резины и при деформациях изгиба, растяжения и сжатия (см. [21], с. 42). [c.210]

При рассмотрении задач на растяжение, сжатие, кручение и изгиб было показано, что энергия деформации может быть представлена в каждом случае функцией второй степени от внешних сил (уравнения (171), (180) и (1в7)) или функцией второй степени от перемещений (уравнения (172), (181) н (188)). Это положение р также справедливо в самом общем случае де- формации упругого тела при соблюдении следующих условий 1) мат )иал следует закону Гука, 2) перемещения вследствие деформации настолько малы, Ч й., не оказывают влияния на действие внешних сил, и ими можно пре- Рис. 273. [c.275]

Приведение параметров упругости звеньев (связей). Приведение параметров упругости необходимо для составления упрощенных динамических моделей машин и приведения их к одной оси. Упругость связи характеризуют параметром жесткости (жесткостью). Пара.метром жесткости называют силу или момент силы, вызывающие перемещение, равное единице (длины или угла). Например, жесткость стержня при деформациях растяжения-сжатия с = /"/Лх, при кручении с = М/Дф и при изгибе звеньев с = Р// (рис. 5.6, а-в). Указанные параметры жесткости могут быть получены из известных формул, отображающих закон Гука при различных деформациях [c.100]

Пластический изгиб. При исследовании процесса пластического изгиба, как и при упругом изгибе, допускается, что поперечные сечения изгибаемой полосы сохраняются плоскими. В этом случае деформации сжатия и растяжения по сечению полосы будут пропорциональны расстоянию от нейтральной линии, а распределение напряжений о по поперечному сечению полосы (фиг. 67, а) будет подобно диаграмме зависимости между напряжениями о и деформацией е при растяжении (фиг. 68). В средней части сечения изгибаемой полосы будет зона упругих деформаций, и эпюра напряжения на этом участке согласно закону Гука будет выражаться прямой линией. В крайних же частях сечения будут зоны пластических деформаций, и напряжения на этих участках будут изменяться по некоторой кривой, аналогичной кривой растяжения (фиг. 68). [c.993]

Деформации материала при изгибе стержня могут и не следовать закону Гука, а также могут быть и упруго-пластическими. Изменение при изгибе кривизны стержня может быть сколь угодно большим. Растяжение пли сжатие стержня не учитывается. [c.120]

Зависимость между нагрузкой и деформацией при сжатии (растяжении) в упругом состоянии определяется законом Гука [c.15]

Для чугуна каждой марки суш.ествуют достаточно стабильные соотношения между различными механическими характеристиками. Так, например, отношение временного сопротивления изгибу к временному сопротивлению разрыву для чугуна СЧ 18-36 равно двум. Отношение временного сопротивления сжатию к временному сопротивлению разрыву равно четырем. Пределы упругости и текучести на диаграмме испытаний не проявляются. Чугун, как известно, не подчиняется закону Гука, и остаточные деформации появляются в них при относительно малых напряжениях. Это объясняется большим количеством графитовых включений. При напряжениях, составляющих 40—50% от временного сопротивления при растяжении, остаточные деформации достигают заметной величины. Диаграмма напряжение — удлинение представляет собой кривую, почти не имеющую прямолинейного участка. Иногда условно принимают величину предела текучести серого чугуна, равную 70% величины временного сопротивления растяжению. [c.433]

При деформировании материала между компонентами напряжений и компонентами деформаций существует связь. В упругих материалах эта связь является алгебраической, однозначной. В данной главе мы займемся простейшей моделью гипотетического тела, обладающего свойствами линейной упругости. Закон линейной упругости в случае сложного напряженного состояния вводится путем обобщения известных формул закона Гука, полученных для случаев растяжения-сжатия и чистого сдвига. Деформацию элемента линейно упругого материала при сложном напряженном состоянии можно найти на основе принципа наложения, состоящего в том, что некоторая деформация, вызванная системой напряжений, определяется как алгебраическая сумма деформаций, вызванных каждым напряжением в отдельности. [c.107]

Известно, что ограничения, накладываемые результатами простейших экспериментов (связь между напряжениями и деформациями при растяжении-сжатии, чистом сдвиге и т.п.), не определяют полностью функцию Ф, поэтому, вообще говоря, можно построить сколько угодно зависимостей между компонентами напряжений и деформаций для упругого изотропного тела, приводящих при одноосном растяжении-сжатии к линейному закону Гука [3, 4]. [c.112]

Слой растяжения выполняют из резины твердостью 60—70 по Шору, слой сжатия — из более твердой резины (70—80 по Шору). Резина при деформациях сжатия до 30% и растяжения до 70% приблизительно подчиняется закону Гука. Модуль ее упругости Е зависит от размера образца, типа каучука, рецепта смеси и других факторов. В среднем можно принять [c.43]

Наиболее распространенный армирующий материал — стекло — можно считать линейно упругим вплоть до разрушения. Аналогичные свойства обнаруживают волокна бора, углерода и ряд других высокомодульных волокон. Поэтому при видах испытаний, где основную нагрузку воспринимает арматура (растяжение—сжатие в направлении укладки арматуры), обнаруживается линейная связь между деформацией и напряжением. Это открывает возможность использования (в рамках задач, ограниченных данным пособием) закона Гука. В дальнейшем, при описании техники и методики отдельных видов испытаний, зависимость между напряжениями и деформациями будет освещена более подробно. [c.35]

Выражения (1.11)—(1.13) представляют собой варианты математической записи закона Гука. Таким образом, изотропные твердые тела характеризуются только двумя независимыми постоянными, которые называют модулями упругости. Это могут быть, например, постоянные Ламе Я, и или величины К и и. Пользуются также другими парами модулей упругости, удобными для использования в тех или иных конкретных задачах. Это модуль Юнга Е и модуль сдвига [г, а также широко используемая в теории упругости пара— модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона о. Последний дает связь между относительным продольным растяжением (сжатием) упругого стержня и его поперечным относительным сжатием (растяжением) 22 при приложении к стержню однородной в поперечном направлении растягивающей (сжимающей) силы /1, приходящейся на единицу площади (однородные деформации) —0Мц. Связь между парами ЛГ, 1 и , а такова [c.192]

Формулы (24.4) и (24.5) - (24.6) выражают закон Гука для деформаций изгиба и кручения. Таким образом, закон Гука для всех рассмотренных видов упругих деформаций констатирует пропорциональность некоторой силовой характеристики, являющейся мерой силового воздействия (напряжение, сила, момент сил), и геометрической величины, характеризующей деформацию (относительные удлинение и сдвиг, стрела прогиба, угол кручения). При этом в законе Гука для фундаментальных деформаций растяжения-сжатия (24.2) и сдвига (24.3) коэффициенты пропорциональности - модуль Юнга и модуль сдвига - зависят только от свойств вещества. В случаях деформаций изгиба и кручения, которые сводятся, соответственно, к неоднородным растяжению-сжатию и сдвигу, эти коэффициенты в формулах (24.4) и (24.5) зависят от модулей соответствующих деформаций, а также от размеров тела. [c.82]

Потенциальная энергия упругой деформации. Для тела находящегося в условиях сложного напряженного состояния, можно подсчитать величину накопленной упругой энергии совершенно таким же способом, как это делалось для случая растяжения — сжатия ( 28). Предположим напряженное состояние однородным и рассмотрим куб, ребра которого ориентированы по главным осям и длина каждого ребра равна единице длины. Тогда площадь каждой грани равна единице площади, а объем — единице объема. Напряжения а,, и о, представляют собою действующие на грани силы, эти силы совершают работу на перемещениях, равных деформациям е,, е, и в,. Предположим, что напряжения растут постепенно, в каждый момент процесса нагружения действующие напряжения равны 6о,, 6о,, 6о,-. Здесь 0 — параметр, меняющийся от нуля до единицы когда становится равным единице, процесс нагружения заканчивается. Деформации выражаются через напряжения по закону Гука, то есть линейным образом, поэтому, когда напряжения равны 6о 6а,, Ьа деформации будут бе,, бе,, 6е,. Пусть параметр 6 получил приращение 0, деформации получают при этом приращения 08,, 0е 0е,. Действующие на грани силы произведут работу [c.99]

Поскольку между упругими деформациями системы пресс-штамп-заготовка и усилием нагружения существует линейная зависимость, соответствующая закону пропорциональности Гука, график нагружения при испытаниях на сжатие по форме соответствует графику нагружения при растяжении (см. рис. 3.1), но имеет иной физический смысл. [c.105]

Теория деформаций анизотропного тела. Теория деформаций изотропного тела потребовала только двух констант (коэфициента Лямэ). Анизотропное тело, упругие свойства которого по всем направлениям различны, ие м. б. охарактеризовано только двумя постоянными. Пуассон и Кошп одновременно указали для анизотропного тела 36 постоянных, из к-рых кансдое указывает на то или другое качество тела. Вследствие существования упругого потенциала (53), доказанного В. Томсоном, количество постоянных сокращено до 21. Для нек-рых кристаллич. систем это число м. б. еще уменьшено, но не ниже 3. Закон Гука для анизотропного тела и.чи постулируется или м. б. выведен из теории кристаллич. решетки (Борн). Рассмотрено состояние анизотропных тел под всесторонним давлением, при простых растяжении и сжатии, также изгибе и кручении. В технич. вопросах теория анизотропных тел занимает еще малое место, несмотря на то что металлы, железобетон и другие материалы больщей частью анизотропны. Губер вывел уравнение состояния ортогонально-анизотропной пластины, Штейерман распространил теорию изгиба симметрично расположенных и нагру-л енных оболочек (Лове-Мейснер) на случай анизотропных стенок. [c.222]

Упругость твердого тела. Согласно закону Гука между напряжениями и деформациями существует пропорциональная зависимость. Для изотропного тела связь между компонентами тензоров Tjjj и дается шестью уравнениями. При этом вводят две упругие постоянные модуль нормальной упругости Е (при осевом растяжении-сжатии) и модуль сдвига G. Вместо модулей Е и G вводят другую пару констант, например постоянные Ламе Л и р,, модуль объемного сжатия К и коэффициент Пуассона v. [c.5]

Роберт Гук (1635—1703) положил начало механике упругих тел, опубликовав в 1678 г. работу, в которой описал установленный им закон пропорциональности между нагрузкой и деформацией при растяжении. Томас Юнг (1773-1829) в самом начале XIX в. ввел понятие модуля упругости при растяжении и сжатии. Он установил также различие между деформацией растяжения или сжатия и деформацией сдвига. К этому же времени относятся работы Жозефа -Луи. Лагранжа (1736—1813) и Софи Жермен (1776- 1831). Они нашли решение зада чи об изгибе и колебаниях упругих иластинок. В дальнейшем теорию пластинок усовершенствовали С Пуассон (1781 — 1840) и Л. Навье (1785--I8361 [c.5]

Простейшим случаем неупругого изгиба является пластический изгиб, который имеет место при упруго-идеально-пластическом материале. Такой материал подчиняется закону Гука, пока напряжение не достигнет предела текучести, а затем в нем развиваются пластические деформации при постоянном напряжений. Диаграмма зависимости напряжения от деформации для упруго-идеально-пластического материала, имеющего одинаковые значения предела текучести а,г и модуля упругости Е при растяжении и сжатии,, представлена на рис. 9.2. Здесь видно, что упруго-идеально-нластичее-кий материал имеет область линейно упругого поведения, за которой [c.347]

Рассматриваются соотношения связи между напряженным и деформированным состояниями модели упругого изотропного тела при кусочно линейном потенциале в случае малых деформаций. Предполагается, что при одноосном растяжении-сжатии и чистом сдвиге для рассматриваемой модели имеет место линейный закон Гука, изменение объема прямо пропорционально среднему напряжению. В обш,ем случае поведение исследуемой модели отличается от поведения модели упругого изотропного тела, описываемого обш,епринятыми соотношениями линейной теории упругости [1, 2]. [c.111]

Молекулы т.вердых тел располагаются на очень малых расстояниях друг от друга и совершают колебания. Силы взаимодействия между ними очень велики и возрастают пропорционально изменению расстояния. Поэтому твердые тела сопротивляются сжатию, растяжению, изгибу, сдвигу, кручению. Напряжение а при упругой деформации твердого тела. пропорционально его относительной деформации А///. По закону Гука а=ЕА1 1, где Е — модуль упругости, I — размер тела. Л/ — величина деформации. Твердые тела не обладают легкоподвижностью, поэтому на твердое тело может действовать сосредоточенная сила, приложенная к одной точке. Механика твердого тела — это механика материальной точки или совокупности неподвижных, относительно друг друга, материальных точек. [c.9]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...