Общее решение однородного уравнения теплопроводности

Общее решение однородного уравнения теплопроводности [c.263]

Распространение монохроматического звука в поглощающей жидкости часто описывают на основе волнового уравнения (1.23), заменяя в нем комплексной величиной. Для однородной среды такой подход является точным. Однако в общем случае это не так. Например, на границах раздела решения уравнения (1.23), имеющего второй порядок, можно подчинить лишь двум граничным условиям, а в случае вязкой теплопроводящей жидкости независимых граничных условий будет восемь как и в твердом теле, должны быть непрерьшны три компоненты тензора напряжений, скорости частиц, а также температура и нормальная к границе компонента к Э Г/Эи плотности потока тепла. (В противном случае согласно уравнениям (7.2) и (7.3) на границе обращалась бы в бесконечность плотность энтропии, а вместе с ней и давление.) В случае, когда теплопроводностью можно пренебречь (к -> 0) для тензора напряжений в вязкой жидкости из (71)-(7.3) и (1.7) получаем [c.147]

Таким образом, математически задача разрешима при всех Ке и Рг. Заметим, что общее решение Т = + Т, где То есть решение (23) однородного уравнения теплопроводности, а Г1 частное решение (40) неоднородной тепловой задачи, является полным, поскольку собственные значения не вырождены. Если бы какие-либо собственные значения Юп имели кратность > 1, то в (23) необходимо было бы добавить члены, являющиеся полипомами степени /с — 1 от 1пй, умноженными иа Я ". [c.272]

Во второй главе рассматриваются основные уравнения задачи термоупругости в квазистатической постановке, когда не учитываются связывающий член в уравнении теплопроводности и инерционные члены в уравнениях равновесия. Рассмотрение этого вопроса в специальной главе оправдывается тем, что квазистатическая задача термоупругости имеет наибольшее практическое значение в обычных условиях теплообмена тепловые потоки, образующиеся вследствие деформации, и динамические эффекты, обусловленные нестационарным нагревом, настолько невелики, что соответствующие члены в уравнениях могут быть отброшены и система уравнений распадается на обычное уравнение нестационарной теплопроводности и уравнения, описывающие статическую задачу о термоупругих напряжениях при заданном температурном поле, вызванном внешними источниками тепла. Здесь при изложении постановки квазистатической задачи термоупругости в перемещениях представление общего решения выбрано в форме, полученной П. Ф. Папкови-чем в 1932—1937 гг. В этой форме решение однородного уравнения для вектора перемещения содержит произвольные гармонические вектор и скаляр, а частное решение соответствующего неоднородного уравнения, отвечающего заданному температурному полю, определяется через скалярную функцию, получившую название термоупругого потенциала перемещений, которая удовлетворяет уравнению Пуассона. [c.7]

Из (31), (33) следует, что (32) представляет собой разложение по действительным показателям степени В, по крайней мере, в области пе очепь больших значений Ке и Рг. Заметим, что при Рг = О или Ке = О система функций, отвечающая положительным показателям степени при В, тп(п<0) также совпадает, как и при га > О, с полной липейно независимой системой полиномов Лежандра. Можно полагать, как и в случае с га > О, что свойства полноты и линейной независимости функций (га<0) сохраняются и при Рг >0, Ке > 0. Это дает основание утверждать, что решение тепловой задачи в шаровом слое также существует и единственно и представимо в виде разложения (32). Видимо, существование и единственность решения краевой задачи для однородного уравнения конвективной теплопроводности будут иметь место, как в случае уравнения Лапласа, и для областей более общего вида. [c.268]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...