Уравнения в полярных цилиндрических координатах

УРАВНЕНИЯ В ПОЛЯРНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ [c.125]

При составлении уравнений механики деформируемого твердого тела выбирается соответствующая система координат. В зависимости от формы тела используются декартовы, полярные, цилиндрические координаты и др. Эти уравнения можно записать также и для общего случая произвольных криволинейных координат. В данной главе используем наиболее часто применяемую в задачах декартову систему. В последующих главах для характерных задач покажем также особенности использования полярной системы. Применение других систем координат можно найти в более полных курсах теории упругости. [c.25]

Дифференциальные уравнения равновесия в полярной системе координат получим как частный случай из дифференциальных уравнений равновесия (1.4) в цилиндрической системе координат. Если в уравнениях (1.4) положить = = первое [c.82]

Система уравнений. Пусть рассматриваемое тело обладает симметрией относительно оси z (в системе цилиндрических координат г, 9, z). При осесимметричной нагрузке деформация такого тела будет также осесимметричной компоненты напряжения и скорости (или смещения) не зависят от полярного угла 9, причем [c.235]

В некоторых случаях оказывается полезным уравнение [175] выразить в полярных (сферических) координатах/ и (фиг. 166) вместо цилиндрических координат гиг. Это преобразование выполнится без затруднений при помощи формул параграфа 21. В результате имеем [c.342]

В некоторых случаях удобно пользоваться полярными цилиндрическими координатами г, В, у). Приведем соответствующие уравнения относительно компонент напряжений Ог, ае и Ггв, компонент деформаций Ег, ее и е, а также радиальной и окружной компонент перемещений иг и ые- [c.24]

Используя цилиндрическую полярную систему координат (соответствующую случаю течения в круглой трубе) и учитывая, что Тр в общем случае зависит от времени I, координаты в направлении основного потока х, радиальной координаты в основном потоке г и полярного угла ф, предшествующее уравнение можно записать в частных производных в следующем виде [c.170]

Пусть в преграду толщины к по нормали к свободной поверхности ударяется тело длины I и среднего диаметра к = 2г со скоростью Ос- В результате удара образуется отверстие. Экспериментально установлено, что при ударе тела длины /> 2/ о в преграду толщины /г > 2го отверстие имеет цилиндрическую форму [12], [27], поэтому можно пренебречь краевым эффектом и считать, что диаметр отверстия определяется только радиальным расширением. В этом случае расчет радиуса отверстия сводится к решению следующей задачи. В момент времени i = О в срединной поверхности преграды образуется отверстие й = 2го, в котором действует давление р , равное давлению за фронтом ударной волны в момент начала соударения и распространяющееся по срединной поверхности с образованием ударной волны. Требуется найти закон расширения отверстия и его диаметр по окончании процесса соударения, предполагая материал преграды за ударной волной жидким или идеально-пластическим. Плотность среды за ударной волной считается постоянной и определяется из условий, имеющих место на ударной волне в момент взаимодействия. Предполагается, что за время движения среда перед ударной волной находится в покое. Задача обладает цилиндрической симметрией и рассматривается в полярных координатах. Уравнения движения и неразрывности принимают вид [c.193]

В некоторых случаях полезно выразить уравнение (190) не в цилиндрических координатах г и г, а в полярных координатах 7 и (рис. 201). Такое преобразование легко осуществить с помощью формул 27, Получаем [c.385]

Уравнения движения в цилиндрических координатах. Приведение интегрирования к эллиптическим квадратурам. — Пусть/ и 6 — полярные координаты проекции [J. точки М на плоскость ху. Тогда [c.200]

Формулы преобразования компонентов напряжений при переходе от полярной системы координат к декартовой. Прежде всего составим уравнения пространственной задачи теории упругости в цилиндрических координатах. [c.687]

Уравнения Коши. Зависимости между х и д, с одной стороны, и г и , — с другой, в цилиндрических координатах в пространственной задаче такие же, как и в полярных, —в плоской. Поэтому три уравнения Коши (формулы для е , и V, ) такие же, как и в полярных координатах плоской задачи (9.120), три остальные уравнения Коши такие же, как и в пространственной задаче в декартовых координатах, т. е. [c.688]

Переход от уравнений движения в полярных и цилиндрических координатах к естественному уравнению движения. Если уравнения движения точки даны в полярных координатах [c.313]

Приведенные выше уравнения можно легко преобразовать к другим системам ортогональных координат ). Наиболее удобными из них являются сферические координаты, в которых положение точки определяется расстоянием г от начала координат, широтой О и азимутом ср, а также цилиндрические координаты, в которых положение точки определяется полярными координатами (г, 6) ее проекции на плоскость (х, у) и координатой г. [c.23]

Распределение скоростей (61) в цилиндрической трубе круглого сечения можно получить и непосредственно, заменив в левой части уравнения (45) лапласиан его выражением в полярных координатах (III. 18). Будем иметь [c.383]

Рассматривается цилиндрическая оболочка постоянной толщины t, срединной поверхности которой придана волнистость с ориентацией гребней волн вдоль образующей. Поперечное сечение поверхности в полярных координатах Я, (р описывается уравнением [c.106]

Осесимметричные задачи. При осесимметричной деформации компоненты напряжения и скорости деформации не зависят от полярного угла ф. Если исключить кручение, то окружная составляющая скорости Уф = 0. Дифференциальные уравнения равновесия в цилиндрических координатах г, ф, z имеют вид [c.108]

В цилиндрических координатах г, z, <р это уравнение дает параболоид вращения, так как сюда не входит полярный угол ср. [c.124]

Для цилиндрической поверхности, как уже отмечалось в 19, в качестве гауссовых координат (Х , о< обычно принимают расстояние вдоль образующей х (°< = х ) и полярный угол 0 ( = 0 ), задавая радиус-вектор произвольной точки уравнением [c.143]

Далее нам придется пользоваться уравнением Лапласа, а также уравнением Пуассона, не только в декартовых, но и в некоторых других координатах, например, в цилиндрических, в полярных сферических и т. д. [c.94]

При 2 = 0 система цилиндрических координат вырождается в систему полярных координат г, ф на плоскости (рис. 2.7), с помощью которых удобно исследовать плоское движение материальной точки. Такое движение обычно задают уравнениями г = г (I), Ф = Ф (О- Исключая отсюда время t, можно получить уравнение траектории точки М в полярных координатах [c.18]

При решении уравнения переноса возникает необходимость иметь конкретное выражение для величины Q VN, которая описывает растечку нейтронов в системе. Это выражение может быть легко получено в тех случаях, когда положение точки описывается в прямоугольных, сферических или цилиндрических координатах. Для описания направления движения нейтрона требуются две угловые координаты обычно выбираются полярный и азимутальный углы (см. разд. 1.7.1). Вычисление Й упрощается, если принять во внимание, что это выражение есть пространственная производная Л в направлении Й. Для простоты энергетическая и временная переменные опущены. [c.25]

В большинстве теорий Луны, созданных со времен Ньютона, в основном использовались уравнения движения в полярных координатах — сферических или цилиндрических — или уравнения в элементах орбиты, зависящих от этих координат. Важным исключением является теория Эйлера (1772 г.). в основу которой положено использование прямоугольной системы координат, оси д и у которой вращаются в плоскости эклиптики со средней угловой скоростью Луны. Теория Эйлера не привлекала большого внимания до тех пор, пока (столетием позже) Хилл не продемонстрировал могущество своего метода, основанного на использовании прямоугольных координат, однако с тем отличием от Эйлера, что его оси вращаются со средней угловой скоростью и. Солнца, а ось х проходит через среднее положение Солнца. Хилл выполнил три классических исследования ), составивших затем основу для исчерпывающих исследований Брауна ), который закончил построение теории Луны н составил соответствующие таблицы З). используемые с 1923 г. в ежегодниках. [c.378]

Замкнутое аналитическое решение задачи об обтекании конуса возможно лишь в предельном случае малых углов раствора конуса. Очевидно, что в таком случае скорость газа во всём пространстве будет лишь незначительно отличаться от скорости натекающего потока. Обозначив посредством v малую разность между скоростью газа в данной точке и скоростью и введя её потенциал со, мы можем применить для последнего линеаризованное уравнение (106,4) если ввести цилиндрические координаты л , г, си с осью вдоль оси конуса (со — полярный угол), это уравнение примет вид [c.511]

Векторные компоненты в цилиндрических полярных координатах тензоров (aij) и V (У2), входящих в уравнение (6.25), соответственно равны V pr, VV 0. и - (VS), r (VS), (V2). Эти [c.128]

Тогда отношение напряжений ае и Ор оказывается равным 1,473, Соответствующее же отношение постоянных С1 и Сз (с учетом перехода от цилиндрической системы координат, в которых решалось интегральное уравнение, к локальной полярной системе) оказалось равным 1,355. Здесь погрешность составляет менее 9%- [c.585]

Дополнительное НДС вблизи кругового отверстия. Пусть цилиндрическая оболочка ослаблена круговым отверстием, край которого в полярной системе координат (р, 9) задается уравнением р = Ро = onst. В этом случае, как известно, для определения произвольных постоянных может быть использован метод рядов Фурье. Представляя параметры дополнительного НДС и граничные величины в виде рядов (16.103) и сравнивая коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях, придем к бесконечной системе алгебраических уравнений относительно постоянных Мп Nn / = 1,2. Важная особенность полученной таким 626 [c.626]

Преобр азуем предварительно это уравнение, переходя от цилиндрических координат к полярным. При симметричной деформации нам приходилось определять положение точки в какой-либо меридиональной плоскости координатами гиг. Введем теперь новые координаты, радиус n и угол б (рис. 87). В таком случае, на основании формул (Ь) 37, будем иметь [c.156]

При решении некоторых задач подземной гидравлики удобно связывать с неподвижной фильтрующей средой систему криволинейных координат. Примером такой системы координат может служить система полярных (цилиндрических) координат, в которых представлены дифференциальные уравнения потенциального плоско-радиального потока (VIII.15) и (VIII.16). [c.180]

Эти уравнения называют уравнениями двиоюения точки в декартовых координатах. Вместо декартовых координат х, у, г можно взять какие угодно другие координаты полярные, сферические, цилиндрические и др. Выраженные в функции вре-м-ени, они дадут уравнения движения точки в соответствующей системе координат. [c.145]

Преобразование координат. Разобранные уравнения л гко могут быть преобразованы к другим системам ортогональных координат наиболее полезными из них являются сферические координаты, в которых положение точки определяется расстоянием г от начала, широтой д и азимутом <р, и цилиндрические координаты, когда положение точки определяется полярными координатами г и О ее проекция на плосвооть х, у ш координатой Z. [c.17]

Анализ отклонения текущего размера. №менение текущего размера р(ф) дает правильное представление об изменениях отклонений радиуса диаметра поверхности детали по окружности в стыковом соединении. В качестве основного математического приема принимается аппроксимация точности разложением функционального допуска профиля в поперечном сечении в тригонометрический ряд Фурье для получения начальных (элементарных) со-ставляюпщх. Принимается номинальный профиль поперечного сечения цилиндрического корпуса, имеющего окружность с периметром Ь, истинным диаметром (1=2г с центром в точке О. В действительном профиле появляются отклонения (эксцентриситет, от круглости, волнистость), формирующие рельеф поверхности. Рассмотрим полярную систему координат с центром О", близким к О. Допустим, что отклонение профиля определяется при и значениях полярного угла (р = 2пт1п т=1, 2,. .., и значением радиуса р =р((р ). Полярное уравнение действительного профиля р = р(ср) представим тригонометрическим полиномом ряда Фурье [c.156]

При составлении дифференциальных уравнений равновесия мы воспользуемся результатами, полученными при решении плоской задачи в полярных координатах ( 37). Напишем уравнения равновесия для бесконечно малого элемента (рис. 85), выделенного из тела двумя меридиональными плоскостями, двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами г ж г йг ш двумя поперечными сечениями, проведенными на расстоянии г друг от дрзгга. Кроме сил, которые мы принимали во внимание при решении плоской задачи, сюда войдут еще усилия по верхней и нижней граням выделенного элемента, перпендикулярным к оси 2. Нормальные напряжения по этим граням обозначим через 22, а касательные напряжения — через Г2 и 02. Проектируя все приложенные к элементу силы на направление радиуса, направление оси 2 и направление перпендикуляра к плоскости rz, получаем таким же образом, как и в случае плоской задачи, следующие уравнения равновесия [c.150]

Распределение скоростей по сечению круглой цилиндрической трубы (24") можно получить и иначе. Составим вместо (23) уравнение движения в по.тярных координатах г, г. Для этого выразим лапласиан в полярных координатах п опустим, в силу осесимметричности движения, члены с производными по углу е. Тогда получим в качестве основного уравнения [c.494]

Все приведенные выше выкладки по существу справедливы для любой ортогональной системы координат. Ортогональной называется такая система, в которой все три координатные линии в любой точке пространства пересекаются под прямым углом. Координатная линия — кривая, уравнение которой qi = onst (7, — координата в криволинейной системе координат). В общем случае координатные линии являются произвольными пространственными кривыми (рис. 13). Наиболее распространенными криволинейными системами координат являются цилиндрическая (полярная для плоской задачи) и сферическая. [c.24]

Сила, перпендикулярная к поверхности. Возьмем маленький диск, в пределах которого на свободную поверхность действуют нормальные напряжения, зависящие от времени по синусоидальному закону. Миллер показал, как следует скомбинировать фундаментальные решения волнового уравнения в цилиндрических координатах, чтобы нормальные напряжения на площади диска были (в данный момент времени) постоянны, а вне диска обращались в нуль. Смещения были затем выражены в виде интегралов, которые оценивались для диска с малым радиусом и для радиальных расстояний от источника, много больших длины волны объемных волн, В пределе этот источник может рассматриваться как сосредоточенная сила Оо Вследствие симметрии относительно вертикальной, оси компонента ио равна нулю, а другие компоненты независимы от 6. Зависимость смещений от полярного угла и радиального расстояния при 51пф<а выражается формулами [c.218]

Если сила Р задана, интегрирование этих дифференциальных уравнений позволяет определить уравнение (закон) движения точки. Само интегрирование бывает удобнее проводить в определенных координатах декар-товьгх, полярных, цилиндрических, в натуральной форме и других. Чтобы перейти от векторной формы уравнений (15.1) к координатной, необходимо спроектировать (15.1) на координатные оси. Рассмотрим частные случаи. [c.49]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...