ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения в полярных цилиндрических координатах из "Теория упругости " По ( рмуле (2 .25), ссылаясь также на (6.37), имеем gil = 1, gA = lr gr, = о (/ i). [c.127] Если спроектировать первое уравнение (6.69), например, на ось г, то аналогично получим скалярное уравнение, которое будет совпадать с уравнением, полученным в результате проектирования третьего уравнения (6.69) на ось г. Непосредственно можно убедиться, что среди девяти скалярных уравнений, эквивалентных системе (6.69), только шесть будет различных — это следующие уравнения Бельтрами . [c.129] Выяснение напряженно-деформированного состояния призматического бруса, находящегося под действием поверхностных сил, приложенных только к его торцам, называется задачей Сен-Венана. Частными случаями ее являются задачи растяжения, кручения и изгиба призматического бруса силами, приложенными к его торцам. Решения задачи растяжения и задачи чистого изгиба призматического бруса уже рассмотрены в гл. IV, 8. Задача изгиба призматического бруса будет рассмотрена в следующей главе, а в этой главе рассмотрим кручение прямых брусьев. [c.132] Пусть имеем брус постоянного поперечного сечения с произвольным контуром L (рис. 7.1). Предполагается, что массовые силы отсутствуют (/г == 0), боковая поверхность бруса свободна от внешних сил, а к его торцам приложены поверхностные силы, которые приводятся к противоположно направленным моментам М вокруг оси бруса. [c.132] Начало координат О совместим, например, с центром тяжести одного из торцов, направив ось Хз по оси бруса, а плоскость 0x x2 пройдет по плоскости торца Хд = 0. [c.132] Ставится задача найти для данного бруса компоненты тензора напряжений и компоненты вектора перемещения произвольной его точки К (XI), т. е. выяснить напряженно-деформированное состояние бруса при заданных условиях. [c.132] Остальные компоненты тензора напряжений Ога = Озг и 031 = 013 будем находить так, чтобы при выполнении условий совместности Бельтрами (4.55) и граничных условий (4.6) удовлетворялись уравнения равновесия (4.3). [c.132] Из уравнений (7.4) вытекает, что искомые компоненты тензора напряжений Одх и Одг не зависят от координаты и являются функциями только XI и ЛГа. [c.133] Функция Ф, с помощью которой определяются компоненты тензора напряжений 031 и 023, называется функцией напряжений. [c.133] Вначале рассмотрим условия на боковой поверхности бруса, которая по условию задачи свободна от внешних сил (/( = 0). [c.134] Равенство (7.10) означает, что полное касательное напряжение в контурной точке направлено по касательной к контуру сечения. Действительно, левая часть равенства (7.10) представляет собой скалярное произведение вектора касательного напряжения в контурной точке т = оз1 Э1 4- Озг Эг и. единичного вектора по внешней нормали к контуру п = rtiSi + ИгЭг- Так как т п — О, то вектор т перпендикулярен вектору п. [c.134] Последнее равенство показывает, что на контуре Ь поперечного сечения функция напряжений Ф должна иметь постоянное значение. [c.134] Если поперечное сечение бруса представляет собой многосвязную область, т. е. брус имеет продольные цилиндрические полости и, следовательно, граница поперечного сечения будет состоять из не-скшьких. замкнутых контуров 1, 2, ,3,. .., , охваченных внешним контуром 0 (рис. 7.3), то в этом случае функция напряжений Ф (а 1, Х2) на контурах к = О, 1, 2,. .., п) принимает постоянные, но на канадом контуре, вообще говоря, различные значения Ф (к = = 0, 1,2,. .., п). Прн этом постоянные Ф на контурах не могут быть выбраны произвольно. Можно произвольно выбрать лишь одну постоянную, например, принять постоянную Фо на внешнем контуре 0 равной нулю, а остальные постоянные Ф (й = 1,2,. .., п) на внутренних контурах получат конкретные значения, -которые определяются на основании теоремы Бредта о циркуляции касательного напряжения, изложенной ниже в 2 этой главы. [c.135] Из равенств (7.14) следует, что искомые напряжения О31 и Оза распределяются по поперечным сечениям таким же образом, как и поверхностные силы 1 и 2 на торцах бруса. (1 1едовательно, внутренние силы на поперечных сечениях бруса, как и поверхностные,силы на его торцах, должны приводиться только к моменту относительно оси бруса, т. е. к крутящему моменту М. [c.135] Покажем, что проекции на оси Х1 и х 2 внутренних сил в любом поперечном сечении действительно равны нулю. [c.135] На основании (7.15) и (7.18) Qx = 0. Аналогично можно показать, что также равна нулю. [c.136] Ф (л 1, и цилиндрической поверхностью с контуром основания j. Очевидно, что интеграл Jf dx,dx2 определяет объем этой фигуры произведение равно объему цилиндра, основание которого очерчено контуром I, а его высота соответствует значению функции напряжении Ф1 на контуре L,. [c.138] Отсюда следует, что при фиксированном значении х , т. е. в некотором поперечном сечении, перемещение щ прямо пропорционально расстоянию г точки К от оси бруса. Это означает, что при кручении бруса произвольного поперечного сечения радиальные лучи остаются прямыми и поворачиваются на угол Xg, который называется углом закручивания на длине. x — относительный угол закручивания, т. е. угол закручивания на единицу длины бруса. [c.139] О)поставляя уравнения (7.33) и (7.8), находим, что постоянная в уравнении (7.8) с = — 2С-д . [c.139] Таким образом, при кручении прямого бруса произвольного постоянного сечения можно определить и перемещения, и напряжения зг и Од2, если известна функция напряжений Ф (Хх, х , удовлетворяющая уравнению Пуассона (7.33) и граничному условию (7.13). [c.139] Вернуться к основной статье