Фазовая плоскость. Предельный цикл

Фазовая плоскость. Предельный цикл [c.278]

ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ [c.279]

Пунктирные ломаные, соответствующие итерационному процессу, аналогичны интегральным кривым на фазовой плоскости. Предельные последовательности (на рис. 11.7 они изображены сплошными линиями) подобны предельным циклям. Неустойчивые предельные последовательности являются сепаратрисами, разде- [c.357]

Это уравнение уже учитывает существование встречных волн в среде с дисперсией. При У < Уо это уравнение Ван-дер-Поля, имеющее единственный предельный цикл, который и соответствует автоколебаниям в виде периодических стационарных волн. Видно, что при /3(Уо — У )/7 1 эти волны будут релаксационными (на фазовой плоскости разрывный цикл). При слабой дисперсии (/3 0) это условие выполнено при всех У < Уд , т. е. релаксационными будут и медленные (короткие), и быстрые (длинные) волны ((Уд = (2тг/Л) , [c.445]

Пусть при Х = Х наша система является грубой, т. е. на фазовой плоскости существует цикл без прикосновения, определяющий собой область О, внутри которой все состояния равновесия грубые, т. е. таковы, что для них Д О, и при Д О, а О все предельные циклы имеют характеристические показатели, отличные от нуля, и сепаратрисы не идут из седла в седло. Очевидно, что в этом случае значение X = Хо не может быть бифуркационным по самому определению грубых систем и по нашему предположению об аналитичности правых частей уравнений (6.22) как функций X. [c.466]

Итак, если известны все состояния равновесия, предельные циклы и их характер, а также расположение сепаратрис, то это позволяет полностью установить топологическую структуру всех ячеек и их взаимное расположение, т. е. полностью выяснить структуру разбиения фазовой плоскости на траектории. [c.43]

Если замкнутая траектория на фазовой плоскости является изолированно , она называется предельным циклом. Наличие устойчивого предельного цикла на фазовой плоскости говорит о том, что в системе возможно установление незатухающих периодических колебаний, амплитуда и период которых в определенных пределах не зависят от начальных условий и определяются лишь значениями параметров системы. Такие периодические движения А. А. Андронов назвал автоколебаниями, а системы, в которых возможны такие процессы, — автоколебательными [ 1 ]. В отличие от вынужденных или параметрических колебаний, возникновение автоколебаний не связано с действием периодической внешней силы или с периодическим изменением параметров системы. Автоколебания возникают за счет непериодических источников энергии и обусловлены внутренними связями и взаимодействиями в самой системе. Одним из признаков автоколебательной системы может служить присутствие так называемой обратной связи, которая управляет расходом энергии непериодического источника. Из всего сказанного непосредственно следует, что математическая модель автоколебательной системы должна быть грубой и существенно нелинейной. [c.46]

Для нахождения предельных циклов на фазовой плоскости, к сожалению, не существует регулярных и достаточно эффективных методов, применимых в общем случае. Вместе с тем для решения вопроса об отсутствии замкнутых [c.47]

Заметим, что в автономной системе второго порядка, состояние которой изображается точками на фазовом круговом цилиндре, может встретиться новый тип бифуркации, который невозможен в случае фазовой плоскости, а именно бифуркация, связанная с рождением или исчезновением предельных циклов, охватывающих фазовый цилиндр. В отличие от фазовой плоскости, где устойчивый предельный цикл отображает автоколебательное движение в системе, устойчивый предельный цикл, охватывающий фазовый цилиндр, соответствует периодическому ротационному (вращательному) движению. [c.52]

Предположим, что механическая энергия поступает непрерывно во времени из источника энергии и также непрерывно во времени возрастают сопротивления движению и увеличивается рассеяние энергии. В этом случае процессу самовозбуждения соответствуют спиралеобразные траектории изображающей точки на фазовой плоскости, асимптотически при /->-оо приближающиеся к некоторой замкнутой кривой, которая называется предельным циклом. Приближение к предельному циклу может происходить как из внутренних к нему точек, так и из внешних. Предельный [c.279]

На фазовой плоскости (ф, ф) рассматриваемому установившемуся периодическому движению соответствует замкнутая траектория (предельный цикл) [c.546]

Автоколебательные системы относятся к классу активных колебательных систем, определение которых было дано в 4.1. Однако, в отличие от активных систем, в которых вложение энергии можно однозначно описать с помощью отрицательного сопротивления и которые могут быть линейными и неконсервативными, автоколебательные системы принципиально нелинейны и неконсервативны. Это их свойство обусловливает возможность существования в автоколебательных системах стационарных по форме и величине колебаний, что в рамках представлений о фазовой плоскости означает наличие предельных циклов — асимптотических замкнутых фазовых траекторий. [c.186]

Доказано, что при определенных условиях, накладываемых на вид диссипативной функции ф(х, у), такие предельные циклы существуют, и они описывают автоколебательные процессы. При представлении автоколебательных систем на фазовой плоскости наряду с предельными циклами необходимо рассматривать также особые точки, соответствующие состояниям равновесия. [c.197]

В ЭТОМ случае в стационарном режиме колебаний при двух подталкиваниях за период предельный цикл на фазовой плоскости имеет вид, схематически показанный на рис. 5.19. [c.202]

Следует отметить, что при таком рассмотрении задачи выполнение условия самовозбуждения означает, что колебания в исследуемой системе нарастают неограниченно, что не происходит в реальных системах. Это обстоятельство связано с тем, что принятая нами линейная аппроксимация вольт-амперной характеристики лампы пригодна лишь для небольших пределов изменения х. Это означает также, что в таком режиме работы подобные системы не могут генерировать стационарные колебания, т. е. не имеют на фазовой плоскости замкнутой ( )азовой траектории — предельного цикла. [c.203]

Таким образом, каждому значению соответствует одно-един-ственное отличное от нуля стационарное состояние системы, что соответствует на фазовой плоскости одному предельному циклу — замкнутой фазовой траектории (рис. 5.26), Снаружи предельного [c.208]

При стремлении /г к нулю слева радиус неустойчивого предельного цикла уменьшается и стремится к нулю. Начало координат на фазовой плоскости при этом обращается из особой точки типа устойчивого фокуса в особую точку типа неустойчивого фокуса. Одновременно радиус устойчивого цикла увеличивается. [c.210]

Как уже отмечалось в 17.2, особым точкам фазовой плоскости соответствуют равновесные состояния, при этом центру — устойчивое, а седлу — неустойчивое равновесия. Что касается фокуса и узла, то они могут соответствовать либо устойчивому (если движение изображающей точки по фазовой траектории направлено к особой точке — см. рисунки в строках 1, 4 и б табл. 17.2), либо неустойчивому (если движение — от особой точки — см. рисунки в строках 2, 5 и 7 табл. 17.2) состоянию равновесия. Аналогично устойчивым (рисунок 17.17, ж) или неустойчивым (рисунок 17.17,3) может быть предельный цикл. Точкам неустойчивого предельного цикла соответствуют нереализуемые движения. [c.76]

Часть фазовой плоскости, в которой располагаются фазовые траектории, стремящиеся к устойчивой особой точке или к устойчивому предельному циклу, называется областью притяжения этой особой точки или этого предельного цикла. [c.76]

Если на фазовой плоскости имеется несколько предельных циклов, то это означает, что в автоколебательной системе может иметь место соответствующее количество установившихся процессов, у каждого из которых своя амплитуда. Устанавливается тот процесс, в области тяготения которого находятся начальные условия. [c.227]

Области устойчивости системы с параметрическим возбуждением 237 Область применимости метода Эйлера 372 — притяжения особой точки, предельного цикла фазовой плоскости 76 [c.477]

Появление бокового цикла не является результатом грубых ошибок в настройке модели. При устранении ограничительных диодов ( 17в) на некоторых участках предельного цикла возбуждаются мелкие колебания ускорения ( фюн ) весьма высокой частоты, что изменяет устойчивость пересекающихся в центральной полосе фазовой плоскости трех интегральных кривых. В результате изображающая точка не переходит в третий квадрант фазовой плоскости, а по другой интегральной кривой выбрасывается обратно в первый квадрант. Кроме того, при отсутствии диодов максимальное значение нелинейной функции (2) не может быть настроено строго неизменным, но, по-видимому, это не было причиной появления бокового цикла, поскольку многократная полная перенастройка нелинейного блока не изменила критических значений коэффициентов и 5 . В модели, настроенной по схеме рис. 7, боковые циклы не появляются. [c.88]

Сопоставляя демпфирующее влияние нелинейного члена уравнения и дестабилизирующее влияние линейного члена, мы, в сущности, имеем в виду изменение энергии системы вследствие работы, совершаемой различными составляющими силы трения. Линейная составляющая совершает положительную работу, т. е. вносит энергию в систему, а нелинейная составляющая совершает отрицательную работу, т. е. уменьшает энергию системы. При стационарных автоколебаниях приток энергии компенсирует ее расход (в среднем за один колебательный цикл) и система внешне ведет себя так, как если бы она была консервативной здесь полезно напомнить, что фазовые траектории консервативных систем также представляют собой замкнутые кривые, геометрически похожие на кривую предельного цикла, изображенную на рис. VI. , б. Но, конечно, сходство это только внешнее предельный цикл представляет собой изолированную замкнутую фазовую траекторию, и в ее окрестности нет других замкнутых траекторий, тогда как замкнутые фазовые траектории свободных колебаний консервативных систем сплошным][образом заполняют фазовую плоскость . [c.287]

Переходный процесс, а также предельный цикл можно построить на фазовой плоскости графо-аналитическим путем при помощи дельта-метода. Обозначив координату х через у, имеем [c.292]

Новые динамич. свойства систем с О. с. возникают при увеличении числа степеней свободы. Так, для систем, описываемых двумя ур-ниями (1), на фазовой плоскости наряду с особыми точками — состояниями равновесия, могут также возникать особые траектории — предельные циклы, отвечающие автоколебаниям. Примером механич. системы с автоколебаниями являются часы с анкерным устройством, к-рое осуществляет О. с. между источником энергии (пружиной, гирей) и маятником. [c.386]

Фазовая плоскость, предельный цикл. Если бы не было трения, изображающая точка двигалась бы так, как показано на рис. 114. Пока маятник не проходит через вертикальное положение 6 = 0, он не чувствует присутствия ходового колеса и изображающая точка описывает полуокружность в правой или левой полуплоскости — правое или левое полуколебание. Проходя через положение 0 = 0, идя вправо, маятник испытывает толчок вправо, и р = 6/о) возрастает на некоторую величину. Проходя через то же положение 0 = 0, идя влево, маятник испытывает голчок влево, и р снова растет по абсолютной величине и т. д. [c.111]

Ограничимся изложением результатов исследования семимерной модели (7.7), выполненного в работе [461]. При R = Ro 227,1 четыре симметрично расположенных в фазовом пространстве предельных цикла становятся неустойчивыми и превращаются в четыре двумерных тора с частотами Д (частота цикла) и /г = 1/Гт, где Гт — квазипериод тора. Проекция на плоскость Же, X, инвариантной кривой на секущей гиперплоскости Xi = О, соответствующей одному из таких торов, а также спектральные плотности отображения Пуанкаре для х, и потока для xi x) при R = 269 показаны на рис. 9.80, а. При R = Ri, где 275 бифуркация удвоения квазипериода тора (рис. 9.80, б), а при R = Лг, где 294 бифуркация удвоения тора в [461] обнаружена не была. При увеличении R от значения Лг инвариантная кривая становится все более нерегулярной (рис. 9.81). Хаос на- [c.337]

Предельное (при л->--[ 0) разбиение фазовой поверхности Ф на траектории, к которому близко разбиение этой поверхности при j. l, т. е. при С]< С, для случая самовозбуждающейся схемы приведено на рис. 552. Очевидно, при любых начальных условиях в схеме устанавливаются разрывные автоколебания, отображаемые на фазовой поверхности предельным циклом абвга (его проекцией на плоскость х,у и являлся разрывный предельный цикл [c.804]

Следовательно, график функцнй последования для Т, имеет вид, показанный на рис. 4.30. Нанесем теперь найденные кривые для точечных отображений и на одной диаграмме, тогда получим диаграмму Ламерея, показанную на рис. 4.31. Проведенное исследование показывает, что в рассматриваемом случае (О < < оо, О < 2 < 1) существует единственная неподвижная точка отображения Т = Ti-Ta, которая является глобально устойчивой. Таким образом, на фазовой плоскости ху имеется только один предельный цикл, устойчивый в большом, т, е. к этому [c.103]

Ламерея , построенная на этих кривых, может содержать самое большее две ступеньки . Это означает, что при любых начальных условиях изображающая точка попадает на отрезок (4.49) скользящих движений не более чем после двух пересечений граничной прямой д + Ру = 0. Соответствующее разбиение фазовой плоскости ху на траектории для рассматриваемого случая О < р < 1 показано на рис. 4..38. Рассмотрение случая р<0 проводится аналогично. Функция последования по-прежнему определяется соотношениями (4.51), а диаграмма Ламерея имеет вид, показанный на рис. 4.39. Таким образом, в случае Р < О точечное отображение (4.51) имеет единственную неподвижную точку, которая является устойчивой. На фазовой плоскости ху этой точке соответствует устойчивый предельный цикл, распо.по/ <-Рнный симметрично относительно начала координат (рис. 4.40). При эгом режи.ме корабль [c.108]

Из физических определений известно, что если система является автоколебательной, то в ней должен существовать стационарный колебательный процесс, который на фазовой плоскости соответствует замкнутой фазовой траектории, так как автоколебательную систему можно рассматривать как квазиконсервативную. Если автоколебания в системе устойчивы, то и замкнутая фазовая траектория также должна быть устойчива, т. е. к ней должны сходиться все фазовые траектории в близкой ее окрестности. Подобные предельные фазовые траектории называют предельными циклами. [c.197]

На фазовой плоскости область жесткого возбуждения для фик-сированнного k i = onst < О представлена двумя предельными циклами-окружностями, один из которых (больший) устойчив и соответствует значениям амплитуд автоколебаний, лежащих в области от Zo3 = y/ e до го1 = 2у/1е другой (меньший) неустойчив и соответствует значениям амплитуд, лежащих в области от 2q2 = 0 до [c.210]

Zo3 = y/ e (рис. 5.29). Начало координат на фазовой плоскости является особой точкой типа устойчивого фокуса. Все возмущения, меньшие амплитуды, соответствующей неустойчивому предельному циклу, осцил-ляторно затухают. Возмущения, большие амплитуды, отвечающей неустойчивому предельному циклу, осцилля-торно увеличиваются и амплитуды этих колебаний стремятся к предельному устойчивому циклу изнутри. Если амплитуда колебаний по какой-либо причине стала больше амплитуды, соответствующей устойчивому предельному циклу, то первая постепенно будет уменьшаться, стремясь в пределе снаружи навиться на предельный цикл. При изменении значения k происходит эволюция картины на фазовой плоскости. [c.210]

Диаграмма точечного отображения. Изучение попедепия отдельной траектории в фазовой плоскости может быть заменено изучением последовательности точек пересечения ее с выбранной полупрямой, в качестве которой чаще всего выбирают положительную полуось у. Если изображающая точка, взятая на полуоси у, после оборота относительно начала координат снова попадает на эту полуось, то в зависимости от динамических свойств механизма она может оказаться выше и ниже первоначального положения или снова вернуться в него. Например, для траектории I изображающая точка из положения ут переходит в положение г/ц, для траектории 2 — из положения уш в положение у 2 и т. д. Изображающая точка, расположенная на предельном цикле, возвращается в исходное положение. [c.203]

В каждом из главных Zg-эквнвариантных семейств при некоторых значениях параметров, образующих линии на плоскости е, возникают сепаратрисные многоугольники. Сдвиг по фазовым кривым поля семейства за единицу времени приближает -ю степень преобразования монодромии предельного цикла, теряющего устойчивость с прохождением пары мультипликаторов через сильный резонанс. Особым точкам полей семейства соответствуют неподвижные точки -й степени преобразования монодромии и 2я9-периодические циклы периодического уравнения входящим и выходящим сепаратрисам седел — устойчивые и неустойчивые многообразия неподвижных точек. Две сепаратрисы особых точек, раз пересекшись, должны совпадать на всем своем протяжении. Не так обстоит дело с инвариантными кривыми неподвижных точек диффеоморфизмов. Эти кривые пересекаются, вообше говоря, трансверсально, а для диффеомор- [c.60]

I -...)—фазовая траектория — проекция траектории механической системы на фазовую плоскость (ф. О, ф) эта же линия 1 -2 -3 -... в системе осей (Q — со, Os, Л1/с)—характеристика момента силы трения в) плоскость (ф, О,, ф) замкнутая линия AB DA — предельный цикл, к которому приходит движение системы, с какой бы точки N фазовой диаграммы состояния ни началось движение системы г) плоскость (ф, Oi, 1) III (линия 1"-2"-3"-4"...)—линия ф = ф(0—проекция траектории механической системы на плоскость (ф, Oi, У) д) плоскость (ф, 0[, У) IV (линия 1" -2 "-3" -4" )—линия а = оз 1)—проекция траектории механической системы на плоскость [c.231]

Явление, при к-ром для нек-рого интервала значений I Шц—ршц I (при р> 1) происходят периодич. колебания с частотой ш , наз. ультрагармоническим 3. ч. Образ этого явления в фазовом пространстве есть предельный цикл периода 2л/о)д с р оборотами в плоскости (а , х). Число вращения иа торе при слабом воздействии в том случае равно i/p. Если автоколебат, система описывается ур-нием (1), где нелинейность / и внеш. сила h малы, то это ур-нис с помощью ас шп- [c.59]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...