Состояние равновесия грубое

Возможный характер простых состояний равновесия. Грубые состояния равновесия. Сохраняем обозначения [c.68]

Следствие. В грубой системе сепаратриса не может быть предельной траекторией типа III 5 гл. 2 (т. е. в грубой системе предельными траекториями могут быть только состояния равновесия (грубые) и предельные циклы (грубые)). [c.145]

Из доказанных теорем I и II, очевидно, следует, что у грубой системы возможны только простые состояния равновесия типа 1), 2) и 3). Эти состояния равновесия — грубые в том смысле, что разбиения некоторой достаточно малой окрестности такого состояния равновесия на траектории исходной системы (Л) и на траектории всякой достаточно близкой к ней системы (Л) топологически тождественны и мало сдвинуты одно по отношению к другому. В частности, когда состояние равновесия О системы (Л) — седло, состояние равновесия О системы (Л) — тоже седло и сепаратрисы седла О мало сдвинуты по сравнению с сепаратрисами седла О системы (Л) ). [c.441]

Пусть при Х = Х наша система является грубой, т. е. на фазовой плоскости существует цикл без прикосновения, определяющий собой область О, внутри которой все состояния равновесия грубые, т. е. таковы, что для них Д О, и при Д О, а О все предельные циклы имеют характеристические показатели, отличные от нуля, и сепаратрисы не идут из седла в седло. Очевидно, что в этом случае значение X = Хо не может быть бифуркационным по самому определению грубых систем и по нашему предположению об аналитичности правых частей уравнений (6.22) как функций X. [c.466]

Итак, в грубой системе существуют лишь такие состояния равновесия, для которых А О и для которых а Ф О, если А > 0 лишь такие предельные циклы, для которых ft =5 0 лишь такие сепаратрисы, которые не идут из седла в седло. Эти условия накладывают ограничения и на типы ячеек, возможных в грубых системах [I, 2]. [c.45]

К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус. Мат. сб., 1970, 81. W 1, 92—103 [c.214]

Замечания о методах установления характера грубых состояний равновесия. Указанный в предыдущем параграфе характер состояний равновесия в случаях I—III может быть установлен различными методами. [c.69]

Состояния равновесия типа I—III мы будем в дальнейшем называть грубыми состояниями равновесия. [c.70]

Сводка сведений о грубых состояниях равновесия ). [c.80]

Из данного определения грубой системы, в частности, очевидно следует, что если выбрать достаточно малое 8 > О и соответствующее б > О, то у всевозможных б-близких к (А) систем (А) в Е-окрестности каждого состояния равновесия системы (А) будет лежать одно и только одно состояние равновесия и при этом [c.140]

Состояния равновесия, возможные в грубой динамической системе. [c.141]

Таким образом, у грубой в G системы все состояния равновесия изолированные. [c.141]

Состояния равновесия, возможные в грубой системе, будем называть грубыми состояниями равновесия. [c.142]

Теорема 3. Простые состояния равновесия, у которых А >О, а 7 О, и у которых Д < О т. е. простые состояния равновесия типа узел , фокус и седло ), являются грубыми (см. [12, 13]). [c.142]

Теорема 6. Если система (А) является грубой в С, то в О не может быть состояния равновесия, для которого А > О, а = 0. [c.143]

Поведение сепаратрис седел в грубых системах. Теоремы 1—9 касаются двух типов особых траекторий состояний равновесия и замкнутых траекторий. В настоящем пункте рассматривается последний тип особых траекторий — сепаратрисы. [c.145]

I. В замкнутой области G могут быть только грубые состояния равновесия, т. е. такие, для которых действительные части корней характеристического уравнения отличны от нуля. Это требование может быть сформулировано еще так в области G не может быть состояний равновесия х = Хо, у = уо, для которых [c.146]

В силу этих условий в грубой системе возможны особые траектории лишь следующих типов грубые состояния равновесия, т. е. состояния равновесия узел, фокус и седло, простые (грубые) предельные циклы, сепаратрисы седел, в одну сторону стремящиеся к узлу, фокусу или к предельному циклу или при некотором значении t выходящие из замкнутой области G. [c.146]

Предельными траекториями в грубых системах могут быть только состояния равновесия и предельные циклы (см. следствие из теоремы 10). [c.146]

Особыми траекториями в грубых системах, очевидно, являются грубые состояния равновесия (узлы, грубые фокусы, седла), предельные циклы (грубые) и сепаратрисы седел. При этом а (ю)-сепаратрисы при i-Ноо [c.151]

Если бы среди т особых точек, на которые при сколь угодно малых добавках разделяется данная сложная особая точка О, была бы сложная особая точка (т. е. такая, для которой Д = 0), то всегда можно было бы указать такие сколь угодно малые добавки, при которых особая точка О разделялась бы более чем на т особых точек, что противоречит условию а). Если бы среди особых точек, на которые разделяется О, была бы простая, но не грубая особая точка (т. е. такая, для которой Д > О, а = 0), то всегда можно было бы указать и такие сколь угодно малые добавки, при которых все особые точки были бы грубыми. Кратность сложного состояния равновесия, очевидно, совпадает с кратностью общей точки любых двух различных изоклин, проходящих через эту особую точку. [c.171]

Теорема 3. Если кратность особой точки О системы (А) есть т (т>2), то число грубых состояний равновесия (Oi, [c.172]

Нетрудно видеть, что в рассматриваемом простейшем случае сложной особой точки ее качественный характер полностью определяется числом и характером грубых состояний равновесия, на которые она разделяется. [c.173]

Теорема 5. Если т — кратность состояния равновесия О, то число к грубых состояний равновесия системы (В) Oi,. ... .Он, на которые О может разделиться при сколь угодно малых добавках р(х, у) и q x, у) ранга т, при т нечетном может быть любым нечетным числом, меньшим или равным т, при т четном — любым четным числом, меньшим или равным т, и при этом-. [c.174]

При X Хо этот неустойчивый предельный цикл сжимается и при Х = Хй влипает в состояние равновесия 0 Хо), которое теперь является неустойчивым фокусом. При X > Яо фокус становится грубым неустойчивым (а(Я)> 0). При Я > Яо в окрестности нет предельных циклов (см. рис. 118 гл. 13) ). [c.186]

В области С существуют только грубые состояния равновесия (т. е. состояния равновесия, для которых Д = О и в случае, когда А > О, а =5 0). [c.213]

Естественно предполагать (см. гл. 8, 1), что в прикладных задачах соответствующая система дифференциальных уравне-НИ11 (в частности ее состояния равновесия) грубая и что, следовательно, при анализе устойчивости можно ограничиться тем случаем, когда этот вопрос может быть решен путем отбрасывания всех нелинейных членов и исследования характеристического уравнения ") (состояние равновесия устойчиво, если действительные части характеристических корней отрицательны) ). [c.225]

Разработка общей топологической теории гладких динамических систем. Основные приш],ипиально важные результаты здесь получены С. Смейлом и его последователями [6—9, 39—40, 175, 295, 330—332, 653]. В этих работах был выделен класс динамических систем типа Морса — Смейла, которые являются прямым многомерным аналогом грубых систем в смысле Андронова — Понтрягина [20]. Единственными их установившимися движениями могут быть только состояния равновесия и периоди- [c.83]

Для систем с одной степенью свободы, имеющих двухмерное фазовое пространство, задача о зависимости структуры фазового пространства от параметров полностью решена в работах А. А. Андронова, Е. А. Леонтович, А. Г. Майера и Л. С. Понтрягина. При этом оказалось, что если ограничиться так называемыми грубыми системами, то качественная картина разбиения фазовой плоскости на траектории полностью определяется конечным числом ее особых траекторий состояний равновесия, предельных циклов и сепаратрис седловых состояний равновесия. В силу этого вопрос о зависимости качественной картины разбиения фазовой плоскости свелся к изучению бифуркаций перечисленных особых траекторий. [c.155]

Здесь мы имеем один из примеров так называемых релаксационных процессов, играющих большую роль в физике. Релаксационные процессы — это такие процессы, которые стремятся перевести какую-либо систему в состояние равновесия. В качестве весьма грубого примера релаксирующей системы можно привести легкий маятник, помещенный в очень вязкую жидкость. Если маятник выведен из положения равновесия, то под действием силы тяжести он через некоторое время возвратится в положение равновесия как говорят, отклонение маятника релак-сир у ет . [c.199]

Отметим тот частный случай, когда траектория Ь является состоянием равновесия О (в этом случае при всех f мы получаем одну и ту же точку О, так как вся траектория является точкой). Тогда из теоремы о непрерывной зависимости от начальных значений имеем какой бы промежуток значения I, о г < и, мы ни взяли, при всяком 8 > О найдется Т1 > О такое, что всякая траектория, проходящая при I — о через т1-ок-рестность состояния равновесия О, в течение значений г, го < г гь не выйдет иа е-окрестности О, т. е., грубо говоря чем ближе траектория к состоянию равновесия, тем дольше она около него находится . [c.19]

ТОГО же характера, что и у системы (А), п в е-окрестности каждого предельного цикла — один и только один предельный цикл того же характера, что и у системы (А), и т. д. Но это, очевидно, накладывает определенное ограничение на возможные у грубых систем состояния равновесия и замкнутые траектории ), а также на поведение сепаратрис седел. Подчеркнем, что ограничения, которые требование грубости накладывает на рассматриваемые динамические системы, таковы, что они выделяют общий случай. Другими словами, всякая наперед заданная дннамп-ческая система, вообще говоря, является грубой, в то время как негрубые системы являются исключительными системами (см. 10). [c.141]

Теор ема 1. Е ли система (А) является грубой в замкнутой области G, то в G у нее может существовать только конечное число состояний равновесия. [c.141]

Теор ема 2. Если система (А) является грубой в замкнутой области С, то у нее не может существовать в О состояния равновесия, для которого [c.142]

Из теоремы 2, очеввдно, следует, что если система (А) является грубой в С, то в С могут существовать только простые состояния равновесия. [c.142]

Очевидно, однако, что при принятии такого определения мы не имели возможности говорить о грубо сти целого ряда систем, которые естественно считать грубыми. Так, например, пусть рассматривался динамическая система, которая имеет в некоторой области С (ограниченной замкнутой кривой) только одно седло илп узел и седло. Такие системы мы должны, очевидно, считать грубыми. Но мы не можем пользоваться определением I, так как граница области С в этих примерах, очевидно, не может быть циклом без контакта. Индекс замкнутой кривой, являющейся границей области С, в этих случаях, очевидно, не равен единице, и, следовательно, она не может быть циклом без контакта. Можно подправить определение I, делая более общие предположения относительно границы области С. Например, можно допускать, что граница области О есть гладкая простая замкнутая кривая, имеющая конечное число касаний с траекториями системы (А) и не содержащая состояний равновесия (см. [155]). Однако всякие такие предположения относительно границы области всегда являются ограничениями, посторонними понятию грубости динамической системы. Ограничения на возможные границы должны вытекать из определения грубости. Кроме того, по смыслу понятия грубости из грубости системы в некоторой области С должна вытекать — непосредственно из определения — грубость системы в произвольной замкнутой области Со, содержащейся в О. Поэтому все указанные определения грубости (с условиями на границе) не полностью отражают смысл понятия грубости системы, а его отражает более сложное по форме определение I. Отметим, что из определения I непосредственно вытекает, что система (А) — грубая в некоторой области С — груба во всякой области " =( . Определение Г фактически используется также при рассмотрении негрубых систем, когда область, в которой рассматривается негрубая система, естественным образом разделяется на части, в которых система является грубой, и части, в которых система содержит негрубые элементы. [c.153]

Замечание 1. В силу того, что в рассматриваемой особой точке а =0, ни прп каких (достаточно малых) добавках среди грубых особых точек Oi,. .., 0 системы (А) не может быть фокусов и не может быть также предельных циклов, рождающихся из состояния равновесия О (это элементарно устанавливается использованием критерия Дюлака). [c.173]

Полностью аналогичную роль играют ш-сепаратрисы седла. Сепаратрисы седла, стремящиеся к седлу при I —оо (а-се-паратрисы седла), стремятся при i- -+oo либо к устойчивому состоянию равновесия, либо к устойчивому предельному циклу (напоминаем, что мы естественным образом предполагаем систему грубой), так же как и все близкие к этой сепаратрисе траектории. Поэтому при малых случайных толчках изображающая точка, находящаяся вблизи точек такой сепаратрисы, не [c.221]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...