Прямые и плоскости, касательные к поверхностям

Угол между прямой и поверхностью измеряется углом между прямой и плоскостью, касательной к поверхности в точке пересечения этой прямой с поверхностью решение таких задач рассматривается в специальной литературе. [c.91]

ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К ПОВЕРХНОСТЯМ [c.131]

Плоскость, касательная к поверхности в данной точке, содержит касательные прямые, построенные к любой из кривых линий, намеченных на кинематической поверхности и проходящих через данную точку. Из этого следует, что касательную плоскость в данной точке поверхности можно определить как плоскость, образованную касательными к двум любым линиям, построенным на поверхности и пересекающимся в заданной на поверхности точке. [c.266]

Прямую линию, проходящую через точку касания и перпендикулярную к касательной плоскости, называют нормалью поверхности в данной точке. Нормаль поверхности в данной точке определяет, следовательно, направление плоскости, касательной к поверхности в этой точке. [c.267]

Плоскостью резания называется плоскость, касательная к поверхности резания и проходящая через прямолинейную режущую кромку. У резцов с криволинейной режущей кромкой плоскость резания заменяется линейчатой поверхностью, образованной движением вдоль режущей кромки прямой линии, касательной к поверхности [c.269]

Плоскостью резания называется плоскость, касательная к поверхности резания и проходящая через прямолинейную реи ущую кромку. У резцов с прямолинейной режущ,ей кромкой плоскость резания заменяется линейчатой поверхностью, образованной движением вдоль режущей кромки прямой линии, касательной к поверхности резания. У строгальных и долбёжных резцов с прямолинейным рабочим движением плоскость [c.605]

Искомый очерк составляется из части эллипса и двух касательных к нему прямых. В самом деле, конус в заданном его положении проецируется на пл. Н при помощи поверхности эллиптического цилиндра, образующие которого проходят через точки окружности основания конуса, и при помощи двух плоскостей, касательных к поверхности конуса. [c.228]

В пределе линия (У О лежит на плоскости АВ и, следовательно, 00 делается параллельной плоскости АВ, Но прямая 00 в пределе — одна иа касательных к поверхности центров, как проходящая через две бесконечно близкие точки ее—два центра О и О, и эта касательная параллельна плоскости АВ, Если будем брать всевозможные плоскости сечения, бесконечно близкие к АВу то найдем, что все касательные к поверхности центров в точке О параллельны плоскости АВ следовательно, плоскость, касательная к поверхности центров, будет параллельна плоскости АВ, [c.660]

Пример 3. Построить плоскость, касательную к конусу и параллельную прямой (рис. 116). Любая плоскость, касательная к поверхности конуса, должна проходить через его вершину. Чтобы выполнить также и условие параллельности прямой I, необходимо провести через вершину конуса вспомогательную прямую, параллельную заданной прямой, и построить ее след на плоскости основания конуса. Затем через полученную точку проводим прямые Р и Qh, касательные к основанию конуса,-горизонтальные следы искомых плоскостей, которые касаются конуса по образующим S1 и S2. [c.85]

Пусть через точку А поверхности й проходят принадлежащие поверхности линии а и Ь (рис. 337). Проведем к этим линиям касательные соответственно end. Прямые end называются касательными к поверхности в точке А, а плоскость, проходящая через них, — плоскостью, касательной в точке А к поверхности. [c.225]

Построим плоскость, касательную к конической поверхности и проходящую через данную точку А, не принадлежащую поверхности (рис. 338). В соответствии с/127/плоскость должна касаться поверхности по прямой, следовательно, проходить через вершину. Одной из прямых, с помощью которых можно задать плоскость, будет прямая, проходящая через точки Л и 5. Определим точку В, в которой эта прямая пересекается с плоскостью, содержащей направляющую поверхности (эллипс), и проведем прямые ВС и ВО, касательные к эллипсу. Эти прямые совместно с прямой Л5 определяют две плоскости, касательные к поверхности через точки С и О и вершину проходят линии касания. [c.226]

На рис. 593 показано построение падающей и собственной тени конуса. Найдя мнимую тень (5 ) вершины на плоскости П,, проведем через нее касательные к основанию, представляющие собой границу падающей от конуса тени. Построение основано на том, что граница падающей тени определяется линией пересечения плоскостей, касательных к поверхности, с плоскостью, на которую падает тень. Эти плоскости заданы лучом 5 (Б ) и прямыми, проходящими через точку (5 ) касательно к основанию (см. 27, рис. 326). [c.239]

Световые лучи, идущие к цилиндру, образуют две лучевые плоскости 5Ла и 8ВЬ, касательные к поверхности цилиндра. Горизонтальные проекции лучевых плоскостей (предметные следы) изобразятся в виде прямых за и зЬ. Таким образом, чтобы определить границу собственной тени на цилиндре, надо из точки провести две касательные к цилиндру за и зЬ, а через точки а и Ь — образующие аА и ЬВ, которые определят границу собственной тени на цилиндрической поверхности. [c.285]

Так как плоскость однозначно определяется двумя пересекающимися прямыми, то для задания плоскости, касательной к поверхности в заданной точке, достаточно провести через эту точку две кривые, принадлежащие поверхности, и к каждой из них провести касательные в точке пересечения кривых. [c.178]

Исследуем условия равновесия между двумя жидкими фазами Н и К. Рассмотрим прежде всего сечение (-поверхности вертикальной плоскостью, проходящей через (-точки Н и К, и докажем, что если Н и К находятся в равновесии друг с другом, то прямая НК служит касательной к (-поверхности как в точке Н, так и в точке К. Пусть, далее. Ник (рис. 20) — проекции на горизонтальную плоскость точек Н и К, I и Ь — точки, изображающие некоторый комплекс [Н, К), так что расстояние 1Ь определяет термодинамический потенциал этого комплекса. к и к — точки некоторой прямой, проходящей через I, и, вдобавок, бесконечно близкие к точкам Ник. Точки Н и к служат проекциями на горизонтальную плоскость точек (-поверхности Н и К. [c.104]

Среди бесконечного числа различных кривых поверхностей существуют такие, которые простираются лишь в конечной и ограниченной части пространства и проекции которых имеют конечные размеры по всем направлениям поверхность шара, например, относится к этому случаю. Площадь его проекции яа плоскость была бы равна площади круга того же радиуса, что и шар, и можно себе представить, что плоскость, на которую проектируется поверхность, — достаточно большого размера, чтобы эта проекция поместилась. Все цилиндрические поверхности не ограничены в том направлении, которое определяется прямой, служащей образующей. Самая плоскость, являющаяся наиболее простой из всех поверхностей, не ограничена в двух направлениях. Наконец, существует большое количество поверхностей, различные полы которых простираются одновременно во всех областях пространства. Однако плоскости, на которых строятся проекции, обладают, по необходимости, ограниченной протяженностью. Поэтому, если бы не было другого средства, чтобы познать природу кривой поверхности, кроме двух проекций каждой из ее точек, то этот способ был бы применим только к тем точкам поверхности, которые соответствуют протяженности плоскости проекций все те точки, которые не укладывались бы в эти пределы, не могли бы быть ни заданы, ни определены таким образом, метод был бы недостаточным. Наконец, он был бы и недостаточно плодотворным, потому что мы не могли бы сделать никаких выводов о плоскостях, касательных к поверхности, о нормалях, о двух кривизнах в каждой точке поверхности, о линиях перегиба, о ребрах возврата, о кратных линиях, кратных точках, словом, о всех свойствах, которые необходимо рассматривать в отношении кривой поверхности. [c.29]

Если проведем через заданную прямую две плоскости, касательные к конической поверхности, то каждая из них коснётся ее по одной из этих прямолинейных образующих, лежащих одновременно и на конической поверхности и на плоскости в виду того, что эта прямолинейная образующая касается также поверхности шара в одной из ее точек, лежащих на окружности круга, проектируемого на СО, эта точка находится одновременно на конической поверхности, на плоскости касательной к ней, на поверхности шара и на окружности круга с проекцией СП, и тем самым она является точкой касания, общей для всех этих фигур. Следовательно- 1) обе плоскости, касательные к конической поверхности, будут также касательны к поверхности шара и являются теми, положение которых и нужно определить 2) так как их точки касания с шаром лежат на окружности круга, проектируемого в СП, то и сами они должны проектироваться где-то на эту прямую [c.70]

При построении плоскостей, касательных к торсам и проходящих через точки, лежащие вне поверхности торса, а также плоскостей, параллельных данной прямой линии, можно пользоваться и другой схемой, основанной на применении вспомогательного (направляющего) конуса торса. [c.270]

Плоскость, касательная к торсу, при качении по торсу без скольжения получает на себе отпечаток с изображением всех геометрических образов, намеченных на торсе. Такие же изображения получаются и на касательной к торсу плоскости при развертывании его на эту плоскость, т. е. при совмещении поверхности торса с плоскостью путем изгибания торса по ряду последовательных положений его производящей прямой линии. [c.286]

Следовательно, положение плоскости а, касательной к поверхности в данной точке А. можно определить двумя прямыми аиЬ, каждая из которых является касательной к кривой, проведенной по поверхности через точку А. На черт. 284 прямые а и Ь — касательные к кривым f и /. [c.130]

На рис. 218 показаны плоскость 72, проходящая через прямую а и касательная к поверхности а, и плоскость Уз, также проходящая через прямую а и касательная к поверхности р. [c.149]

Как определяется понятие прямой, касательной к поверхности, и касательной плоскости к поверхности [c.259]

Вектор силы трения скольжения направлен прямо противоположно вектору скорости относительного движения и лежит в плоскости, касательной к трущимся поверхностям. Наибольшая предельная сила сопротивления относительному движению трущихся тел в начальный момент движения называется силой трения покоя Fo. Она в большинстве случаев больше, чем сила трения при движении F (рис. 4.2). Величина сил трения скольжения, исключая жидкостное, определяется по формулам [c.78]

Цилиндрические зубчатые колеса с прямыми зубьями можно изучать по сечениям, расположенным только в одной плоскости, перпендикулярной к оси колеса, ибо профили зубьев во всех плоскостях, перпендикулярных к оси колеса, получаются одинаковыми и одинаково расположенными. Линия касания двух зубьев в момент их зацепления во всех положениях параллельна оси колеса. В связи с этим боковую поверхность зуба прямозубого колеса можно получить качением плоскости, касательной к основному цилиндру, если при таком качении фиксировать след прямой А — Л, расположенной в указанной плоскости и параллельной оси цилиндра. [c.54]

Из этого уравнения непосредственно видно, что приращение скорости за любой промежуток в течение удара направлено одинаково с положительной нормалью. Другими словами, если бы мы построили годограф скорости частицы за время удара, то получили бы отрезок прямой, параллельной нормали. Скорость Фд падения и скорость отражения лежат, следовательно, в плоскости, нормальной к поверхности f(x, у, г, /) = 0, и их проекции на касательную плоскость равны между собой [c.611]

Покажем построение спироидальных поверхностей с направляющей плоскостью, сохраняя, как и для ротативных поверхностей, в задании неподвижный аксоид-ци-линдр и производящую прямую линию в ее начальном положении. Производящая прямая линия поверхности располагается в плоскости, перпендикулярной одновременно к направляющей плоскости и плоскости, касательной к аксоиду-цилиндру. [c.375]

Процесс образования боковой поверхности винтового зуба легко себе представить, если рассмотреть качение плоскости М по основному цилиндру с осью Oi- Взяв на катящейся по осцовному цилиндру плоскости прямую АВ, составляющую с образующей цилиндра угол 0 (рис. 9.33), замечаем, что в результате качения плоскости каждая из точек прямой АВ опишет эвольвенту, а прямая — поверхность, известную под названием развертывающегося геликоида. Эвольвенты каждого из поперечных сечений развертывающегося геликоида имеют основания, расположенные по винтовой линии D на основном цилиндре, полученной качением прямой АВ или, иначе, навертыванием прямоугольного треугольника ABE на основной цилиндр. Исходя из процесса образования геликоида, можно заключить, что геликоид представляет собой линейчатую поверхность с образующими, касающимися основного цилиндра. Это приводит к тому, что линией пересечения геликоида и плоскости, касательной к основному цилиндру, будет прямая, составляющая угол Ро с образующей цилиндра. [c.263]

Построение касательной плоскости. Построим плоскость, касательную к конической поверхности П и проходящую через точку А( П (рис. 326). В соответствии с /143/ плоскость касается поверхности по прямой, следовательно, проходит через верщину. Проведем прямую и определим точку ее пересечения с плоскостью направляющей йоверхности. Проведем прямые ВС и ВО, касательные к эллипсу. Эти прямые совместно с прямой А5 определяют две плоскости, касательные к поверхности. Через точки Си О и верщину проходят линии касания. [c.120]

Пусть ABFE (фиг. 46) неопределенная цилиндрическая поверхность с каким угодно основанием, на которой мы рассматриваем произвольную точку L. Проведем через эту точку прямолинейную образующую LG и сечение ILK плоскостью перпендикулярной образующей это сечение будет параллельно и одинаково с основанием поверхности. Проведем через точку L нормаль LP к поверхности эта нормаль будет перпендикулярна образующей G и, следовательно, лежать в плоскости сечения ILK она будет также перпендикулярна к касательной к сечению в точке L или — что заключает сразу оба условия — она будет перпендикулярна к плоскости, касательной к поверхности в точке L. Возьмем на поверхности две другие точки, бесконечно близкие к точке L-. точку М—на образующей G и точку N на перпендикулярном сечении если через каждую из этих точек провести новую нормаль к поверхности, то каждая из этих двух нормалей MQn NP будет лежать в одной плоскости с первой нормалью LP однако эти плоскости будут различными для двух последних нормалей. Действительно, плоскость, касательная к поверхности в точке L, будет также касательна к ней и в Л/, /И обе прямые LP и MQ будут перпендикулярными к одной [c.167]

Прямые, перпендикулярные к прямой a l Ь и касательные к фронтальному очерку поверхности, являются следами Mi смещенных касательных к поверхности вращения плоскостей, а точки ас, и к,к — сме-щеш1ыми проекциями точек касания поверхности вращения этими плоскостями. [c.275]

Когда говорят об углах, составленных кривыми линия.ми и поверхностями, имеют в виду углы, образованные каштельными прямыми и плоскостями. Так, например, угол между двумя кривы.ми линиями в их общей точке измеряется углом, составленным касательными прямыми, проведенными в их общей точке к данным кривым линиям. Угол мбжду кривой линией и поверхностью в их обшей точке равен углу, составленному касательными прямой и плоскостью, пo тpoeннымJ в ОТОЙ точке соответственно к кривой линии и поверхности. [c.162]

Через такую точку можно провести бесчисленное количество прямых, касательных к сфере. Множество касательных прямых представляет собой коническую поверхность с вершиной в заданной точке А. Эта коническая поверхность, описанная вокруг сферы, касается ее по окружности т. Вместе с тем любая плоскость а, касательная к конусу, касается и сферы. Действительно, у плоскости а (которая касается конуса по образующей А К) и сферы имеется только одна общая точка К — точка касания. Задача, таким образом, допускает бесчисленное множество решений. Искомые плоскости легко построить, если прямая, соединяющая точку А и центр сферы С, перпендикулярна одной из плоскостей проекций. В случае, когда АС — прямая общего положения, необходимо преобразовать эпюр с такйм расчетом, чтобы одна из проекций прямой АС оказалась точкой. Решение завершается построением плоскости, касательной к вспомогательному прямому круговому конусу. [c.134]

Пример. Построить переходные конические поверхности, соединяющие данные цилиндрические трубы I, II и III, оси которых находятся в одной фронтальной плоскости (рис. 209). Если вписать в каждую из данных труб сферу, то каждая пара сфер, вписанных в трубы I, II vl III, определит переходные конические поверхности / V и V, касательные к этим сферам. При построении линий пересечения данных и переходных поверхностей следует учесть теорему Монжа, из которой следует, что искомые линии пересечения будут плоскими кривыми (эллипсами). Фронтальные проекции этих линий будут отрезками прямых А2С2, В2С2, D , 2 2 и G2H2, определяемых точками пересечения очерковых образующих. [c.198]

Задача имеет два решения через точку М проходят к конической поверхности Ф две касательные плоскости 2( 1 П S ) и 2( П SD), которые, очевидно, касаются с Ф вдоль образующих S , SD. Действительно, эти плоскости будут касательными к поверхности конуса Ф соответственно в точках С и D, так как они определяются пересекающимися прямыми, касательными к двум линиям ш, S и т, SD, принадлежащим поверхности Ф и проходящим через точки касания С и D. Так как образующие S и SD — прямые, то касательные, проведенные к ним, совпадают с этими прямь мн. [c.134]

Так как тшоскость определяется двумя пересекающимися прямыми, то для задатжя плоскости, касательной к пове])хности в заданной точке, достаточно провести через эту точку две произвольные линии, принадлежащие поверхности (желательно простые по форме), и к каждой из них построить касательные в точке пе[)есечения этих линий. Построенные касательные однозначно опре деляют касательную плоскость. Наглядное представление о проведении плоскости а, кас-ательной к поверхности (j в заданной точке М, дает рис. 204. На этом рисунке показана также нормаль п к поверхности /3. [c.140]

Проводим секущую плоскость, параллельную плоскости 7 и касательную к поверхности 3. Эта плоскость пересечет цилиндрическую поверхность а по прямым 1), (S оо 2) и будет касать- [c.152]

Проводим плоскость 72 1 параллельную плоскости 7 и касательную к поверхности а. Мы вновь ПОЛ5ГЧИМ две прямые (S2oo5) И (S2006), по которым плоскость 72 пересекает поверхность Плоскость у2 пересечет (коснется) поверхность а по прямой (S(oo4). Полученные прямые пересекаются в точках Ng и N2. [c.152]

Сопряженные плоскости называются главными, если для них V = 1, т. е. изображение получается прямым и в натуральную величину объекта. Нетрудно видеть, что для с( )ерической поверхности главные плоскости совпадают между собой и представлены плоскостью, касательной к сфере в точке 5, т. е. Дх = Дз =-- О (см. упражнение 100). В соответствии с этим и ()юкусные расстояния сферической поверхности следует считать расстояниями от главных плоскостей до ( х)кусов. На рис. 12.13 изображены также углы Дх и Дз, определяющие максимальное раскрытие (апертуру) пучков, падающих на поверхность 5 (угол 2дх), и сопряженных им изображающих пучков (угол 2дз). Предельное значение этих углов определяется требованием соблюдения условий параксиальности. [c.286]

Рис. 28. Косозубое зубчатое зацепление а) — образование поверхностей развертывающихся геликоидов [П — плоскость, касательная к двум основным цилиндрам Q и Qг (цилиндр Q2 на рисунке не показан) ВВ — линия, параллельная осям колес АА — прямая, образующая поверхности геликоидов — угол наклона зубьев по основным цилиндрам — угол зацепления в торцовой плоскости а — начальная точка зацепле-аия] 6) — зацепление двух зубьев в промежуточном положении РС — контактная линия

Если представить себе пространственные образы линий и точек, проектируемых на плоскость чертежа (см. рис. 15.9), то нетрудно заметить, что прямая Р, проведенная касательно к основному цилиндру плоскости АВ параллельно линиям касания Л и В, каждой своей точкой описывает плоские эвольвенты, образующие эвольвентную цилиндрическую поверхность при перекатывании плоскости АВ без скольжения по основному цилиндру. Подобно этому при перекатывании без скольжения круга по основным конусам конических колес 1 м 2 каждая его точка описывает сферические эвольвенты. При этом эвольвент-ный профиль внешнего торца зуба образуется на сфере радиуса Re (см. рис. 15.6, б). Ввиду сложности построения профиля зубьев на сферической поверхности прибегают к приближенному профилированию зубьев на поверхгюстп дополнительных конусов и OiB с вершинами 0 и О2, касающихся сферы радиуса L (см. рис. 15.6, б) и развертывающихся на плоскость. [c.291]

В общем случае движение точки по поверхности удобнее относить к осям координат, имеющим следующие направления 1) касательной РТ к траектории, 2) перпендикуляра к РТ, восставленного в касательной плоскости, 3) нормали к поверхности. Для определекности предположим, что положительные направления этих прямых образуют правую систему координат. Построим ортогональные проекции касательной Р Т в соседней точке траектории на две плоскости одну на плоскость, нормальную к поверхности и проходящую через РТ, и другую на касательную плоскость в рассматриваемой точке Р поверхности. Пусть 8а и 8/ — углы, которые составляют с касательной РТ соответственно обе указанных проекции прямой Р Т". Приращения скорости за промежуток времени 8/ вдоль осей принятой системы координат будут соответственно равны [c.91]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...